МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ “Методы математической физики” ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по курсу:
“Методы математической физики”
Преподаватель
к.т.н., доцент Рындин Е.А.
Таганрог 2004
2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Цель преподавания дисциплины
Предметом дисциплины являются методы моделирования физических
процессов, основные уравнения математической физики (уравнения Лапласа,
Пуассона, уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнения
непрерывности), аналитические и численные методы решения краевых и
нестационарных задач.
Содержание дисциплины включает сведения о задачах, приводящих к
решению основных уравнений математической физики, относящихся к
различным классам (эллиптическим, параболическим и гиперболическим), а
также систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Рассматриваются уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности, волновое
уравнение, фундаментальная система уравнений полупроводника для
различных базисов переменных, нормировочные коэффициенты, граничные
условия Дирихле и Неймана, а также начальные условия для решения
нестационарных задач, методы дискретизации дифференциальных уравнений в
частных производных, метод конечных разностей для равномерных и
неравномерных координатных сеток и конечно-разностное представление
уравнений математической физики на различных шаблонах, в рамках метода
конечных элементов представлены метод триангуляции Делоне, метод
интегральных тождеств и теорема Гаусса, методы решения систем
алгебраических уравнений, полученных в результате дискретизации
дифференциальных уравнений в частных производных (метод исключения
Гаусса, метод LU-разложения, итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя
для систем большой размерности), методы решения систем нелинейных
алгебраических уравнений представлены итерацией неподвижной точки и
методом Ньютона-Рафсона. На конкретных примерах рассматриваются
критерии сходимости итерационных методов.
Цель дисциплины состоит в изучении студентами сведений и
приобретении практических навыков, необходимых для разработки алгоритмов
и программных средств решения уравнений математической физики.
1.2. Задачи изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины учащиеся должны:
- знать задачи, приводящие к решению основных уравнений математической
физики, относящихся к различным классам (эллиптическим, параболическим
и гиперболическим), уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности,
волновое уравнение, фундаментальную систему уравнений полупроводника
для различных базисов переменных, нормировочные коэффициенты,
граничные условия Дирихле и Неймана, а также начальные условия для
решения нестационарных задач, метод конечных разностей для равномерных
3
и неравномерных координатных сеток и конечно-разностное представление
уравнений математической физики на различных шаблонах, метод конечных
элементов, метод триангуляции Делоне, метод интегральных тождеств,
теорему Гаусса, методы решения систем алгебраических уравнений,
полученных в результате дискретизации дифференциальных уравнений в
частных производных (метод исключения Гаусса, метод LU-разложения,
итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя для систем большой
размерности), методы решения систем нелинейных алгебраических
уравнений представлены итерацией неподвижной точки и методом НьютонаРафсона, критерии сходимости итерационных методов;
- уметь использовать программное обеспечение MATLAB для решения
уравнений математической физики и разработки соответствующих
программ.
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА
2.1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционных занятий.
Введение – 2 часа [1].
Основные тенденции развития СБИС и микрооптикоэлектромеханических систем
(МОЭМС). Актуальность разработки методов и средств математического
моделирования элементов СБИС и МОЭМС. Проблемы, связанные с моделированием
элементов СБИС и МОЭМС.
1. Уравнения математической физики – 8 часов [1, 2].
1.1. Эллиптические уравнения
1.1.1. Уравнение Лапласа
1.1.2. Уравнение Пуассона
1.2. Параболические уравнения
1.2.1. Уравнение теплопроводности
1.3. Гиперболические уравнения
1.3.1. Волновое уравнение
1.4. Системы дифференциальных уравнений в частных производных
1.4.1. Фундаментальная система уравнений
1.4.2. Базисы переменных
1.4.3. Нормировка
2. Граничные и начальные условия – 2 часа [1 - 3].
2.1. Граничные условия Дирихле
2.2. Граничные условия Неймана
2.3. Начальные условия
3. Методы дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных – 10 часов
[1 - 3].
3.1. Метод конечных разностей
3.1.1. Конечно-разностные сетки и шаблоны
3.1.2. Конечно-разностные представления функций и производных
3.2. Метод конечных элементов
3.2.1. Метод Делоне построения триангулярных координатных сеток
3.2.2. Метод интегральных тождеств. Теорема Гаусса
4. Методы решения систем алгебраических уравнений – 12 часов [1 - 3].
4
4.1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
4.1.1. Метод исключения Гаусса
4.1.2. Метод LU-разложения
4.1.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
4.1.3.1. Итерация Якоби
4.1.3.2. Итерация Гаусса-Зейделя
4.1.3.3. Критерий сходимости
4.2. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
4.2.1. Итерация неподвижной точки
4.2.2. Метод Ньютона-Рафсона
Заключение – 2 часа [1].
3. ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
3.1. Генерация координатной сетки. Решение эллиптических уравнений методом конечных
разностей в системе MATLAB – 4 часа. [1 - 6]
3.2. Итерация Якоби. Решение параболических уравнений методом конечных разностей в
системе MATLAB – 4 часа. [1 - 6]
3.3. Итерация Гаусса-Зейделя. Решение гиперболических уравнений методом конечных
разностей в системе MATLAB – 4 часа. [1 - 6]
3.4. Итерация неподвижной точки. Метод Ньютона-Рафсона. Решение эллиптических
уравнений методом конечных элементов в системе MATLAB – 6 часов. [1 - 6]
4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
4.1. Алгоритмы генерации одномерных координатных сеток – 2 часа. [1 - 4]
4.2. Алгоритмы генерации многомерных координатных сеток – 2 часа. [1 - 4]
4.3. Решение эллиптических уравнений – 4 часа. [1 - 4]
4.4. Решение СЛАУ. Итерация Якоби – 2 часа. [1 - 4]
4.5. Решение параболических уравнений – 4 часа. [1 - 4]
4.6. Решение СЛАУ. Итерация Гаусса-Зейделя – 2 часа. [1 - 4]
4.7. Решение гиперболических уравнений – 4 часа. [1 - 4]
4.8. Итерация неподвижной точки – 2 часа. [1 - 4]
4.9. Метод Ньютона-Рафсона – 2 часа. [1 - 4]
4.10. Дискретизация ФСУ в базисе {n, p, } – 2 часа. [1 - 4]
4.11. Дискретизация ФСУ в базисе {n, p, } – 2 часа. [1 - 4]
4.12. Дискретизация ФСУ в базисе {Фn, Фp, } – 2 часа. [1 - 4]
4.13. Решение ФСУ методом Гуммеля – 2 часа. [1 - 4]
4.14. Решение ФСУ методом Ньютона-Рафсона – 4 часа. [1 - 4]
5. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
5.1. Основная литература
1. Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. - Таганрог: Изд-во ТРТУ,
2003. 120 с.
2. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.:
Наука, 1976. 352 с.
3. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер.
5
с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. 720 с.
4. Бубенников А.Н., Садовников А.Д. Физико-технологическое проектирование
биполярных элементов кремниевых БИС. – М.: Радио и связь, 1991. 288 с.
5. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.Х. В 2-х томах. Т. 1.
– М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 366 с.
6. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.Х. В 2-х томах. Т. 2.
– М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 304 с.
5.2. Дополнительная литература
7. Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние
достижения: Пер. с англ./Под ред Д.Миллера. – М.: Радио и связь, 1989. – 280 с.
8. Бубенников А.Н., Садовников А.Д. Физико-технологическое проектирование
биполярных элементов кремниевых БИС. – М.: Радио и связь, 1991. – 288 с.
9. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание: Пер.
с англ. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с.
10. Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние
достижения: Пер. с англ. / Под ред. Д. Миллера. – М.: Радио и связь, 1989. 280 с.
11. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л., Феклистов Г.И. Численные
методы. – М.: Высш. школа, 1976. 368 с.
12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
608 с.
13. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне // Вычислительные
методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 14 – 39.
6. СВОДНАЯ ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСОВ ПО ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
Вид занятий
Лекционные
Лабораторные
Практические
ИТОГО:
Распределение часов
36
18
36
90
Распределение баллов
36
18
36
90