Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ставропольская государственная медицинская академия»

Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ставропольская государственная медицинская академия»
Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации
Кафедра Физики и математики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
профессор ___________ А.Б. Ходжаян
«___» _____________ 20__ г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
дисциплины Математика
направления подготовки 240700.62 – Биотехнология
профиль – Технология лекарственных препаратов
форма обучения – очная
Всего ЗЕТ – 9
Всего часов – 324
из них:
 аудиторных занятий – 192
из них:
- лекций – 48
- практических занятий – 144
 самостоятельная работа – 96
 форма контроля:
- зачет – 2 семестр
- экзамен – 3 семестр (36 часов)
г. Ставрополь 2012 г.
Рабочая учебная программа разработана в соответствии с
- ФГОС ВПО по направлению подготовки 240700.62 – Биотехнология,
Утвержденным приказом Минобрнауки России от 22 декабря 2009 г. № 816;
- рабочим учебным планом по направлению подготовки 240700.62 – Биотехнология, утвержденным Ученым советом академии.
Рабочая учебная программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры
Физики и математики.
«___» _______________20____года протокол № ___
Зав. кафедрой
Е. И. Дискаева
_______________________
Одобрена Цикловой методической комиссией медико-биологических и естественнонаучных дисциплин
«___» _______________20____года
Председатель ЦМК
Согласована:
Декан факультета гуманитарного
и медико-биологического образования
Начальник УМУ
Т. Б. Сергеева
________________________
___________________
________________________
Н. А. Федько
Н. П. Вышковский
«___» _______________20____года
Руководитель ЦУКО
________________________
Ю. В. Первушин
«___» _______________20____года
Рецензенты:
Зав. кафедрой Теоретической физики
СКФУ, доцент
Зав. кафедрой Общей и биологической химии
СтГМА, профессор
2
В. И. Волкова
К. С. Эльбекьян
Пояснительная записка
Учебная дисциплина «Математика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла и служит для формирования базовых
знаний, необходимых для усвоения специальных дисциплин. Учебный план
предусматривает изучение дисциплины в течение 1 года (II и III семестры).
Математика является не только мощным средством решения прикладных
задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке
бакалавра, выработку представления о роли и месте математики в современной
цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с
абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических
понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
Обучение складывается из аудиторных занятий (192 часа) и самостоятельной работы (96 часов). В дисциплине предусмотрено использование следующих образовательных технологий:
лекционный курс (чтение лекций в сопровождении видеоматериалов:
плакаты, слайд-презентации) – 48 часов;
практические занятия – предусматривают разбор и решение задач по различным разделам курса – 144 часа.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет
не менее 40% аудиторных занятий.
Лекции читаются доцентами и старшими преподавателями кафедры, кандидатами наук.
Практические занятия проводятся в аудиториях, оборудованных досками. В ходе учебного занятия студенты проходят входное тестирование, собеседование, самостоятельно и при участии преподавателя выполняют поставленные перед ними практические задачи по овладению знаниями и приобретению
необходимых навыков, отчитываются за проделанную на занятии учебную работу. В конце занятия проводится выходное тестирование. Теоретические знания и практические навыки контролируются на зачете (II семестр) и экзамене
(III семестр).
Пропущенные лекции отрабатываются в реферативной форме. Ликвидация пропусков по практическим занятиям производится согласно графику отработок, размещенному на кафедральном стенде и электронной странице кафедры официального сайта академии.
Самостоятельная работа занимает важное место в подготовке студента.
Контроль в самостоятельной работе является мотивирующим фактором образовательной деятельности студента. Результаты выполнения СРС включены в показатели успеваемости.
Работа студентов на занятии оценивается в рамках внедренной на кафедре балльно-рейтинговой системы оценки образовательной деятельности студентов. По результатам учебной деятельности студенты в соответствии с
набранными баллами, по решению кафедры, могут освобождаться от проведе3
ния итоговой аттестации. Итоговая аттестация включает в себя два этапа: тестирование и собеседование.
Для решения задач образовательного процесса на кафедре разработан
учебно-методический комплекс, включающий в себя ряд элементов: федеральный государственный образовательный стандарт, рабочую учебную программу, методические разработки для студентов и преподавателей по каждому практическому занятию, тексты лекций, перечень информационного и материального обеспечения образовательного процесса. Бумажный и электронный варианты утвержденной рабочей программы хранятся на кафедре (в том
числе на страничке кафедры на сайте академии), в профильном деканате, учебно-методическом управлении и научной библиотеке СтГМА.
Дисциплина согласовано изучается с другими дисциплинами учебного
плана. Предметом согласования является такие вопросы, как дифференциальное исчисление, дискретная математика, теория вероятностей и математическая
статистика и др., что отражено в совместных протоколах согласования.
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Целями освоения учебной дисциплины «Математика» являются:
 формирование у студентов базовых знаний об основных идеях и методах
математического анализа и линейной алгебры;
 развитие у обучающихся навыков работы с математическим аппаратом;
 получение представлений о существующих математических методах и
моделях и условиях их применения.
Задачами дисциплины «Математика» являются:
 формирование у студентов логического мышления, умения точно формулировать задачу, способность вычленять главное и второстепенное,
умения делать выводы на основании полученных результатов измерений;
 приобретение студентами умения делать выводы на основании полученных результатов измерений;
 приобретения студентами умения использовать математический аппарат
для решения теоретических и прикладных задач.
2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Математика»
рассматривается как составная часть подготовки студентов направление подготовки 240700 Биотехнология. Данная дисциплина относится к базовой части,
математического и естественнонаучного цикла.
Дисциплине «Математика» предшествует общематематическая подготовка в объеме средней общеобразовательной школы или технического колледжа.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций по данному направлению подготовки:
4
а) общекультурных (ОК):
 стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства, способность приобретать новые знания в области техники и технологии, математики, естественных, гуманитарных, социальных и экономических наук (ОК-7);
б) профессиональных (ПК):
 быть способным и готовым использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ПК-1);
 владеть планированием эксперимента, обработкой и представлением полученных результатов (ПК-8).
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
1) основные понятия и методы математического анализа,
2) основные понятия и методы аналитической геометрии,
3) основные понятия и методы линейной алгебры,
4) основные понятия и методы дифференциального исчисления;
5) основные понятия и методы интегрального исчисления;
6) основные понятия и методы дифференциальных уравнений и элементов
теории уравнений математической физики;
7) основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики математических методов решения профессиональных задач;
8) элементы теории уравнений математической физики.
Уметь:
1) проводить анализ функций,
2) решать основные задачи теории вероятности и математической статистики;
3) решать уравнения и системы дифференциальных уравнений применительно к реальным процессам;
4) использовать аналитические и численные методы решения алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений;
5) решать уравнения в частных производных.
Владеть / быть в состоянии продемонстрировать
1) методами математического анализа
2) навыками применения современного математического инструментария
для решения прикладных задач.
5
4. Матрица формирования компетенций
№
п/п
Наименование разделов
дисциплины
Индекс
В результате изучения учебной
компетенции
дисциплины обучающиеся
по ФГОС
должны
ОК-7 ПК-1 ПК-8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Знать
Уметь
Владеть
Аналитическая геометрия
+
+
+
2
+
+
+
3
4
1,2
+
+
+
1
1
1
+
+
+
1,4
1
1
+
+
+
1,4
Дифференциальные уравнения
+
+
+
1,5
4
1
Элементы теории уравнений
математической физики
+
+
+
8
5
2
Элементы дискретной математики
+
+
+
6
2
2
Случайные события и их вероятности
+
+
+
6
2
2
+
+
+
6
2
2
+
+
+
6
2
2
Элементы векторной и линейной алгебры
1,2
Введение в анализ
Дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных
Интегральное исчисление
10. Одномерные случайные величины и законы их распределения
11. Элементы математической
статистики
6
1
5. Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц (ЗЕТ),
324 часа.
№
п/п
1.
2.
3.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СРС)
В том числе:
самоподготовка
Вид промежуточной аттестации
(зачет/экзамен)
Общая трудоемкость
Всего
часов
192
Семестры
2
3
96
96
48
144
96
24
72
48
24
72
48
36
48
зачет
324
144
48
экзамен
36
180
6. Содержание дисциплины
6.1. Содержание разделов дисциплины
№ Наименование разСодержание раздела
п/п дела дисциплины
1. Введение. Аналити- Исторические сведения о развитии математики. Цеческая геометрия
ли и задачи курса. Система координат на плоскости:
основные понятия, приложения метода координат на
плоскости. Линии на плоскости: основные понятия,
уравнения прямой на плоскости. Плоскость и прямая
в пространстве.
Кривые второго порядка. Окружность: определение,
каноническое уравнение и свойства. Эллипс: определение, каноническое уравнение и свойства. Гипербола: определение, каноническое уравнение и
свойства. Парабола: определение, каноническое
уравнение и свойства. Общее уравнение линий второго порядка. Уравнения поверхности и линии в
пространстве основные понятия, уравнения плоскости в пространстве. Плоскость. Прямая и плоскость
в пространстве. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
2. Элементы векторПрямоугольные координаты в пространстве. Вектоной и линейной ал- ры и простейшие действия над ними. Скалярное
гебры
произведение векторов, свойства. Векторное произведение векторов, свойства. Смешанное произведение векторов, свойства. Матрицы. Ранг матрицы.
7
3.
Введение в анализ
4.
Дифференциальное
исчисление функций одного и нескольких переменных
Эквивалентные матрицы. Линейные операции над
матрицами. Понятие об определителе n-го порядка.
Минор и алгебраические дополнения определителя.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, матричным методом и методом Крамера. Линейные пространства. Преобразования координат при
переходе к новому базису. Подпространства. Линейные преобразования.
Операции над множествами. Основные числовые
множества. Функции одной переменной. Основные
элементарные функции, их графики. Сложная функция. Последовательности, предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Предел функции. Первый и
второй замечательный пределы. Бесконечно малые
и бесконечно большие величины, связь между ними.
Сравнение бесконечно малых величин. Раскрытие
неопределенностей. Непрерывность функций. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Теоремы
о непрерывных функциях на отрезке. Непрерывность элементарных функций.
Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
Дифференцируемость функций, связь непрерывности с дифференцируемостью. Обратная функция и ее
дифференцирование. Таблица основных правил и
формул дифференцирования. Производные высших
порядков. Дифференциал функции, его применение
в приближенных вычислениях. Теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Достаточные признаки монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое и достаточные условия. Выпуклость кривой, точки перегиба. Необходимое и достаточные условия. Асимптоты кривой.
Область определения и график функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Частные
производные и дифференциалы. Полное приращение
и полный дифференциал, его применение. Производная сложной функции, производная неявно заданной функции. Уравнение касательной к кривой
F ( x, y )  0 . Уравнение касательной плоскости к поверхности F ( x, y, z )  0 . Производная по направлению. Градиент. Предел и непрерывность функции
8
5.
Интегральное
исчисление
6.
Дифференциальные
уравнения
нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве:
ограниченность,
достижение
наибольшего
и
наименьшего значений. Частные производные, полный дифференциал, дифференцируемость функций
нескольких переменных. Необходимое условие
дифференцируемости (непрерывность и существование частных производных). Достаточное условие
дифференцируемости. Частные производные второго порядка. Теорема о равенстве смешанных производных.
Определение первообразной. Теорема о бесконечном множестве первообразных для данной функции.
Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методами замены переменной и по частям. Рациональные дроби и
их интегрирование. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.
Теорема о среднем. Площадь криволинейной трапеции. Формула
Ньютона-Лейбница. Производная определенного
интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла методами замены
переменной и по частям. Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла: площадь фигуры в декартовых координатах, объем тела вращения, длина дуги плоской кривой, работа переменной
силы.
Примеры задач, приводящих к дифференциальным
уравнениям. Дифференциальное уравнения 1-го порядка: общее и частное решение (интеграл), задача
Коши, формулировка теоремы существования и
единственности решения уравнения y'  f ( x, y) . Метод Эйлера численного решения дифференциальных
уравнений 1-го порядка. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го
порядка и уравнения Бернулли. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения 2-го порядка: общее и частное
решение (интеграл), задача Коши, формулировка
теоремы существования и единственности решения
уравнения y"  f ( x, y, y ' ) . Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение по9
7.
Элементы
теории
уравнений математической физики
8.
Элементы дискретной математики
9.
Случайные события
и их вероятности
10.
Одномерные
случайные величины и
законы их распределения
рядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го
порядка: структура общего решения однородного и
неоднородного уравнений. Линейные однородные
дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Характеристическое
уравнение. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью.
Дифференциальные уравнения в частных производных. Вывод основных дифференциальных уравнений математической физики. Волновое уравнение,
уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера. Уравнение переменного электромагнитного поля
в потенциалах. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных. Нахождение частных
решений уравнений в частных производных путем
разделения переменных. Интегрирование уравнений
математической физики в цилиндрической системе
координат. Интегрирование уравнений математической физики в сферической системе координат. Метод Грина решения краевых задач. Функция Грина
для шара.
Особенности задач, решаемых дискретной математикой и методов их решения. Основные формулы
комбинаторики. Основные определения и сведения
из теории множеств: действия над множествами; отношения, свойства бинарных отношений; отношения эквивалентности и порядка.
Основные определения, связанные с понятием «случайное событие». Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности.
Формулы комбинаторики. Алгебра событий. Условные вероятности, независимые события. Формулы
полной вероятности и Байеса. Повторение испытаний, формула Бернулли.
Понятие о случайной величине. Ряд распределения
дискретной случайной величины; функция распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее
свойства. Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее
квадратическое отклонение случайной величины.
Моменты случайной величины. Коэффициент асимметрии и эксцесс. Геометрическое, биномиальное
распределения, распределение Пуассона, распределение Стьюдента и равномерное распределение. По10
11.
казательное и нормальное распределения.
Элементы матема- Задачи, решаемые математической статистикой. Вытической статистики борочный метод. Простой статистический ряд.
Статистическое распределение выборки, гистограмма, многоугольник распределения. Точечные оценки
параметров распределения, их характеристики (несмещенность, эффективность, состоятельность). Метод наибольшего правдоподобия. Интервальные
оценки параметров. Доверительный интервалы для
математического ожидания нормального распределения. Постановка и методы решения задачи проверки статистических гипотез. Проверка гипотез о
значениях параметров нормального распределения.
6.2 Разделы дисциплины и формы занятий
№ раздела
Наименование раздела дисциплины
1.
Аналитическая геометрия
2.
Элементы векторной и линейной алгебры
Введение в анализ
3.
5.
Дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных
Интегральное исчисление
6.
Дифференциальные уравнения
7.
8.
Элементы теории уравнений математической физики
Элементы дискретной математики
9.
Случайные события и их вероятности
10.
Одномерные случайные величины и
законы их распределения
Элементы математической статистики
4.
11.
11
СРС
Всего
часов
12
8
24
6
14
10
30
6
14
10
30
4
16
10
30
4
14
8
26
4
16
10
30
4
12
8
24
4
10
8
22
4
12
8
24
4
10
8
22
4
14
8
26
Л
ПЗ
4
ЛР
6.3 План лекций
№
Кол-во
Наименование лекции
Перечень учебных вопросов
часов
1.
2
Система координат на 1. Предмет и задачи аналитической
плоскости
геометрии.
2. Основные понятия, приложения метода координат на плоскости.
3. Линии на плоскости: основные понятия, уравнения прямой на плоскости.
2.
2
Кривые второго поряд- 1. Общее уравнение линий второго пока
рядка.
2. Окружность и эллипс: определение,
каноническое уравнение и свойства.
3. Парабола и гипербола: определение,
каноническое уравнение и свойства.
3.
2
Векторы и простейшие 1. Скалярное произведение векторов,
действия над ними
свойства.
2. Векторное произведение векторов,
свойства.
3. Смешанное произведение векторов,
свойства.
4.
2
Матрицы
1. Основные определения.
2. Линейные операции над матрицами
3. Эквивалентные матрицы.
5.
2
Определители
1. Определители второго и третьего порядка, их свойства.
2. Минор. Алгебраическое дополнение.
3. Определитель n-го порядка.
6.
2
Функции
1. Основные числовые множества.
Функции одной переменной.
2. Основные элементарные функции, их
графики.
3. Сложная функция.
7.
2
Предел последователь- 1. Последовательности, предел числоности
вой последовательности.
2. Теоремы о пределах.
3. Признаки существования пределов.
8.
2
Предел функции
1. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины, связь между ними.
2. Предел функции.
3. Первый и второй замечательный
пределы.
12
9.
2
Производная функции
одной переменной
10.
2
Производная функции
нескольких переменных
11.
2
Неопределенный интеграл
12.
2
Определенный интеграл
13.
2
Дифференциальные
уравнения первого порядка
14.
2
Дифференциальные
уравнения второго порядка
15.
2
1. Производная. Механический и геометрический смысл.
2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши.
3. Дифференциал функции, его геометрический смысл.
1. Понятие о частных производных.
2. Необходимое условие дифференцируемости (непрерывность и существование частных производных). Достаточное условие дифференцируемости.
3. Частные производные второго порядка. Теорема о равенстве смешанных
производных.
1. Неопределенный интеграл, его геометрический смысл.
2. Основные свойства неопределенного
интеграла.
3. Методы нахождения неопределенного интеграла.
1. Определенный интеграл, его геометрический смысл.
2. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Приложения определенного интеграла.
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Общее и частное решение (интеграл).
3. Задача Коши. Теоремы существования и единственности решения уравнения y'  f ( x, y) .
1. Дифференциальные уравнения 2-го
порядка, допускающие понижение порядка.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой
частью.
Основные уравнения
1. Волновое уравнение,
математической физики 2. Уравнение теплопроводности,
13
16.
2
Интегрирование уравнений математической
физики
17.
2
Элементы комбинаторики
18.
2
Элементы теории множеств
19.
4
Элементы теории вероятностей
20.
2
Случайные величины
21.
2
Законы распределения
случайных величин
14
3. Уравнение Шредингера.
4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах.
1. Нахождение частных решений уравнений в частных производных путем
разделения переменных.
2. Интегрирование уравнений математической физики в цилиндрической
системе координат.
3. Интегрирование уравнений математической физики в сферической системе координат.
1. Основные задачи, решаемые дискретной математикой.
2. Формулы комбинаторики.
3. Правила комбинаторики.
1. Основные определения теории множеств.
2. Действия над множествами.
3. Отношения, свойства бинарных отношений; отношения эквивалентности
и порядка.
1. Пространство элементарных событий.
2. Алгебра событий.
3. Классическое и статистическое определение вероятности.
4. Условные вероятности, независимые
события.
5. Формулы полной вероятности и Байеса.
6. Повторение испытаний, формула
Бернулли.
1. Непрерывные и дискретные случайные величины.
2. Функции распределения случайных
величин, их свойства.
3. Основные характеристики случайных
величин.
1. Геометрическое и биномиальное распределения.
2. Распределение Пуассона, распределение Стьюдента.
3. Показательное и нормальное распределения.
22.
4
Элементы математиче- 1. Основные задачи математической
ской статистики
статистики.
2. Точечные оценки параметров распределения, их характеристики (несмещенность, эффективность, состоятельность).
3. Интервальные оценки параметров.
4. Постановка и методы решения задачи проверки статистических гипотез.
5. Проверка гипотез о значениях параметров нормального распределения.
6.4 План практических занятий
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Кол-во
Наименование занятия
Перечень учебных вопросов
часов
2
Система координат на 1. Декартова прямоугольная и полярная
плоскости
системы координат на плоскости.
2. Простейшие задачи на плоскости.
3. Уравнение прямой на плоскости.
4
Плоскость и прямая в 1. Плоскость.
пространстве
2. Прямая в пространстве.
3. Основные задачи на плоскость и
прямую в пространстве.
4
Кривые второго поряд- 1. Окружность: определение, каноничека
ское уравнение и свойства.
2. Эллипс: определение, каноническое
уравнение и свойства.
3. Гипербола: определение, каноническое уравнение и свойства.
4. Парабола: определение, каноническое уравнение и свойства.
2
Элементы
векторной 1. Понятие вектора.
алгебры
2. Линейные операции над векторами.
3. Нелинейные операции над векторами.
6
Матрицы и определите- 1. Матрицы и действия над ними.
ли
2. Нахождение обратной матрицы.
3. Определители.
4. Минор и алгебраические дополнения.
6
Системы
линейных 1. Матричная запись систем линейных
уравнений
уравнений.
2. Решение систем линейных уравнений
15
7.
4
Нахождение пределов
числовых
последовательностей
8.
6
Нахождение
функций
9.
4
Непрерывность
ций
8.
6
Производная функции
одной переменной
9.
4
Дифференциал функции одной переменной
10.
4
Производная функции
нескольких переменных
11.
6
Неопределенный интеграл
пределов
функ-
16
методом Гаусса.
3. Решение систем линейных уравнений
матричным методом.
4. Решение систем линейных уравнений
методом Крамера.
1. Основные элементарные функции.
2. Теоремы о пределах. Признаки существования пределов.
3. Нахождение пределов числовых последовательностей.
1. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины.
2. Предел функции.
3. Сравнение бесконечно малых величин.
4. Первый и второй замечательный
пределы.
5. Раскрытие неопределенностей.
1. Понятие непрерывности функции.
2. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
3. Теоремы о непрерывных функциях
на отрезке.
4. Непрерывность элементарных функций.
1. Определение производной функции.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производные основных элементарных функций.
4. Производная сложной функции.
5. Производная неявно заданной функции.
6. Производные высших порядков.
1. Дифференциал функции.
2. Геометрический смысл дифференциала.
3. Дифференциалы высших порядков.
1. Правила нахождения частных производных.
2. Частные дифференциалы.
3. Полный дифференциал.
1. Первообразная функция.
2. Неопределенный интеграл. Основ-
12.
4
13.
4
14.
8
15.
8
ные свойства неопределенного интеграла.
3. Метод непосредственного интегрирования.
4. Метод замены переменной и метод
интегрирования по частям.
Определенный интеграл 1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Основные свойства определенного
интеграла.
3. Метод замены переменной в определенном интеграле.
4. Метод интегрирования по частям.
5. Приложения определенного интеграла.
Несобственные инте1. Несобственные интегралы первого
гралы
рода.
2. Несобственные интегралы второго
рода.
3. Вычисление несобственных интегралов.
Дифференциальные
1. Дифференциальные уравнения 1-го
уравнения первого попорядка: общее и частное решение.
рядка
2. Дифференциальные уравнения 1-го
порядка с разделяющимися переменными.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4.Уравнения Бернулли.
5. Однородные дифференциальные
уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные
1. Дифференциальные уравнения втоуравнения второго порого порядка: общее и частное решерядка
ние.
2. Дифференциальные уравнения 2-го
порядка, допускающие понижение порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка: структура общего
решения однородного и неоднородного
уравнений.
4. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными ко17
16.
6
17.
6
17.
6
18.
4
19.
6
20
6
21.
4
эффициентами и специальной правой
частью.
Дифференциальные
1. Задачи, приводящие к дифференциуравнения в частных альным уравнениям в частных произпроизводных
водных.
2. Вывод основных уравнений математической физики.
3. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных.
4. Нахождение частных решений уравнений в частных производных путем
разделения переменных.
Интегрирование урав- 1. Интегрирование уравнений матеманений математической тической физики в цилиндрической
физики
системе координат.
2. Интегрирование уравнений математической физики в сферической системе координат.
3. Метод Грина решения краевых задач.
Элементы дискретной
1. Основные задачи дискретной математематики
матики.
2. Основные формулы комбинаторики.
3. Сочетания, перестановки и размещения с повторениями.
4. Правила комбинаторики.
Элементы теории мно- 1. Множества. Основные операции над
жеств
множествами.
2. Бинарные отношения.
3. Свойства бинарных отношений.
4. Отношения эквивалентности и порядка.
Основы теории вероят- 1. Виды случайных событий.
ностей
2. Полная группа событий.
3. Статистическая и математическая вероятности.
4. Границы изменения вероятностей.
Основные теоремы тео- 1. Теоремы сложения вероятностей.
рии вероятностей
2. Условная вероятность.
3. Теоремы умножения вероятностей.
4. Формула полной вероятности.
5. Формула Бернулли
6. Теорема гипотез (формула Байеса).
Дискретные случайные 1. Понятие дискретной случайной вевеличины
личины.
18
22.
4
23.
2
24.
8
25.
6
2. Способы задания дискретных случайных величин.
3. Основные характеристики дискретных случайных величин.
Непрерывные случай1. Понятие непрерывной случайной веные величины
личины.
2. Интегральная и дифференциальная
функции распределения, их свойства.
3. Основные характеристики непрерывных случайных величин.
Законы распределения
1. Геометрическое и биномиальное расслучайных величин
пределения.
2. Распределение Пуассона, распределение Стьюдента.
3. Показательное и нормальное распределения.
Основные понятия ма1. Задачи, решаемые математической
тематической статисти- статистикой.
ки
2. Выборочный метод. Простой статистический ряд.
3. Статистическое распределение выборки, гистограмма, многоугольник
распределения.
4. Точечные оценки параметров распределения, их характеристики (несмещенность, эффективность, состоятельность). Метод наибольшего правдоподобия.
Определение
довери- 1. Интервальные оценки параметров.
тельного интервала
2. Доверительный интервалы для математического ожидания нормального
распределения.
3. Постановка и методы решения задачи
проверки статистических гипотез.
6.5 Занятия, проводимые в интерактивной форме
№
п/п
1.
2.
Форма занятия
Л
ПЗ
Используемые интерактивные образовательные технологии
Использование мультимедийных курсов,
слайдов
Применение кейс-метода, работа в группах
19
Кол-во
часов
48
40
6.6 Самостоятельное изучение разделов
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование раздела дисциплины.
Кол-во
Вопросы, выносимые на самостоятельное изуВиды СРС
часов
чение
Аналитическая геометрия
подготовка к за1. Система координат на плоскости. Линии на нятиям, подгоплоскости.
товка к текущему
2. Плоскость и прямая в пространстве.
контролю, вы3. Кривые второго порядка (окружность, эл- полнение конлипс, гипербола, парабола: определение, кано- трольной работы
ническое уравнение и свойства).
8
4. Уравнения поверхности и линии в пространстве.
5. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве.
6. Поверхности вращения.
7. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Элементы векторной и линейной алгебры
подготовка к за1. Прямоугольные координаты в пространстве. нятиям, подготов2. Векторы и простейшие действия над ними. ка к текущему
3. Матрицы. Ранг матрицы. Эквивалентные контролю, выполматрицы. Линейные операции над матрицами. нение контроль4. Понятие об определителе n-го порядка. Миной работы
нор и алгебраические дополнения определите10
ля.
5. Системы m линейных уравнений с n неизвестными, методы их решения.
6. Линейные пространства. Преобразования
координат при переходе к новому базису.
7. Подпространства. Линейные преобразования.
Введение в анализ
подготовка к за1. Основные числовые множества.
нятиям, подготов2. Функции одной
переменной. Основные ка к текущему
элементарные функции, их графики. Сложная контролю, выполфункция.
нение контроль3. Последовательности, предел числовой поной работы
10
следовательности.
4. Предел функции. Первый и второй замечательный пределы.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие
величины, связь между ними. Сравнение бесконечно малых величин.
20
4.
5.
6.
6. Раскрытие неопределенностей.
Дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных
1. Дифференцируемость функций, связь непрерывности с дифференцируемостью. Обратная функция и ее дифференцирование.
2. Дифференциал функции, его применение в
приближенных вычислениях.
3. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя.
4. Достаточные признаки монотонности функции.
5. Экстремумы функции, необходимое и достаточные условия. Выпуклость кривой, точки
перегиба. Асимптоты кривой.
6. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
7. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность,
достижение наибольшего и наименьшего значений.
8. Частные производные, полный дифференциал, дифференцируемость функций нескольких
переменных. Необходимое и достаточные
условия дифференцируемости.
9. Частные производные второго порядка. Теорема о равенстве смешанных производных.
Интегральное исчисление
1. Определение первообразной. Теорема о бесконечном множестве первообразных для данной функции.
2. Рациональные дроби и их интегрирование.
3. Понятие определенного интеграла и его основные свойства. Теорема о среднем.
4. Производная определенного интеграла по
переменному верхнему пределу. Несобственные интегралы.
5. Приложения определенного интеграла: площадь фигуры в декартовых координатах, объем тела вращения, длина дуги плоской кривой,
работа переменной силы.
Дифференциальные уравнения
1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
2. Метод Эйлера численного решения диффе21
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
10
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
8
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выпол-
10
7.
8.
9.
10.
ренциальных уравнений 1-го порядка.
нение контроль3. Линейные дифференциальные уравнения 1ной работы
го порядка и уравнения Бернулли.
4. Однородные дифференциальные уравнения
1-го порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения 2го порядка: структура общего решения однородного и неоднородного уравнений.
6. Линейные дифференциальные уравнения 2го порядка с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью.
Элементы теории уравнений математической
подготовка к зафизики
нятиям, подготов1. Понятие об общем интеграле уравнения в
ка к текущему
частных производных.
контролю, выпол2. Нахождение частных решений уравнений в нение контрольчастных производных путем разделения переной работы
менных.
3. Интегрирование уравнений математической
физики в цилиндрической системе координат.
4. Интегрирование уравнений математической
физики в сферической системе координат.
5. Метод Грина решения краевых задач. Функция Грина для шара.
Элементы дискретной математики
1. Особенности задач, решаемых дискретной
математикой и методов их решения.
2. Основные действия над множествами.
3. Отношения, свойства бинарных отношений;
отношения эквивалентности и порядка.
Случайные события и их вероятности
1. Пространство элементарных событий.
2. Алгебра событий.
3. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса).
4. Повторение испытаний, формула Бернулли.
Одномерные случайные величины и законы их
распределения
1. Понятие о случайной величине. Ряд распределения дискретной случайной величины;
функция распределения, ее свойства.
2. Плотность распределения, ее свойства. Математическое ожидание случайной величины.
Дисперсия случайной величины. Среднее
22
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
8
8
8
8
квадратическое отклонение случайной величины.
3. Моменты случайной величины. Коэффициент асимметрии и эксцесс.
4. Геометрическое, биномиальное распределения, распределение Пуассона и равномерное
распределение.
5. Показательное и нормальное распределения.
11.
Элементы математической статистики
1. Задачи, решаемые математической статистикой.
2. Точечные оценки параметров распределения, их характеристики.
Метод наибольшего правдоподобия.
3. Постановка и методы решения задачи проверки статистических гипотез.
4. Проверка гипотез о значениях параметров
нормального распределения.
подготовка к занятиям, подготовка к текущему
контролю, выполнение контрольной работы
8
7. Библиотечно-информационные ресурсы
7.1. Литература
Основная
№
Наименование
п/п
1. Высшая математика:
Учебник для вузов
2. Высшая математика
Автор (ы)
(Фамилия И.О.)
B.C. Шипачев
И.В. Виленкин,
В.М. Горбер
Год, место
издания
М.: Высшая
школа,
2010.
Ростов на
Дону
Феникс
2011
Кол-во экз. в
в библиотеке
25
25
Дополнительная
1. А.С. Бортаковский. Линейная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — 2-е издание, стереотипное.
— М.: Высшая школа, 2010. — 591 с.
2. Под редакцией Г.Н. Яковлева. Высшая математика: Учебник / Г.Л. Луканкин, Н.Н. Мартынов, Г.А. Шадрин, Г.Н. Яковлев; Под редакцией Г.Н.
Яковлева. — 3-е издание, стереотипное — М.: Высшая школа, 2009. —
584 с.
3. Владимир Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие. Издательство:
Юрайт-Издат, 2011 г.
23
7.2. Базы данных, справочные и поисковые системы, Интернет-ресурсы,
ссылки
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm
www.newlibrary.ru
www.nehudlit.ru
www.edu.ru
www.mathnet.ru
8. Оценочные средства
Перечень контрольных вопросов к итоговому контролю
1. Система координат на плоскости.
2. Различные способы задания прямой на плоскости и соответствующие
уравнения.
3. Окружность: определение, каноническое уравнение и свойства.
4. Эллипс: определение, каноническое уравнение и свойства.
5. Парабола: определение, каноническое уравнение и свойства.
6. Гипербола: определение, каноническое уравнение и свойства.
7. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых.
8. Матрицы и простейшие операции над ними.
9. Определители 2го и 3го порядков, их свойства.
10.Обратная матрица и ее вычисление.
11.Понятие о системе линейных алгебраических уравнений. Совместные и
несовместные системы. Матричный метод решения системы.
12.Метод Крамера.
13.Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами.
Угол между векторами.
14.Проекция вектора на ось. Основные теоремы о проекциях.
15.Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов.
16.Базис на плоскости и в пространстве. Прямоугольный декартов базис.
17.Скалярное произведение векторов и его свойства. Направляющие косинусы вектора.
18.Векторное произведение векторов и его свойства.
19.Смешанное произведение векторов и его свойства.
20.Функции и их классификация. Графики элементарных функций. Сложная
функция.
21.Последовательность. Характер изменения переменных величин.
22.Понятие о пределе переменной.
23.Предел функции в точке, его геометрический смысл.
24.Односторонние пределы.
25.Ограниченная функция. Теорема об ограниченной функции.
26.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы.
27.Свойства функций, имеющих предел.
28.Основные теоремы о пределах.
24
29.Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентность функций.
30.Непрерывность функции. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва.
31.Свойства функций, непрерывных на отрезке. Основные теоремы.
32.Задачи, приводящие к понятию производной. Механический смысл производной. Основные свойства производной.
33.Производная сложной функции. Производная обратной функции.
34.Производная функции, заданной параметрическими уравнениями (теорема).
35.Геометрический смысл производной. Уравнение нормали кривой, построенной в точке.
36.Дифференцирование элементарных функций.
37.Дифференцирование неявной функции.
38.Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.
39.Выпуклость и вогнутость функции. Признаки выпуклости и вогнутости
функции.
40.Дифференциал функции одной переменной, его свойства и геометрический смысл.
41.Дифференциалы высших порядков.
42.Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
43.Понятие функции двух независимых переменных. Непрерывность функции двух переменных.
44.Дифференцирование функции двух переменных. Геометрический смысл
частных производных.
45.Полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о дифференцируемости функции двух переменных.
46.Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных
интегралов.
47.Свойства неопределенного интеграла.
48.Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.
49.Интегрирование рациональных функций.
50.Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной
функции.
51.Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
52.Формула Ньютона-Лейбница.
53.Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.
54.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление
площади криволинейной трапеции.
55.Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
25
56.Дифференциальное уравнения 1-го порядка: общее и частное решение
(интеграл).
57.Задача Коши, формулировка теоремы существования и единственности
решения уравнения y'  f ( x, y) .
58.Метод Эйлера численного решения дифференциальных уравнений 1-го
порядка.
59.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
60.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
61.Дифференциальные уравнения 2-го порядка: общее и частное решение
(интеграл).
62.Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение
порядка.
63.Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка: структура общего решения однородного и неоднородного уравнений.
64.Дифференциальные уравнения в частных производных.
65.Волновое уравнение.
66.Уравнение теплопроводности.
67.Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах.
68.Интегрирование уравнений математической физики в цилиндрической
системе координат.
69.Интегрирование уравнений математической физики в сферической системе координат.
70.Метод Грина решения краевых задач.
71.Основные формулы комбинаторики.
72.Действия над множествами.
73.Свойства бинарных отношений.
74.Случайное событие. Виды событий.
75.Классическое и статистическое определения вероятности.
76.Теоремы сложения и умножения вероятности.
77.Формула полной вероятности. Теорема гипотез.
78.Непрерывные и дискретные случайные величины.
79.Плотность распределения и его свойства.
80.Числовые характеристики случайных величин.
81.Нормальное распределение.
82.Распределение Стьюдента.
83.Распределение Пуассона.
84.Показательное и равномерное распределение.
85.Задачи, решаемые математической статистикой.
86.Генеральная совокупность и выборка.
87.Статистическое распределение выборки. Многоугольник распределения, гистограмма.
88.Точечные оценки параметров распределения.
89.Интервальные оценки параметров.
26
90.Проверка гипотез о значениях параметров нормального распределения.
Примерные задания выходного контроля по различным разделам
1. Аналитическая геометрия.
Пример задания. Даны точки А(1;-1), В(0;3), С(-2;1). Найти
1 Уравнения сторон ÀÂÑ
2 Уравнение медианы AD
3 Уравнение высоты АН
4 Длину высоты АН
2. Элементы линейной и векторной алгебры.
Пример задания. Решить систему линейных уравнений двумя способами:
 x1  x 2  2 x 3  5

  2 x 2  x 3  1
x
 x 3  2
 1
Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0).
Найти
a , где a  2 AB  AC  3 AD
cos ABC
S ABC
3. Пределы функций.
Пример задания.
Вычислить предел
x 2  2x  3
x 1
x2 1
x 2  2x  3
lim
x 
x2 1
x 2x
lim
x 1
x 1
1  cos x
lim
x 0
x
1x
lim 1  2 x 
lim
x 0
4. Дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных.
Примеры заданий.
1) Найти производные данных функций
y
x3  x  2
3
x2
, y'  ?
y  x 2  2 x 1 , y '  ?
y  sin 3 x , y"  ?
sin 2 x  tgx
, y' ( 4)  ?
y
cos 2 x
27
2) Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя.
ln 2 x
x 1 x  1
ln 2 x
lim
x  x  1
lim x ln 2 x
lim
x 0
lim (1  sin 2 x)  x
2
x 0
3) Найти полный дифференциал данных функций
U  xe yz  3 z x 2 sin x  3
U
2 x 5 ytgz
sin xy
4. Интегральное исчисление.
Пример задания.
1) Найти неопределенный интеграл
x 3  2x x  1
dx
x

 xe dx
 x ln xdx
 cos xdx
 x2
2
2

x 3  2x 2  x  3
dx
x 2  2x  3
2) Вычислить определенный интеграл
2

1
dx
x2
 2
 cos x ln(sin
x)dx
 6
6. Дифференциальные уравнения
Пример задания. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
x( y  1)dx  ( x  1) ydy  0
y" y '2 y  0
7. Дифференциальные уравнения в частных производных
Пример задания. Привести к каноническому виду следующие уравнения:
 2u
 2u  2u
u
u

2
 2 

 cu  0
2
xy y
x
y
x
 2u
 2u
 2 u u
u

4

5

2
0
2
2
xy
x
y
x
y
8. Случайные события и их вероятности.
Пример задания. В урне находится 3 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что среди четырех взятых случайным образом шаров будет
28
ровно 2 белых шара;
не менее 2-х белых шаров;
менее 2-х белых шаров.
9. Случайные величины.
Пример задания. Дана функция распределения непрерывной случайной
величины Х
если x  1
0,

3
 ( x  1)
F ( x)  
, если 1  x  3
 8
если x  3
1,
Найти функцию плотности f (x)
Вычислить P (1  X  2)
Вычислить M ( X ) и D ( X ) .
9. Материально-техническое обеспечение
Мультимедийный комплекс (ноутбук, проектор, экран). Учебные аудитории, оборудованные досками. Таблицы.
10. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи со смежными (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование последующих дисциплин
Прикладная
механика
Электротехника и
электроника
Информатика
Номера разделов данной дисциплины, Согласовано:
необходимые для изучения последую- (подпись зав.
щих дисциплин
кафедрами)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
+ + + + + + +
+
+
+
+
Планирование и
обработка результатов эксперимента
29
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.
Моделирование и
оптимизация биотехнологических
процессов
+
30
+
+
+
+
+
+
31
32