Теория размерности и её приложения на уроках физики

Муниципальное образовательное учреждение гимназия №17
г. Королев Московской области
Учебное пособие по физике
«Теория размерности и ее приложение на уроках
физики»
Разработал: Толчев С. В.
Согласовано на заседании школьного
методического объединения физики:
«___»____________»____»
2007-2008 г.
РЕЦЕНЗИЯ
На учебное пособие «Теория размерности и ее применение в
физике» преподавателя КГТТДО Толчева СВ. по дисциплине «Общая
физика» для специальностей 2808,2809, 28011, 28012,1701,1705.
Учебное пособие содержит 15 глав, освещающих методы
применения теории.размерности при решении задач по курсу общей физики,
при изучении в курсе общей физики средне-специальных дисциплин, а также
список литературы и контрольных текстов задач.
Разобраны задачи по темам: «Оптика», «Молекулярная физика»,
«Электродинамика».
В учебном пособии изложены основные понятия теории
размерности при решении задач по общей физике. Особое внимание
уделяется применению единиц измерения, принятых в интернациональной
системе измерения «Си».
С учетом замечаний ведущего преподавателя КТКМТ
Харлашкиной Е.А. были доработаны п. 1.6, п. 1.7.
В материалах отражены особенности проверки качественного
решения задачи, до применения математического аппарата с вычислением
сложных чисел с десятичным основанием, со степенью.
Методическая разработка может быть использована при
подготовке к уроку преподавателями физики и математики.
Рецензенты:
Ведущий преподаватель КТКМТ
К.т.н., директор КТКМТ
Харлашкина Е.А.
Тимощенко П.С.
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Исторические предпосылки возникновения теории
размерности. ЕЕ развитие.
2. Размерность, определение
3. Теоремы и аксиоматика теории размерности
4. Коэффициент пропорциональности в физических формулах.
5. П-теорема (без док-ва)
6. Изначальные возможности теории размерности.
7. Методика и мера измерения.
8. Размерность производной величины.
9. Формула размерности
10. Степенной характер размерности.
11. Значение метода размерности.
12. Метод размерностей.
13. Области применения метода размерности.
14. О выборе основных величин.
15. Возможности метода размерности.
16. Литература.
ИСТОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Потребность измерять была свойственна человеческому обществу на
всех стадиях его развития. Чем многограннее становилась
деятельность человека, тем большие требования предъявлялись к
точности измерений, тем больше расширялся круг измеряемых
физических величин, тем больше становилось число единиц измерений.
Многообразие единиц измерений на определенной стадии развития
общества становится тормозом в установлении и расширении
экономических, торговых и научных связей. Это побудило торговопромышленные круги Франции в период французской буржуазной
революции в 1789 г. обратиться к правительству с ходатайством об
установлении единообразия мер и весов. Метрическая система мер,
разработанная французскими учеными (Лагранж, Лаплас, Монж и
другими) введенная первоначально во Франции, получила во 2-ой
половине XIX века международное признание.
20 мая 1875 года в Париже представителями 17 государств (Россия,
Германия, Франция, США, Италия и др.) была подписана метрическая
конвенция, которая с целью обеспечения международного единства
мер предусматривала создание международного бюро мер и весов, а
также созыв один раз в шесть лет Генеральной конференцией. В
метрическую систему мер входят единицы измерений ограниченного
числа величин - длины, объема, площади, массы. Гаусс предложил
выбрать независимо друг от друга единицы измерений нескольких
величин и на основе этих единиц с помощью физических законов
установить единицы измерений всех величин, входящих в
определенный раздел физики.
Совокупность единиц, образованных по принципу,
предложенному Гауссом, и получила название "системы
единиц".
К настоящему времени метрическую конвенцию подписали 38 стран с
общим населением около 1,5 миллиарда человек.
В России активным сторонником внедрения метрической системы мер был
Д.И. Менделеев.
14 сентября 1918 г. был издан декрет СНК о введении метрической
системы мер.
К 1927 г. метрическая реформа в СССР была полностью завершена.
Единицы измерений, выбранные произвольно и послужившие основой
для выражения остальных единиц, называются основными единицами
системы. Единицы, полученные (произведенные) на основе основных с
помощью физических формул, называются производными единицами
системы. Выразим теперь производные величины механики через
основные величины.
Пример: площадь р квадрата определяется по формуле
а - длина стороны квадрата, т.е. площадь выражается через 2
степень длины:
объем V куба определяется по формуле
где: b-длина ребра куба, т.е. объем выражается через 3 степень длины:
Скорость V равномерного движения определяется по формуле
где: S - путь пройденный телом при равномерном движении, t - время
отсюда следует, что V выражается как частное от деления длины на
время, т.е.
Наиболее распространенными и общепризнанными системами в настоящее
время
являются СГС (см, г, сек) и МКС (м, кг, сек), МКГСС(м, кг-сила, сек),
МТС
Момент инерции J материальной точки определяется по формуле:
где: r - расстояние материальной «точки массой m от оси
вращения.
Как показывает эта формула, J выражается произведением m на 2 степень
длины, т.е.
частота ν периодического процесса определяется по формуле:
где:
r - период,
следовательно,
Символическое выражение вида
(3)
(б)
показывающие
связана данная производная физическая величина с основными
величинами системы,
называемся размерностей величины.
как
РАЗМЕРНОСТЬ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Размерность производной величины есть произведение возведенных в
соответствующую степень размерностей основных величин.
Для получения формы размерности какой-нибудь производной единицы,
в
системе с основными единицами длины,
массы и времени,
символически
обозначим эти единицы соответственно буквами L; M; T.
Тогда
формула
размерности любой производной единицы а будет иметь вид:
где: k-коэффициент пропорциональности,
а показатели степени p,q,r- любые целые или дробные числа, которые могут
быть как положительными, так и отрицательными и, в частности равны 0.
Показатели степеней p,q,r называются размерностями производной единицы
относительно соответствующих основных единиц.
Пример: Если вместо L,M,T в формулу размерности силы подставить
наименования единиц измерения длины, массы и времени в системе МКС
(м,кг,с)
получим:
АКСИОМАТИКА И ТЕОРЕМЫ МЕТОДА РАЗМЕРНОСТИ
При образовании размерности сложных величин, мы будем пользоваться
следующими теоремами:
I. Если численное значение величины С равно произведению численных
значении величин А, С, В., то размерность С равна произведению
размерностей А и В.
II.
Если численное значение величины С равно отношению численных
значений величин А и В, то размерность С равна отношению размерностей
А и B.
III. Если численное значение величины С равно степени и численного
значения величины А, то размерность С равна степени и размер]
Пример: Размерность площади квадрата:
Размерность площади круга:
Коэффициент
является чисто числовым коэффициентом и не зависит от
выбора единицы длины, массы и времени. Он обладает нулевой размерностью
относительно L,M,T:
окончательно:
Размерность скорости может быть определена из формулы равномерного
движения:
В размерностях некоторых величин один, два или все три показателя
степени могут быть равны нулю.
Пример:
1) В размерности плотности символ Т не входит следовательно г=0
2) В размерность площади:
отсутствуют символы М и Т, следовательно,
и
Определение:
Величина, для которой все три числа p,q,r- равны нулю называется
безразмерной.
Пример: коэффициент трения f в формуле
где
- сила трения,
безразмерным
– сила нормального давления, f является
Очевидно, что размерности различных величин могут совпадать.
Например: момент силы и работа имеют одну и ту же размерность:
поэтому размерность не дает полного представления о величине. Но так
как совпадения размерности сравнительно редки, то размерностями широко
пользуются в теории подобия. В частности, при решении задач
использование размерности позволили обнаружить ошибки, допущенные при
получении расчетных формул.
КОЭФФИЦИЕНТ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ В ФИЗИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ
Остановимся на вопросе о том как связаны между собой единицы одной и
той же величины, определенные двумя различными законами, в том случае,
когда в основу положены одни и те же основные единицы. Разберем этот
вопрос в общем виде.
Пусть мы имеем некоторую величину А, единицы измерения которой
и
в двух разных системах обладают размерностями
причем числа
и
, выражающие величину А в этих единицах,
находятся в следующем соотношении:
k- коэффициент пропорциональности, численное значение которого зависит
от выбора основных единиц. Единица, в которой измеряется k, имеет
очевидно размерность
Отношение размерностей единиц величины А в первой и второй системах
дает размерность коэффициента К. Таким образом знание численного
значения этого коэффициента в какой-либо системе единиц позволит
определить его численное значение в любой системе и тем самым
определить соотношение между соответствующими единицами измерения
данной величины А.
Пример: Условимся, прежде всего для краткости называть единицу
силы, основанную на втором законе Ньютона, - инерционной
единицей,
а единицу, основанную на законе всемирного тяготения, гравитационной единицей силы.
При измерении силы инерционной единицей закон всемирного тяготени
запишется:
где G -соответствующий коэффициент пропорциональности
(гравитационная постоянная).
Стоящее в правой части выражение вида
представляет собой ту
же силу взаимного тяготения, но измеренную в гравитационных
единицах.
Следовательно, обозначая число, выражающее силу в
инерционной системе, через
а в гравитационной через
мы
запишем:
с изменением основных единиц числа
и
будут изменяться, но не
в одинаковой степени. Поэтому и G будет изменять свое числовое
значение. Для того, чтобы определить характер этого изменения,
обратимся к размерностям L,M и T:
и
откуда
Согласно сказанному выше, это выражение обозначает, что единица, в
которой измеряется гравитационная постоянная G, изменяется прямо
пропорционально кубу единицы длины и обратно пропорционально единице
массы и квадрату единицы времени. Соответственным образом, числовое
значение гравитационной постоянной будет меняться в обратном отношении.
Если уравнение
есть полное уравнение,
то решение имеет вид
,
где
являются независимыми произведениями аргументов
не имеют размерности относительно основных единиц.
и
, которые
Выясним область применения теории размерности.
Например, мы говорим: дом имеет длину 20м, комната-площадь 30м , вода
температуру - 60°С. Символы м,м2 и С° указывают на единицы, в которых
измерены
перечисленные величины, и одновременно указывают не характер этих
величин -длина, площадь, температура.
Желая сказать, что длина измеряется в м, а площадь в м2 иногда говорят,
что размерностью длины явление м, а размерностью площади - м2.
С размерностями физических величин приходится остерегаться не только при
измерениях, но и при вычислениях.
Этот пример показывает, что, совершая, математические действия с
физическими величинами, мы производим их не только над числами, но и
над размерностями. Отсюда можно сделать вывод, что сложение двух
физических величин возможно только в том случае, когда их размерности
одинаковы. Очевидно, не имеет смысла говорить о сумме
Столь же очевидно, что если имеется какое-нибудь соотношение,
связывающее физические величины, то размерности его левой и
правой частей должны быть одинаковыми
Правильно:
Неправильно:
Высказанное выше может оказаться полезным для проверки равенств,
полученных
при решении той или иной задачи.
Пример: Если левая часть некоторого равенства имеет размерность м, а
Правая м/с, то можно утверждать, что это равенство неверно.
Однако анализ размерности может быть использован не только для
контроля
над выследками, но и для вывода некоторых соотношений.
Пример: найдем ускорение точки, равномерно движущейся по
окружности, т.к. это ускорение зависит только от скорости V и
радиуса R, то
(1)
т.к. V имеет размерность м/с, R-размерность м и а размерность м/с2 ,
иго задача сводится к отысканию математической операции над символами
м/с и м, в результате которой получается дробь м/с2. Образуем
произведение
и посмотрим, при каких значениях
и
выполняется соотношение
Записывая это соотношение в виде
приходим к выводу, что числа
и
должны удовлетворять условиям
;
, отсюда
, следовательно,
операция, которую мы ищем, имеет вид:
Отсюда зависимость (1) выражается равенством:
где С - некоторое постоянное число. Таким образом, анализ
размерности позволил найти искомую зависимость с точностью до
постоянного коэфф. Приведенный пример служит простейшей иллюстрацией
метода размерности.
При переходе к более подробному изучению метода необходимо понять
методику и меру измерения. Методы, которые мы применяем при физических
измерениях - разнообразны. От простых измерений - например, при
измерении длины с помощью линейки, до сложных которые требуют
применения сложных и точных приборов. Измерения бывают прямые и
косвенные. Под мерой физической величины можно понимать ее отношение к
единице измерения. Ни более точное определение имеет под мерой
физической величины мы понимает число, которое характеризует физическую
величину в количественном отношении. Физическая величина, зависящая от
масштаба измерения других величин, называется производной.
Рассмотрим производную величину – скорость:
Пусть теперь единицы длины и времени изменяются таким образом, что
числа, выражающие S и t, увеличиваются. Первое в
раз, а второе в
раз. Тогда в новых единицах:
где штрихами обозначены новые меры величин S, t и V
Мера скорости возрастает с возрастанием мер длины и времени.
Этот факт выражают словами:
"Скорость имеет размерность"
и записывают в виде:
где [V]- размерность скорости, а символами L и T обозначены длины и
время.
Дадим более общее определение размерности.
Пусть имеются основные величины А,В и С и производная величина Р.
Предположим, что в результате изменения масштабов, в которых измеряются
величины А,В и С, их числовые значения становятся большими для величины
А - в
раз, для величины В в
раз, для величины С в
раз. Пусть
числовое значение величины Р увеличится вследствие этого в
раз, тогда,
если
,
то говорят, что величина Р имеет размерность
относительно
величин А,В,С . Этот факт записывают в виде равенства:
(2)
Символ [P] обозначает размерность величины Р.
Например, размерность площади:
Формула (2) показывает, как мера величины Р зависит от мер основных
величин А,В и С.
Она называется формулой размерности. Примеры см. выше в определении
размерности.
Перед нами встает вопрос: всегда ли размерность величины Р имеет вид
(2), т.е. всегда ли она является степенной.
Вопрос состоит в следующем. Пусть имеется основная величина А и
производная величина Р. Пусть далее мы изменяем масштаб, в котором
измеряется величина А, в результате чего ее мера увеличивается в
раз,
а мера величины Р в
раз.
Какова зависимость
от ?
Заметим, что величина Р может быть такой, что
однозначной функцией .
вообще не будет
,
Например:
(3)
Где l - некоторая длина, тогда при l=1м, будем иметь:
1.
В метрах: l=1;
2.
В дециметрах: l=10;
3.
В сантиметрах l=100;
Таким образом, переход от метров к дециметрам дает:
А переход от дециметров к сантиметрам:
Из этого следует, что одному и тому же значению
здесь соответствуют
различные значения .
зависит не только от
но и от первоначальной
единицы длины.
Значит, возможны, величины, для которых
вообще не является
однозначной функцией . О размерностях таких величин просто не имеет
смысла говорить(так как само понятие размерности предполагает
однозначную зависимость
от ).
Докажем, что если
есть однозначная функция
обязательно является степенной.
Пусть
, то эта функция
;
однозначная
Предположим, что величина P имела числовое значение. Увеличим меру
основной величины А сначала в
раз, а затем еще в
раз. Тогда
производная величина P сначала примет значение
и
Так как меру величины мы увеличим в общей сложности в
(4)
раз, то
(5)
Сравним (4) и (5) и приравняем правые части, предварительно разделив
на P:
(6)
Следовательно, Функция
удовлетворяет функциональному уравнению (6)
и задача сводится к решению этого уравнения.
Продифференцируем (6) по
и , получим:
Разделим первое равенство на второе:
Отсюда:
Числа
и
произвольны, следовательно ,
Отсюда после интегрирования полученного дифференциального уравнения
будем иметь
Таким образом:
;
Подставив эти выражения в (3), получим
Отсюда
;
.
!!!
c=1, следовательно
(7)
Равенство (7) показывает, что размерность величины Р относительно
величины А имеет вид
и так как это верно для любой основной величины,
от которой зависит Р, то в общем случае
Значение метода размерностей
Значение формул размерности не ограничивается только преобразованием
единиц и проверкой правильности уравнений. Благодаря тому, что в
формулах размерностей находит некоторое отражение характер
функциональных связей между физическими величинами, можно в отдельных
случаях, анализируя размерности, единиц измерения физических величин,
сравнительно простым способом определить характер закономерных связей
между физическими величинами, характеризующими то или иное физическое
явление. Б том состоит преимущество данного метода исследования - метода
размерности. Бывают и ошибки. Например, многим физическим величинам
приписывают одинаковую размерность, в то время, как они имеют совершенно
различную физическую природу. Длина и электроемкость в системе СГС имеют
одинаковую размерность, будучи величинами разными, и имеющими различную
физическую природу. Это говорит о том, что любой метод не гарантирован
от просчетов и ошибок.
Метод размерностей. Пусть величина U находится в Функциональной
зависимости от величины
, т.е.
(1)
Будем считать что величины
обладают определенными
размерностями, а равенство (1) справедливо в любой системе единиц,
применяемой для измерения основных величин. В этом случае
функция (1) не может быть произвольной, а должна быть такой, чтобы
выполнялось равенство :
Это обстоятельство заметно сужает класс возможных функций f и
позволяет в какой-то степени предсказывать физические зависимости.
Примеры:
1) пусть точка начинает движение из состояния покоя и движется и с
постоянным ускорением a
Тогда пройденный путь будет некоторой функцией a и t:
(2)
Причем функция должна удовлетворять требованию
В этом случае ясно, что
является степенной, т.е. имеет вид
где
- некоторые константы. Действительно если бы эта функция была
какой-нибудь иной, то правая часть равенства (2) вообще не имела бы
никакой размерности. Отсюда
(3)
причем
и
таковы, что выполняется условие
Легко показать, что равенство (3) справедливо только при
Приходим к выводу, что
Где c - неизвестная константа (безразмерная)
2) Пусть математическому маятнику сообщили начальную скорость
вследствие чего он отклонился на угол
В этом случае
,
(4)
где l - длина маятника, g - ускорение силы тяжести.
При этом т.к.
— величина безразмерная, то функция f
должна удовлетворять условию:
(5)
Если, как и в предыдущем решении, искать функцию f в виде
то выяснится, что требованию
удовлетворяет бесчисленное множество степенных комбинаций.
Одной из них является отношение
, а остальные имеют вид
(6)
Где k - произвольное число.
Поэтому считая зависимость (4) степенной приходим к выводу, что
где c - безразмерная константа.
Однако нетрудно увидеть, что этот вывод сделан поспешно. В самом деле,
поскольку выражение (6) является безразмерным при любом k, требование
безразмерности
будет выполняться и при
и т. п.
Более того, это требование будет выполняться и при
;
(7)
Где
– выбранная функция (произвольная).
Следовательно, зависимость(4) может выражаться любым равенством вида
(7).
Итак, интересующая нас зависимость может быть и не степенной.
Причина этого в том, что комбинация
функция от
безразмерна, и поэтому любая
тоже является безразмерной.
3) Бывают случаи, что хотя физическая величина является размерной, тем
не менее функция может быть и не степенной. Объясняется это тем, что из
аргументов этой функции можно составить безразмерную степенную
комбинацию.
Пример:
Теперь перейдем к общему случаю
Пусть
(8)
и поэтому выполняется условие
Посмотрим, какие ограничения накладывает это условие на функцию.
Будем сначала считать, что U - величина безразмерная (например,
угол). Тогда условие будет выражаться равенством:
(9)
(10)
и ему будет удовлетворять любая функция вида
(11)
где
- безразмерные степенные комбинации величин.
Вместе с тем, можно доказать, что каждая функция f, удовлетворяющая
условиям (10) есть либо функция вида (11), либо константа.
Следовательно, если U - безразмерно, то зависимость (8) описывается
равенством:
(12)
Или равенством
(13)
Пусть теперь U имеет произвольную размерность. Образуем какую-нибудь
степенную комбинацию:
,
(14)
удовлетворяющую условию:
(15)
и рассмотрим безразмерное отношение:
(16)
1-й случай: Величины
комбинации
допускают безразмерные степенные
Тогда зависимость (16) будет иметь вид:
Откуда
(17)
2 Случай:
безразмерные степенные комбинации
Тогда зависимость (16) будет иметь вид:
невозможны.
Откуда
(18)
Таким образом,
зависимость
(19)
описывается равенством
Искомый период
Таким образом
вида (17; 18).
зависит от длины l и массы маятника m и его веса Р.
Далее ищем степенную комбинацию
(20)
удовлетворяющую условию
(21)
Так как
То
,
и равенство (21) принимает вид
Отсюда
Таким образом функция (20)имеет вид:
Причем это единственная степенная комбинация величин l,m,p,
удовлетворяющая условию (21), следовательно, безразмерные комбинации
этих величин невозможны и поэтому:
Учтя, что
, получим:
(22)
Равенство (22) показывает, что период колебания математического маятника
пропорционален
и обратно пропорционален
Если бы начальный угол отклонения маятника был равен не 45°, а, скажем,
60°,то зависимость (22) была бы точно такой же, но константа c имела бы
другое значение. В общем случае перепишется:
(23)
где
- амплитуда колебаний маятника
Функция
остается при этом неопределенной (как известно, если
невелико, то
)
Области применения метода размерностей.
Покажем, как можно использовать метод размерностей при решении задач по
молекулярной физике, электричеству, оптике.
Пример №1. Скорость звука в твердой среде, очевидно, зависит от
Где - плотность среды, а E – модуль упругости.
Исследовать эту зависимость.
,
Решение: Так как
, то
где
,
.
Следовательно,
Замечание: В этом примере предполагалось известным; что скорость звука
зависит только от свойств среды, а не от характера самого звука.
Пример №2. Круглая капиллярная трубка опущена в сосуд с жидкостью.
Высота подъема жидкости равна h, внутренний радиус трубки равен r,
удельный вес жидкости d, а ее поверхностное натяжение равно .
Исследовать зависимость
(краевой угол мениска
предполагается равным 0 ).
Решение: В системе LMT имеем:
(1)
(2)
Так как
, то зависимость
имеет вид
(3)
где
—безразмерные степенные комбинации величин
Найдем их.
Пусть
.
Тогда из (1) и (2) получим
Откуда
, где
– произвольно, следовательно,
Так как каждая комбинация такого вида выражается через
зависимость (3) имеет вид
, то
(4)
Функция F остается при этом неопределенной.
Пример №4. Проводник имеет форму куба со стороной a. Исследовать
функцию
где с – электроемкость куба.
Решение 1: будем пользоваться системой QL. Поскольку
где -потенциал, а E – напряженность, то, согласно
получим:
тогда
Таким образом,
и
, где k – некоторый коэффициент. Следовательно,
емкость куба пропорциональна его ребру.
Решение 2: Будем пользоваться системой LMTJ. В этом случае искомая зависимость
будет иметь вид
где
- диэлектрическая проницаемость вакуума. Далее ищем степенную комбинацию
, удовлетворяющую условию
Учитывая, что
получим
Из этого равенства непосредственно видно, что
Следовательно,
Пример 5. Тонкая раскаленная проволока расположена вдоль оси цилиндра
и освещает его внутреннюю поверхность. Считая проволоку и цилиндр
бесконечно длинными, найти зависимость освещенности от радиуса цилиндра.
Решение: Будем пользоваться системой JL, в которой основными величинами
являются сила света и расстояние. Тогда освещенность будет иметь
размерность
Освещенность цилиндра, очевидно, зависит от его радиуса и от силы света,
излучаемого единицей длины проволоки. Обозначив эту силу света через i,
получим:
где
следовательно,
отсюда
Таким образом, освещенность этого обратно пропорциональна его радиусу.
Пример 6. Тонкий пучок параллельных лучей падает на поверхность
стеклянного шара, как показано на рисунке.
S
2R
d
Считая, что преломленные лучи собираются в точке S, найти зависимость.
Решение.
Очевидно,
где n – показатель преломления стекла.
Но так как
и
, то
т.е расстояние пропорционально радиусу.
Был рассмотрен ряд примеров из всех областей физики. Но прежде, чем
перейти к анализу метода размерностей, остановимся на одном немаловажном
вопросе.
О выборе основных величин
На протяжении всей курсовой работы нам встречалось "Будем
пользоваться системой JUT, LMTJ,QL и т.д.” Расшифруем эти буквы и что
они обозначают. В начале курсовой работы мы перечислили наиболее
распространенные и общепризнанные системы в настоящее время: СГС (м, г,
сек), МКС (м, кг, сек), МКГСС (м, кг, сила, сек), МТС.
В этих системах основные величины СГС (с, г, сек), следовательно,эта
система, относится к классу систем LMT. L = см: М = г; T = сек.
Следовательно, в физике систему обозначают по количеству основных
величин. В механике пользуются как системой LMT, так и системой
LTF(МКГСС(м, кг, сила, сек))или LMTF.
Так как последняя строится не на трех основных величинах, а на четырех,
естественно возникает вопрос: сколько вообще основных величин должна
содержать система физических мер?
Это число является совершенно произвольным и может быть как увеличено,
так и уменьшено. Прежде всего, ясно, что любую Физическую величину можно
при желании рассматривать как основную. Возьмем, например, скорость.
Чтобы сделать эту величину основной, достаточно единицу измерения
скорости считать произвольной и не связывать ее с единицами измерения
длины и времени (например, измеряя длину в м, а время - в сек, считать
единицу измерения скорости равной 2 см/мин или 5 км/ч). Следовательно,
число основных величин может быть произвольно увеличено.
Но число основных величин можно и уменьшить. Можно пользоваться в механике системой, имеющей две основные величины (пример см. выше). И так,
число основных величин может быть уменьшено до двух и даже до одной,
дальнейшее сокращение числа основных величин привело бы нас к системе,
не содержащей ни одной основной величины. В такой системе единицы
измерения всех величин будут раз и навсегда заданы, и поэтому понятие
размерности вообще потеряет смысл.
Возможности метода размерности.
Прежде всего, следует подчеркнуть, что метод размерностей
совершенно не затрагивает физической стороны рассматриваемого явления. В
сущности, это чисто математический прием, основанный на некоторых
соображениях "масштабного характера". Поэтому сам по себе он, никогда не
может привести к установлению какого-либо нового Физического закона.
Действительно, мы знаем, что метод размерностей применим только к
таким зависимостям, которые справедливы при любых единицах
измерения основных величин. Поэтому, пытаясь исследовать методом
размерностей зависимость
(1)
мы должны быть уверены, что для нее это требование выполняется. Но иметь
такую уверенность можно только в одном случае, когда известно, что
зависимость (1) может быть получена из ранее известных соотношений,
удовлетворяющих высказанному требованию инвариантности. Отсюда следует,
что метод размерностей позволяет получать лишь те соотношения, которые
являются математическими следствиями уже известных законов.
Однако, несмотря на весьма ограниченные возможности этого метода,
он все же нередко оказывается полезным.
Во-первых, метод размерностей очень прост в математическом отношении.
И хотя получаемые с его помощью результаты всегда содержат некоторую
определенность, тем не менее, они позволяют получить известное
представление о характере искомой зависимости.
Во-вторых, метод размерностей может быть использован при
экспериментальном определении некоторых зависимостей. Пусть, например,
нужно найти силу сопротивления жидкости движущемуся в ней шару. В этом
случае
(2)
где F - искомая сила, R - радиус шара, V — его скорость,
— плотность
жидкости и
- ее вязкость. Т.к. функция (2) содержит четыре аргумента,
ее непосредственное экспериментальное определение требует очень большого
количества опытов. Однако, применив к этой зависимости метод
размерностей, придем к выводу, что она имеет вид
т.е. выражается через неизвестную функцию одного лишь аргумента
(число Рейнольдса) Таким образом, метод размерностей позволяет
значительно сократить число опытов, нужных для определения зависимости
(2).
В-третьих, метод размерностей можно использовать для оценки порядка
некоторых физических величин. Например, определяя электроемкость куба,
мы получим для нее выражение
где k - некоторый безразмерный коэффициент. И хотя этот коэффициент
неизвестен, однако он, несомненно, является величиной, сравнимой с
единицей. Поэтому можно утверждать, что электроемкость куба имеет
величину порядка ???? В-четвертых, метод размерностей используется в
теории подобия. В частности, при решении задач использование размерности
позволили обнаружить ошибки, допущенные при получении расчетных формул.
В заключении еще раз следует подчеркнуть, что размерность есть чисто
математическая характеристика физической величины и ни в коем случае не
может рассматриваться как отражение ее "физической сущности
ЛИТЕРАТУРА
1. Б. В. Коган
Размерность физической культуры, изд.
Наука Москва 1968г.
2. П.В. Бриджман Анализ размерностей ОНТИ ГТТИ 1934 г.
3. Б. М. Яворский и Детлаф Справочное руководство по
физике.
4. Л.А. Сена Единицы измерения физических величин ГИТТЛ
Москва 1951г.
5. В.А. Базакуца Международная система единиц измерений
Харьков изд. Харьковского университета 1963 г.
6. Л.Д. Ландау А.И. Китайеородокий Физика для
всех.Книга I, Физические тела. Изд. Наука Москва
1978 г,
7. Единицы физических величин М Стандарт ТГИЗ 1963г.
8. Бурдун Единицы физических величин М Стандарт ТГИЗ
1963г.