A = q - Естественнонаучная школа ТПУ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.И. Кузнецов, Т.Н. Мельникова,
Е.Н. Степанова
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями
Электростатика
Издательство
Национального исследовательского
Томского политехнического университета
2011
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Кузнецов С.И.
Сборник задач по физике с решениями. Электростатика:
К 891
учебное пособие/ С. И. Кузнецов, Т.Н. Мельникова, Е.Н.
Степанова; – Томск: Изд-во ТПУ, 2011. – 47 с.
В учебном пособии рассмотрены основные вопросы электростатики,
приведены методические указания по решению типовых задач, а так же
приведены задачи для самостоятельного решения и тесты.
Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы,
научить активно применять теоретические основы физики как рабочий
аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести
уверенность в самостоятельной работе.
Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ,
соответствует программе курса физики, общеобразовательных учебных
заведений и направлено на активизацию научного мышления и
познавательной деятельности учащихся.
Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и
подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы.
Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной
работы.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ
А.В. Шаповалов
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ
А.Г. Парфенов
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство ТПУ, 2011
© Кафедра общей физики. 2011
Дорога к мудрости проста, найди
её без толстых книжек: мимо, и
мимо, и мимо опять, но ближе, и
ближе, и ближе.
Пит Хайн.
Груки
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМ ЗАДАЧ
1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную
запись данных и искомых физических величин, предварительно
представив их в системе СИ.
Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных
единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м);
массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического
тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К);
количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).
Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад);
единица телесного угла – стерадиан (ср).
Производные единицы устанавливаются через другие единицы
данной системы на основании физических законов, выражающих
взаимосвязь между соответствующими величинами.
В условиях и при решении задач часто используются множители и
приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см.
Приложение).
2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о
котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые
можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие
абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.
3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.
4. С помощью физических законов установите количественные
связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте
замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось
бы числу неизвестных.
5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде
алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.
6. Проверьте правильность полученного решения, использую
правило размерностей.
7. Подставьте в полученную формулу численные значения
физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на
точность численного ответа, которая не может быть больше точности
исходных величин.
ОСНОВЫНЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ









ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
1. Электростатическое поле в вакууме


1 q1q 2
1 q1q2 r
Закон Кулона
.
F

F
;
4πε 0 r 2
4πε0 r 2 r
Закон сохранения заряда  qi  const .

 F
F
q
E ; E 
Напряженность электростатического поля
.
q 4 πε 0 r 2
q


Принцип суперпозиции E   E i .
Результирующая напряженность электростатического поля двух
зарядов E  E12  E22  E12 E22 cos α .
Линейная плотность заряда λ  dq / dl .
Поверхностная плотность заряда σ  dq / dS .
Объемная плотность заряда ρ  dq / dV .


Электрический момент диполя p  q l .
p
3 cos2 φ  1 .
3
4 πε 0 r
2. Теорема Остроградского–Гаусса и её применение
 Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
q
для одного заряда ФE   En dS  ;
ε0
S
 Напряжённость поля электрического диполя
1 n
1
qi   ρdV .

ε 0 i 1
ε0 V
S
 ρ
 ρ
Теорема Гаусса в дифференциальной форме div E 
или E  .
ε0
ε0
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной
бесконечной плоскостью E  σ / 2ε 0 .
Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными
σ
разноименно заряженными бесконечными плоскостями E  .
ε0
Напряженность поля нити (цилиндра) и напряженности поля между
λ
двумя цилиндрами выражается по одной формуле E 
.
2 πε 0 r
для нескольких зарядов ФE   En dS 




E
 Напряжённость поля между двумя цилиндрами E  λ / 2πε 0 r .
0  внутри сферы

 Напряженность поля сферы E   q
 2πε r 2  при r  R вне сферы.
0

 Напряженность поля, создаваемого объемным заряженным шаром
 r
ρ 3ε  внутри шара

0
Ε
 q  при r  R вне шара.
 4 πε 0 r 2
3. Потенциал и работа электростатического поля.
Связь напряженности с потенциалом
 Работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2
2  
qq'  1 1 
dA  Fdl cosα; A  q  Ed l ; A12 
   .
4
πε
 r1 r2 
0
1
 

E
 Теорема о циркуляции вектора напряженности E
 dl  0 .
 Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов W 
 Потенциал электростатического поля φ 
 Потенциал системы зарядов φ   φ i .
W A
1 q
.


q
q 4πε0 r

 Связь между потенциалом и напряженностью E  gradφ ,

E  φ .
p
cosα .
 Потенциал поля диполя φ 
4 πε 0 εr 2

 Потенциальная энергия диполя W  pE  pE cosα .
 Механический момент, действующий
   на диполь в
электростатическом поле M  p, E или M  pE cosα .
 Работа в потенциальном поле A  qφ1  φ 2   qU .
 
1 qq'
.
4πε 0 r

 Безвихревой
характер
электростатического
поля
rot
E
 0 или

, E  0 .
σd
 Потенциал поля между заряженными плоскостями φ 
.
ε0
 Потенциал нити (цилиндра)
1
 λ
ln
 const  внутри и на поверхности
 2πε
R

0
φ
 λ ln r  вне цилиндра.
 2πε 0 R
 Потенциал поля цилиндрического конденсатора
R2
 λ
ln
 const  внутри меньшего цилиндра (r  R1 );
 2 πε
R
0
1

r
 λ
ln
 между цилиндрами ( R1  r  R2 );
φ
2
πε
R
0
1



0  вне цилиндров.
 
 Потенциал поля сферы
σR
 q

 4πε R ε  const  внутри и на поверхн. сферы (r  R)

0
0
φ
 q  вне сферы (r  R).
 4πε0 r
 Потенциал поля шара
 3q
8πε R  в центре шара (r  0)
0

 q 
r2 
 3  2   внутри шара (r  R)
φ
8
πε
R
R 
0 

 q
 на поверхности и вне шара (r  R).

 4 πε0 r
4. Диэлектрики в электростатическом поле
 Результирующее поле внутри диэлектрика E  E0  E  .


 Электрический момент одной молекулы p1  q l .





 Вектор поляризации P   p1  np1  nαε 0 E  χε 0 E .
 Диэлектрическая восприимчивость χ  nα .
E0
.
E
Связь диэлектрической восприимчивости с поляризуемостью
χ
1
молекулы α
 αn .
χ 3 3
Вектор

электрического смещения (электрическая индукция)
D  ε 0 εE .

 

Связь вектора D с напряженностью и поляризуемостью D  ε 0 E  P .
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
  n
ΦD   DdS   qi .
 Диэлектрическая проницаемость среды ε  1  χ ; ε 




S
i 1
 
 Закон преломления векторов E и D






tgα1 E1n D2 τ ε 2


 .
tgα 2 E2 n D1τ ε1
5. Проводники в электростатическом поле
dφ
Электростатическое экранирование
  E  0 ; φ  const .
dl
q
Электрическая емкость уединенного проводника C  .
φ
Электрическая емкость шара C  4πε 0 εR .
ε εS
Электрическая емкость плоского конденсатора C  0 .
d
2πε0l ε 0 εS
Емкость цилиндрического конденсатора C 
.

ln r2 r1
d
ε εS
rr
Емкость сферического конденсатора C  4πε0 ε 1 2  0 .
r2  r1
d
n
 Емкость параллельно соединенных конденсаторов C   Ci .
i 1
 Емкость последовательно соединенных конденсаторов
 Энергия взаимодействия двух зарядов W 
n
1
1
 .
C i 1 C i
q1q2
1
 q1φ1  q2 φ 2  .
4πε 0 r12 2
Cφ 2 qφ q 2
 Энергия заряженного уединенного проводника W 
.


2
2 2C
CU 2 qU q 2
.


2
2
2C
W ε 0 εE 2 ED
 Объемная плотность энергии w 
.


V
2
2
q2
 Пондермоторные силы в конденсаторе F 
.
2εε 0 S
6. Эмиссия электронов из проводников.
Контактные явления на границах проводников
 Работа выхода электрона из металла проводников Aвых  eφ вн  φ пв  .
 Энергия заряженного конденсатора W 
 Закон Чайльда – Ленгмюра
j  AE 3 2 .
mυ 2
 Aвых .
 Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта hv 
2
 ТермоЭДС термопары E  αTг  Tх  .
 Эффект Пельтье QП  П12 j .
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
1. Четыре одинаковых положительных точечных заряда 310-9 Кл находятся в вершинах квадрата. Найдите величину заряда, помещенного в
центр квадрата, при котором система находится в равновесии. Ответ
представьте в нанокулонах и округлите до десятых.
Дано:
q = 310-9 Кл
q0 = ?
Решение:
q+
а
q+
+q
q0 -
F4
q
F2
+
F1
F3
F
Так как по условию задачи
система
находится
в
равновесии,
то
должно
выполняться
условие
равновесия.
n 
 Fi = 0.
i 1
F
Так как заряды в вершинах квадрата одинаковы, расстояние между
ними одинаковы, то и силы, действующие на эти заряды, будут
одинаковы. Поэтому на рисунке для простоты расставим силы только на
один заряд. Чтобы вся система находилась в равновесии, в центр
квадрата необходимо поместить отрицательный заряд.
Сила, действующая на заряд, называется кулоновской силой и
определяется она по закону Кулона.
q q
Fк = k 1 22 ,
r
где k – const,  - диэлектрическая проницаемость среды. Так как среда в
задаче не указана, считаем, что  = 1, r – расстояние между зарядами.
1
k=
,
4 0
 = 3,14, 0 - электрическая постоянная.
Ф
0 = 8,7510-12 м .
Тогда, подставив численные значения, получим значение k.
1
k=
= 9109(м/Ф).
12
4  3,14  8,85  10
Пусть сторона квадрата будет а.
Из рисунка видно, что
qq
q2
q2
q2
F1 = F2 = k 2 . F3 = k 2 = 0,5 k 2 . F4 = 2k 20 .
a
2a
a
a
Сначала просуммируем силы F1 и F2.
 

F1  F2  F  .
В скалярном виде результирующая сила находится по теореме
Пифагора.
kq 2
2
2
F = F1  F2 = F1 2 = 1,4 2 .
a
Теперь удобно сложить силы F3 и F. Они направлены по одной
прямой в одну сторону. Следовательно, их результирующая F будет
равна их скалярной сумме.
kq 2
kq 2
kq 2
F = F + F3 = 1,4 2 + 0,5 2 = 1,9 2 .
a
a
a
Осталось сложить две силы F4 и F. Эти силы в сумме должны
давать ноль (условие равновесия). Согласно рисунку они направлены по
одной прямой в противоположные стороны. Значит, модули этих сил
должны быть равны.
k q q0
kq 2
2
= 1,9 2 .
a2
a
2 q0 = 1,9 q.
Тогда величина заряда, помещенного в центр квадрата
q0 = 0,95 q.
q0 = 0,95 q.
q0 = - 0,95 q = - 0,95  310-9 = - 2,8510-9(Кл)  - 2,9 (нКл).
Ответ: q0 = - 2,9 нКл
2. Точечный заряд q создает на расстоянии R от него
электрическое поле с потенциалом 1 = 10 В. Три
концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R имеют
равномерно распределенные по их поверхностям
заряды q1 = + 2q, q2 = – q, q3 = + q соответственно (см.
рисунок). Каков потенциал поля в точке А,
отстоящей от центра сфер на расстоянии 2,5 R? Ответ
представьте в единицах СИ и округлите до десятых.
Дано:
Решение:
q0 = q
R1 = R
0 = 10 В
q1 = 2q
q2 = - q
q3 = + q
RA = 2,5R
Потенциал рассчитывается по формуле:
kq
kq
0 = 0 =
,
R1
R
где (см. предыдущую задачу)
q2
q1
R
A
2R
3R
(1)
k = 9109(м/Ф).
Из формулы (1) выражаем величину заряда q:
A = ?
0 R
.
k
Выразим все заряды через заданный потенциал 0.
 R
 R
 R
q0 = q = 0 ; q1 = 2q = 2 0 ; q2 = - q = - 0 ;
k
k
k
q=
(2)
0 R
.
k
(3)
Потенциал в точке А равен сумме потенциалов, создаваемых всеми
зарядами.
q3 = + q =
А = 1 + 2 + 3 .
Распишем потенциал для каждой точки с учетом 0.
1 =
q3
2kq
2kq
kq1
=
=
= 0,80 = 8 (В).
2 ,5 R
2 ,5 R
 1,5  3,5 

R
 2 
(4)
2 =
 kq
kq2
=
= - 0,40 = - 4 (В).
2 ,5 R
 0,5  4,5 

R
2


3 =
kq 1
10
kq3
=
= 0 =
(В).
3
3R 3
 0,5  5,5 

R
2


Подставим полученные значения в уравнение (4) и определим
потенциал поля в точке А:
10
А = 8 - 4 +
= 7,3 (В).
3
Ответ: А = 7,3 В
3. Одинаковые шарики, подвешенные на нитях равной длины, закрепленных в одной точке, зарядили одинаковыми одноименными зарядами.
Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен 60. После
погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями
уменьшился до 50. Найдите диэлектрическую проницаемость среды.
Выталкивающей силой пренебречь. Ответ округлите до десятых.
Дано:
1 = 1
l1 = l2 = l
q1 = q2 = q
1 = 60
1 = 50
2 = ?
Решение:
1
l1

1
q
y
Т1
r1 q
mg
2
l2
Fк1 x
q
y

2Т
2
Fк2 x
r2 q
mg
1. Оттолкнувшись, шарики разошлись на расстояние r1 и остались в
этом положении (положение равновесия), следовательно, векторная
сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю.
n 
 Fi = 0,
 i 1

Fк1  T1  mg  0 .
Перепишем это уравнение в проекциях на оси х и у.

Fк1 = T1sin 1 ,
(1)
2
1
.
2
Поделив первое уравнение на второе, получим:
Fк1
kq 2

 tg30 ,
 tg30  ,
2
mg
1r1 mg
mg = T1cos
(2)
kq2 = 1 r12 mgtg30.
(3)
2. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между
нитями уменьшился до 50.
Сделав аналогичные преобразования для второго случая, получим
выражение, схожее с выражением (3).
kq2 = 2 r22 mgtg25.
(4)
Решая совместно уравнения (3) и (4), найдем 2.
1 r12 mgtg30= 2 r22 mgtg25,
1 r12 tg30= 2 r22 tg25.
Выразим r1 и r2 через длину нити l.
r1 = 2lsin30,
r2 = 2lsin25,
14l2sin230tg30= 24l2sin225tg25.
1sin230tg30= 2sin225tg25.
Из этого выражения найдем диэлектрическую проницаемость среды
2.
0,25  0,577
sin 2 30  tg30
2 = 1 2
= 1
= 1,7.
9,179  0,466
sin 25  tg 25
Ответ: 2 = 1,7
4. Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на
нити. На какое расстояние надо подвести к нему снизу одноименный и
равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое?
Принять 1/4o = 9109 Нм2/Кл2, g = 10 м/с2. Ответ представьте в
сантиметрах и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
m = 100 мг = 10-4 кг
q = 16,7 нКл = 16,710-9 Кл
T1 = 2 T2
k = 1/4o = 9109 Нм2/Кл2
g = 10 м/с2
rmin = ?
1
2
y
Fк
Т2
Т1
y
q
q
mg rmin
mg
q
1. В первом случае сила тяжести шарика уравновешивается силой
натяжения нити.
T1 = mg.
2. Во втором случае с появлением одноименного заряда первый шарик
приподнимается вверх за счет кулоновской силы отталкивания. Сила
натяжения нити при этом уменьшается (в 2 раза – по условию задачи). И
шарик вновь достигает положения равновесия.
T2 = mg – Fк.
Но по условию T1 = 2 T2.
mg = 2 mg – 2Fк,
kq 2
mg = 2 mg – 2 2 ,
rmin
kq 2
2 2 = mg.
rmin
Выразим отсюда расстояние rmin, на которое надо подвести снизу
одноименный и равный заряд.
kq 2
2
rmin
=2
,
mg
9
2k
-9 2  9  10
rmin = q
= 16,710
= 70,910-3(м) = 0,07 (м) = 7 (см).
-4
mg
10  10
Ответ: rmin = 7 см
5. Шар, диаметр которого 1 см и заряд 1 мкКл, погружен в масло
плотностью 800 кг/м3. Плотность материала шара 8600 кг/м3.
Определите направленную вертикально вверх напряженность электрического поля, в которое надо поместить шар, чтобы он находился в
равновесии. Принять g = 10 м/с2. Ответ представьте в киловольтах на
метр и округлите до целого числа.
Дано:
d = 10-2м
q = 10-6 Кл
м = 800 кг/м3
ш = 8600 кг/м3
g = 10 м/с2
Е=?
Решение:
FA
Fэл
Е
Шар плавает в масле. Значит
все силы, действующие на
него, скомпенсированы.
n 
 Fi = 0 –
i 1
mg
первое условие равновесия.
FA + Fэл = mg,
мgV + qE = шVg.
Из полученного выражения найдем напряженность электрического
поля.
  м
E= ш
gV,
q
где V – объем шара.
3
4 3 4 d 
d 3
V = r =    =
.
6
3
3 2
Тогда
ш  м gd 3 8600  800 10  3,14  10 6
E=

=

= 40820 (В/м) = 41 (кВ/м).
6
6
q
10 6
Ответ: E = 41 кВ/м
6. Ртутный шарик, потенциал которого 1,2 кВ, разбивается на 27
одинаковых капелек. Определите потенциал каждой капельки. Ответ
представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
 = 1,2103 В
N = 27
Решение:
kQ
.
(1)
R
kq
к = ?
И потенциал маленькой капли:
(2)
к  .
r
Для решения задачи нужно найти соотношение между зарядами и
радиусами большой и маленькой капли. Совершенно очевидно, что если
большая капля делится на равные части, то и заряд делится поровну.
Потенциал большой капли равен:

Q = Nq.
(3)
Кроме того, на 27 частей делится масса капли.
М = Nm.
Массу распишем через плотность и объем.
V = NVк,
где объем капли:
4 3
R .
3
4
4
 R 3 = N r 3 ,
3
3
3
R = N  r3,
R = r3 N .
(4)
Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), найдем потенциал
маленькой капли.
Nq  r
 kQ r
N



 3 к
3
 3 N2
к
R kqк r N  q к
N

1,2  10 3
к 

 133 (В)
3
3
N2
27 2
Ответ: к = 133 В
Vк =
7. Электроны, ускоренные разностью потенциалов 1 кВ, влетают в
электрическое поле отклоняющих пластин параллельно им, а затем
попадают на экран, расположенный на расстоянии 0,1 м от конца
пластин. На какое расстояние сместится электронный луч на экране,
если на пластины, имеющие длину 0,05 м и расположенные на
расстоянии 0,01 м одна от другой, подать напряжение 100 В? Поле в
пространстве между пластинами считать однородным. Влиянием
гравитационного поля пренебречь. Ответ представьте в миллиметрах и
округлите до сотых.
Дано:
 = 103 В
l = 0,1 м
s = 0,05 м
d = 0,01 м
U = 100 В
0 = 0
Решение:

е-
1
d
Fэл
у
+
э
l
s
-
Е
х
1
2у
2х
х 2
2
h1
h
4
3 h2
5
h=?
Смещение электронов на экране э:
h = h1 + h2,
где h1 – расстояние, которое проходит электрон при его движении в
электрическом поле пластин, направленное вверх,
h2 – расстояние, которое проходит электрон при его движении вне
электрического поля.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов , электрон попадает в
электрическое поле, где на него действует сила, которая смещает
электрон. Электрон движется в двух направлениях х и у. Направление
вдоль оси х - равномерное, вдоль у – ускоренное под действием силы F.
at 2
h1 = 1уt +
.
2
1у = 0,
2
at
h1 =
.
(1)
2
Пройдя ускоряющую разность потенциалов , электрон совершает
работу
A = q,
где q – заряд электрона.
При этом скорость электрона меняется от 0 до 1, следовательно,
меняется его кинетическая энергия. Значит, совершается работа.
m12
A = Екин =
,
(2)
2
где m – масса электрона.
Приравняем правые части уравнений (1) и (2) и выразим скорость 1.
m12
q =
,
2
2q
.
(3)
1 
m
Так как движение в горизонтальном направлении равномерное,
расстояние s, равное длине пластин электрон проходит с постоянной
скоростью 1.
s = 1t,
m
s
=s
.
(4)
1
2q
Сила, вызывающая ускорение
F = qE = ma,
qE
U
qU
а=
, Е= ,  а=
.
(5)
m
d
md
Подставив (3) и (4) в уравнение (1), получим
qUs2
m
Us 2
at 2

h1 =
=
=
.
(6)
2md 2q 4d
2
Расстояние h2 можно найти из подобия треугольников 1-2-3 и 1-4-5.
2 x 2 y
,

l
h2
2 y
,
(7)
h2  l
2 x
где
2q
2х = 1 =
.
m
t=
2у = 1у + at = 0 +
h2 = l 
2 y
2 x
= l
qUs
qU
m
s
=

md
md
2q
m
.
2q
qUs
qUs m
lUs
m
m


= l

=
.
md
md 2q 2d
2q 2q
Тогда расстояние, на которое сместится электронный луч на экране
Us 2
lUs
Us  s 
h = h1 + h2 =
+
=
  l ,
4d
2d 2d  2 
h=
100  0,05  0,05

 0,1 = 0,03125 (м) = 31,25 (мм).

2  0,01 1000  2

Ответ: h = 31,25 мм
8. В плоском конденсаторе, расположенном горизонтально и
находящемся в вакууме, взвешена заряженная капелька ртути на равном
расстоянии от пластин конденсатора. Расстояние между пластинами
конденсатора 2 см. К конденсатору приложена разность потенциалов
500 В. Внезапно разность потенциалов падает до 490 В, и равновесие
капельки нарушается. Определите время, в течение которого капелька
достигнет нижней пластины конденсатора. Ответ представьте в
единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
=1
d = 2 см = 0,02 м
U1 = 500 В
U2 = 490 В
Решение:
1
d/2
Fэл1
d
mg
2
d
q
d/2
Fэл2
q
mg
a
t=?
1. Заряженная капелька ртути взвешена на равном расстоянии от
пластин конденсатора. Сила тяжести капельки скомпенсирована
электрической силой.
Fэл1 = mg,
где
Fэл1 = qE1,
q
E1 =
U1
d

U1
= mg,
d
qU1
.
(1)
gd
2. Во втором случае равновесие капельки нарушается. Она падает на
нижнюю пластину конденсатора с ускорением а в течение времени t.
Расставим силы, действующие на капельку, и запишем уравнение
динамики. В скалярном виде с учетом направления сил:
U
ma = mg - Fэл2 = mg – qE2 = mg – q 2 .
d
Решая это уравнение, найдем ускорение, с которым падает капля.
qU 2
qU1
= ma – mg = m(g – a) =
(g – a).
(2)
d
gd
Уравнение (2) с учетом выражения (1) запишется в виде:
U
U2 = 1 (g – a),
g
m=
gU2 = gU1 – a U1,
a U1 = gU1 – gU2 = g(U1 – U2) ,
U -U
a=g 1 2 .
U1
Закон движения капельки:
d
at 2
at 2
= 0t +
=
.
2
2
2
С учетом выражения (3).
U -U
d = at2 = g 1 2 t2.
U1
(3)
dU1
.
g U1  U 2 
Отсюда определим время, в течение которого капелька достигнет
нижней пластины конденсатора.
0,02  500
t =
= 0,32 (c).
10500  490 
t=
Ответ: t = 0,32 c
9. Два одинаковых по размерам плоских конденсатора, один из которых
воздушный, а второй заполнен диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью, равной 5, соединены, как показано на рисунке.
Конденсаторы зарядили до напряжения 100 В и отключили от
источника напряжения. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить
диэлектрическую пластинку из конденсатора? Емкость воздушного
конденсатора С = 1 мкФ. Ответ представьте в миллиджоулях.
Дано:
Решение:
1 = 1
2 = 5
U1 = U2 = 100 В
С1 = 1 мкФ = 10-6 Ф
1.
С2
2.
С 2
Пока конденсатор подключен к
источнику напряжения, на его
пластинах накапливается заряд.
После отключения накопленный
С1
С1 заряд
остается постоянным:
А=?
q = const. Если
теперь
из конденсатора вынуть диэлектрическую пластинку, то
изменится его энергия, которую можно рассчитать по формуле:
q2
.
(1)
2C
Тогда работа, которую нужно совершить в данном случае, найдем из
выражения
W=
A = W = W2 – W1 =
q2  1
1 
(q0 ) 2
q2
- 0 = 0 
  .
2  C0 C0 
2C0
2C0
(2)
Для этого определим заряд на конденсаторе.
q
C=
 q = CU.
U
C1 = 10-6 Ф, q1 = 10-6  102 = 10-4 Кл.
Чтобы найти заряд на втором конденсаторе, запишем
электроемкость через геометрические размеры.
 s
  s
C1 = 1 0 , C2 = 2 0

d
d
C2 = 5C1 = 510-6 Ф. Тогда q2 = 510-4 Кл.
его
После удаления диэлектрической пластинки электроемкость
конденсаторов стала одинаковой (оба конденсатора стали воздушными)
C1 = C2 = C1 = 10-6 Ф.
А их суммарная емкость
для первого случая:
C0 = C1 + C2 = 610-6 Ф.
(3)
для второго случая:
C0 = 2C1 = 210-6 Ф.
(4)
Заряд на каждом конденсаторе стал равным:
q1  q2 10 4  5  10 4
q1 = q2 =
=
= 310-4 (Кл).
2
2
Суммарный заряд:
q0 = q0 = 610-4 Кл.
(5)
В выражение (2) для работы подставим полученные значения C0,
C0, q0 (выражения 3, 4, 5) и рассчитаем работу, которую надо
совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластинку из
конденсатора.
36  10 -8  1
1 
A=


 = 0,06 (Дж) = 60 (мДж).
-6
2
6 10 -6 
 2 10
Ответ: А = 60 мДж
10. Шарик массой 40 мг заряжен положительно. Величина заряда 1 нКл.
Шарик движется из бесконечности с начальной скоростью 10 см/с. На
какое минимальное расстояние может приблизиться шарик к
покоящемуся положительному точечному заряду 1,33 нКл? Принять
1/4o = 9109 Нм2/Кл2. Ответ представьте в сантиметрах и округлите
до целого числа.
Дано:
m = 40 мг = 4010-6 кг
q1 = 1 нКл = 10-9 Кл
1 = 10-1 м/с
q2 = 1,33 нКл = 1,33 10-9 Кл
А=?
кинетической энергии:
Решение:
rmin
q2 +
q1+ = 0
0 
+
q1
На бесконечности полная энергия первого
шарика будет равна его максимальной
m 02
Wкин =
.
2
При приближении к одноименному заряду q2 увеличивается
кулоновская сила отталкивания, и в некоторый момент времени заряд q1
останавливается. Его скорость становится равной нулю, а,
следовательно, равна нулю и кинетическая энергия. Она переходит в
потенциальную энергию взаимодействия зарядов, т.е. закон сохранения
механической энергии запишем в виде:
Wкин = Wпот,
m02 k q1 q2

.
2
rmin
Из полученного уравнения выразим rmin - минимальное расстояние, на
которое может приблизиться шарик с зарядом q1 к покоящемуся
положительному точечному заряду q2.
2k q1 q2
rmin =
.
m2
Подставим численные значения и определим искомую величину.
2  9  10 9  10 9  1,33  10 9
rmin =
= 0,06 (м) = 6 (см).
4  10 5  10  2
Ответ: rmin = 6 см
11. Две частицы, имеющие массу 1 мг и заряд 10-9 Кл каждая, летят из
бесконечности со скоростями υ1 = 1 м/c и υ2 = 2 м/с навстречу друг
другу. На какое минимальное расстояние они могут сблизиться?
Гравитационное взаимодействие не учитывать. Ответ представьте в
миллиметрах.
Дано:
Решение:
 
1
х q
m = 1 мг = 10-6 кг
q = 10-9 Кл
1 = 1 м/c
2 = 2 м/с
rmin
 q  q
2 
q
Рассматриваем движение частиц в системе отсчета,
связанной с Землей.
rmin = ?
В момент наибольшего сближения частиц их скорости одинаковы и
равны . Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х.
m2 – m1 = m + m

2  1 2  1

 0,5 (м/с).
2
2
На бесконечности потенциальная энергия равна нулю. Тогда закон
сохранения механической энергии запишем в виде:

m12 m 22
q2


 m2 .
2
2
40 rmin
Из полученного выражения определим минимальное расстояние rmin,
могут сблизиться шарики.
q2
9 109 10 18
rmin 

= 410-3 (м) = 4 (мм).
1
 12 22




6
40 m 
 2  10    2  0,25 
2

2
 2

Ответ: rmin = 4 мм
12. Отрицательно заряженная пластина, создающая вертикально
направленное однородное электрическое поле напряженностью
104 В/м, укреплена на горизонтальной плоскости. На нее с высоты
10 см
падает
шарик
массой
-5
20 г, имеющий положительный заряд 10 Кл. Какой импульс шарик
передаст пластине при абсолютно упругом ударе? Принять g = 10 м/с2.
Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
Е = 104 В/м
h = 10 см = 0,1 м
m = 20 г = 0,02 кг
q = 10-5 Кл
g = 10 м/с2
0 = 0
+q

E



-Q 
h
p = ?

a

mg

Fэл
y
Импульс,
который
шарик передаст пластине
при абсолютно упругом
ударе:
 

p  p 2  p1 .
В скалярной форме:
p = m - (-m) = 2 m.

 
ma  mg  Fэл .
В проекции на ось 0y:
(1)
ma = mg + Fэл,
Fэл = qE.
Тогда, ma = mg + qE. Из этого уравнения выразим ускорение.
mg  qE
a
.
m
Скорость найдем из уравнения равноускоренного движения с
ускорением g и начальной нулевой скоростью.
mg  qE
υ  2ah  2h
.
(2)
m
Полученное выражение для скорости (2) подставим в уравнение (1) и
рассчитаем импульс, который шарик передаст пластине при абсолютно
упругом ударе.
mg  qE
p = 2 m 2h
= 2 2mhmg  qE  =
m
 кг  м 
= 2 2  0,02  0,1 0,02 10  10 5 10 4  0,07 
.
 с 
Ответ: р = 0,07 кгм/с


13. Конденсатор зарядили до 100 В и подключили к нему резистор.
Сразу после этого за некоторый интервал времени в цепи выделилось в
виде тепла энергия 1 Дж, а за следующий такой же интервал – энергия
0,3 Дж. Определите емкость конденсатора. Принять, что за одинаковый
интервал времени энергия конденсатора уменьшается в одинаковое
число раз. Ответ представьте в микрофарадах и округлите до целого
числа.
Дано:
Решение:
U = 100 В
W1 = 1 Дж
W2 = 0,3 Дж
Сила тока по определению:
q
C
C=?
ln
U
U0
U1
U0
U
ln 2
U0
R
I
t
t
t
ln
I
Рис.1
dq 
dq

,
dt
dt
(1)
где q – заряд на конденсаторе, который
можно определить из соотношения
q = CU.
(2)
По закону Ома:
U
I .
(3)
R
Решая совместно (1), (2) и (3), получим:
Рис.2
C
dU U

dt
R
или

dU
dt

.
U
CR
Проинтегрировав полученное выражение, имеем
U
dU
dt
 
.
CR
U0 U

1)

ln
U
t

.
U0
CR
(4)
Из рисунка 2 видно, что за первый интервал времени t1 = t.
U
t
ln 1  
.
U0
CR
Прологарифмировав это выражение, получим:

t
CR
U1  U 0e .
Тогда энергию, которая выделится за этот интервал времени,
запишем в виде:
t 2


CU 02 CU12 CU 02 
CR 

W1 


1

e
(5)
.
2
2
2 

2) Энергия W2, которая выделится за следующий интервал времени
(рис.2), рассчитывается аналогично:
2 t

U2
2t
ln


t2 = t2.
. U 2  U 0 e CR .
U0
CR

2 t
CR

4 t
CR

2 t
CR
t  2



1  e CR  .




t 2


CU 02 
CR 

1

e
С учетом того, что согласно выражению (5):
  W1 , то
2 

2

t
2 t


W
e CR  2 .
W2  W1e CR . 
(6)
W1
Подставим полученное выражение (6) в выражение (5) для энергии
W1.
CU 02  W2 
1 
.
W1 
2  W1 
Отсюда и определим емкость конденсатора.
2W12
2 1
C 2
 4
 286 106 (Ф) = 286 (мкФ).
U 0 W1  W2  10 1  0,3
Ответ: C = 286 мкФ
2
1
2
0
2
2
CU e
CU
CU
W2 


2
2
2
2
0
CU e

2
2
0
CU e
.
2
14. Заряженная положительным зарядом пылинка массой 10 -8 г
находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины
которого расположены горизонтально. Между пластинами создана
разность потенциалов 6 кВ. На сколько необходимо изменить разность
потенциалов, чтобы пылинка оставалась в равновесии, если ее заряд
уменьшился на 103 элементарных зарядов? Расстояние между
пластинами 5 см, элементарный заряд равен 1,610-19 Кл. Принять g = 10
м/c2. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
m = 10-8 г = 10-11 кг
U1 = 6 кВ = 6103 В
q = 103 e
d = 5 см = 510-2 м
e = 1,610-19 Кл
g = 10 м/c2
Решение:
- - - - - Fэл
U
E mg
+q
+ + + + +
d
Выполним рисунок. Так
как пылинка находится в
равновесии, то все силы,
действующие
на
нее,
скомпенсированы. Т.е.
U = ?
Fэл = mg,
(1)
где
U1
.
d
Тогда выражение (1) с учетом (2) перепишется в виде.
U1
mg = q1 .
d
Отсюда заряд
mgd 10 11 10  5 10 2
q1 =
=
= 8,310-16 (Кл).
U1
6 103
Тогда согласно условию задачи
Fэл1 = q1E1 = q1
(2)
(3)
q2 = q1 – 103е = 8,310-16 - 1031,610-19 = 6,7310-16 (Кл).
После изменения разности потенциалов, ее заряд уменьшился, но
пылинка осталась в равновесии. Следовательно, аналогично выражению
(3) для нее также выполняется условие равновесия.
U2
mg = q2
.
(4)
d
Найдем отсюда разность потенциалов U2.
mgd
10 11 10  5 10 2
U2 =
=
= 7,4103 (В).
q2
6 ,73 10 16
Теперь можно определить, на сколько необходимо изменить разность
потенциалов, чтобы пылинка оставалась в равновесии, если ее заряд
уменьшился на 103 элементарных зарядов.
U = U2 – U1 = 7,4103 - 6103 = 1426 (В).
Ответ: U = 1426 В
15. В однородном электрическом поле с вектором напряженности
(Е = 50 кВ/м), направленным вертикально вниз, равномерно вращается
шарик массой 10 г с положительным зарядом 2,5106 Кл. Шарик
подвешен на нити длиной l. Угол отклонения нити от вертикали равен
60. Найдите силу натяжения нити. Принять g = 10 м/с2. Ответ
представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
у
Е = 50 кВ/м = 5104 кВ/м
m = 10 г = 10-2 кг
q = 2,5106 Кл
 = 60
g = 10 м/c2
T
E

r
х
Fэл
mg
T=?
Выполним рисунок.
Расставим
силы,
которые действуют
на шарик.
Уравнение
динамики:

  
maцс  mg  T  Fэл
(1)
Выберем направление осей координат и перепишем уравнение (1) в
проекциях на оси.
ох: ma = Tsin
оy: Fэл + mg = Tcos.
(2)
Из уравнения (2) выразим силу натяжения.
qE  mg
T
.
cos 
Подставим численные значения и рассчитаем искомую величину.
2,5 10 6  5 10 4  10 2 10
T
= 0,45 (Н).
cos 60
Ответ: T = 0,45 Н
16. Плоский конденсатор имеет площадь пластин 2000 см2, расстояние
между которыми 0,5 мм. В конденсаторе находится пластинка слюды
( = 7) толщиной 0,3 мм, в остальной части – воздух. Определите
емкость конденсатора. Электрическая постоянная равна 8,8510-12 Ф/м.
Ответ представьте в нанофарадах и округлите до десятых.
Дано:
s = 2000 см2= 0,2 м2
l = 0,5 мм = 510-4 м
=7
d = 0,3 мм = 310-4 м
0 = 8,8510-12 Ф/м
C (нФ) = ?
Решение:
2
d2
1
d1
l
Емкость
такого
конденсатора
можно
рассчитать как емкость
двух
последовательно
соединенных
конденсаторов.
C
C1C2
,
C1  C2
где
C
0 S
.
d
Тогда получим:
1 0 S  2  0 S

  S
d1
d2
C
 1 2 0
1 0 S  2  0 S 1d 2   2 d1 ,

d1
d2
где
d2 = l - d1 = 0,5 – 0,3 = 0,2 (мм).
Окончательно:
7 1 8,85 1012  0,2
C
= 7,310-9 (Ф) = 7,3 (нФ).
7  0,2  1 0,3
Ответ: C = 7,3 нФ
17. Энергия плоского воздушного конденсатора, отключенного от
источника тока, равна 20 мкДж. Какую работу нужно совершить, чтобы
увеличить расстояние между пластинами такого конденсатора в 3 раза?
Ответ представьте в микроджоулях.
Дано:
Решение:
W = 20 мкДж = 210-5 Дж
d2 = 3d1
Так как конденсатор отключен от источника
тока, то величина заряда на его пластинах
постоянна
A (мкДж) = ?
q = const.
Тогда энергию конденсатора удобнее рассчитывать по формуле
q2
W=
,
(1)
2C
где С – электроемкость конденсатора.
0 S
С=
.
(2)
d
Так как расстояние d между пластинами конденсатора увеличили в
три раза, то его емкость уменьшится в три раза (см. уравнение 3). А
энергия конденсатора увеличится (уравнение 1). Следовательно, чтобы
увеличить расстояние между пластинами конденсатора нужно
совершить работу, равную
А = W = W2 – W1.
С учетом (1) и (2) найдем работу, которую нужно совершить.
1  q 2  d2
d1 
q2
q2
q2  1

=




А=
=
=
2C2 2C1
2  C2 C1 
2  0 S 0 S 
q2
q2
q 2  2d1
=
(d2 – d1) =
(3d1 – d1) =
= 2W = 40 (мкДж).
20 S
20 S
20 S
Ответ: A = 40 мкДж
18. Два шара, радиусы которых 50 мм и 80 мм, а потенциалы,
соответственно, 120 В и 50 В, соединяют проводом. Найдите заряд,
перешедший с одного шара на другой после их соединения. Принять
1/40 = 9109 м/Ф. Ответ представьте в нанокулонах и округлите до
сотых.
Дано:
Решение:
Запишем заряд q , перешедший с одного шара на
R2 = 80 мм = 810-4 м другой после их соединения.
q = q1 - q1 = q2 – q2,
(1)
1 = 120 В
где
2 = 50 В
1 R1
1/40 = 9109 м/Ф
q1 =
.
(2)
k
q (нКл) = ?
Заряд будет переходить до тех пор, пока
потенциалы шаров не выровняются:
1 = 2.
(3)
R1 = 50 мм = 510-4 м
Уравнение (1) с учетом формулы (2) примет вид:
1 R1 1 R1
2 R2  2 R2
=
.
k
k
k
k
1R1 - 1R1 = 2R2 - 2R2 .
Так как 1 = 2 = , то
(R1 + R2) = 1R1 + 2R2.
Потенциал шаров после соединения:
1 R1  2 R2
 =
.
R1  R2
Заряд, который останется на первом шаре, равен
1 R1  2 R2 R1
 .
R1  R2
k
Тогда перешедший заряд q равен:
q1 =
1 R1  2 R2
1 R1 1 R1  2 R2 R1 R1
 =
(1 ).
R1  R2
R1  R2
k
k
k
Подставим численные значения и определим перешедший заряд.
0,05
120  0,05  50  0,08
q =
) = 0,2410-9 (Кл) = 0,24 (нКл).
9 (120 9 10
0,05  0,08
Ответ: q = 0,24 нКл
q =
19. Найдите потенциальную электростатическую энергию системы
четырех положительных зарядов, равных 1 нКл, расположенных в
вакууме на расстоянии a = 1 м друг от друга. Принять
1/4o = 9109 Нм2/Кл2. Ответ представьте в наноджоулях.
Дано:
Решение:
q = 1 нКл = 10-9 Кл
a=1м
1/40 = 9109 м/Ф
а
+q
а
+q
а
+q
+q
W (нДж) = ?
По определению потенциал
=
Wпот
,
q
(1)
где Wпот – потенциальная энергия взаимодействия зарядов.
Wпот = q =
kqq1
.
R
(2)
В нашем случае все заряды одинаковы по величине, следовательно,
формула потенциальной энергии примет вид:
Wпот =
kq 2
.
R
Для системы зарядов:
Wпот = W12 + W13 + W14 + W23 + W24 + W34.
С учетом выражения (3) имеем.
kq 2 kq 2 kq 2 kq 2 kq 2 kq 2
kq 2
1 1
1
Wпот =
+
+
+
+
+
=
(1 +
+ +1+
2 3
2
a
2a
3a
a
2a
a
a
2
13kq
+ 1) =
.
3a
(3)
(4)
Подставим численные значения и рассчитаем потенциальную
электростатичесую энергию системы четырех положительных зарядов.
13kq2
13  9 109 10-18
Wпот =
=
= 3910-9 (Дж) = 39 (нДж).
3a
3 1
Ответ: W = 39 нДж
20. Металлический шар радиусом 1 м, имеющий потенциал 1 В, окружают сферической оболочкой радиуса 2 м. Чему будет равен потенциал
первого шара, если заземлить оболочку? Ответ представьте в единицах
СИ.
Дано:
Решение:
R1
- заряд металлического шара под
–
–
k
+
– +
+ –
влиянием поля, создаваемого шаром. На
+
оболочке появляются индуцированные заряды
–
–
1 = ?
–
qинд = –q1 на внутренней и +q1 на внешней
поверхности оболочке. Внешняя оболочка
заземлена, и заряд стекает по поверхности
k(  qинд )
 R   1
R
1   
   1   1  1   11    0,5 (В)
R2
R2
 R2   2 
R1 = 1 м
1 = 1 В
R2 = 2 м
q1 
–
Ответ: 1 = 0,5 В
21. Какой заряд (в мкКл) появится на заземленной проводящей сфере
радиусом 3 см, если на расстоянии 10 см от ее центра поместить
точечный заряд -20 мкКл?
Дано:
R = 0,03 м
q = -20 мкКл
l = 0,1 м
Решение:
Если на некотором расстоянии
от центра сферы поместить
l
O
точечный заряд q, то на сфере
R
q
появится заряд Q, который
Q=?
должен распределиться по сфере
таким образом, чтобы потенциал
всех точек внутри сферы и на ее поверхности стал равен нулю. Ясно,
что в этом случае заряд будет распределен неравномерно. Но, если
приравнять нулю потенциал центра сферы, то его можно вычислить,
используя метод суперпозиции.
Q
0 = 1 + 2 = 0.
(1)
Вклад точечного заряда q равен:
kq
.
l
Тогда вклад зарядов, распределенных по сфере
kQi
 Qi = k Q .
2 = 
=k
R
R
R
1 =
Так как потенциал центра сферы равен нулю (1), то
0=-
kq Q
+ .
l
R
Отсюда определим заряд на заземленной проводящей сфере.
20 10 6  0,03
qR
Q=
=
= 610-6 (Кл) = 6 (мкКл).
0
,
1
l
Ответ: Q = 6 мкКл
22. Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q =
20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстояния r = 1 см
от поверхности шара радиусом R = 1 см с поверхностной плотностью
заряда  = 10 мкКл/м2. Ответ представьте в мкДж, округлите до целого
числа.
Дано:
q = 20 нКл
r = 0,01 м
R = 0,01 м
 = 10 мкКл/м2
А=?
Решение:
 +
+
R
+
+ + +
+
+ r
1
q
Заряд
движется
и
останавливается в точке 1.
Работа А по перемещению заряда
q из т. 1 в т. 2 находится из
соотношения:
А = q(1 - 2),
здесь 1 – потенциал в т. 1, 2 –потенциал в т. 2. Так как заряд q
перемещается из бесконечности в т. 1, то потенциал 2 =  = 0, и
работа:
A = q  1.
Потенциал, создаваемый заряженной сферой в т. 1, определяется так
же, как и для точечного заряда:
Q
1 
,
4πεε 0 r 
здесь Q – заряд на поверхности сферы, r' = R + r – расстояние от центра
сферы до точки 1, т.е. как будто бы заряд располагается в центре сферы.
Заряд Q на поверхности сферы найдём через поверхностную плотность
заряда  (это заряд, приходящийся на единицу поверхности):
Q = Sсф;
Sсф = 4R2.
Таким образом:
σ 4πR 2
σR 2
1 

.
4πεε 0 (R  r) εε 0 (R  r)
Так как среда, окружающая сферу, не указана, то принимаем  = 1. В
результате получим, что работа по перемещению заряда равна:
qσ R 2
20 109 10 106  104
A
ε 0 ( R  r ) = 8,85 1012 102  102 = 113 (мкДж).


Ответ: А = 113 мкДж
23. Протон с начальной скоростью 100 км/с влетел в однородное
электрическое поле с напряженностью 300 В/см. Вектор скорости
совпал с направлением линий напряженности. Какой путь должен
пройти протон для удвоения его скорости? Заряд протона 1,610-19 Кл,
масса протона 1,671027 кг. Ответ представьте в миллиметрах и
округлите до десятых.
Дано:
0 = 105 м/с
Е = 3104В/м
 = 21
q = 1,610-19 Кл
m = 1,671027 кг
s=?
Решение:

На
заряженную
частицу
в
электрическом поле действует сила


Fэл  qE ,
(1)


F  ma .
действующая в направлении поля.
Она придает этой частице ускорение

a
(2)
E
+
0
+
Fэл
Путь, который пройдет протон для удвоения его скорости можно
найти из формулы равноускоренного движения
2 - 02 402 - 02 302


s=
.
(3)
2a
2a
2a
Для нахождения ускорения используем формулы (1) и (2).
ma = qE.
Отсюда
qE
.
m
а=
Подставим полученное выражение для ускорения в формулу
пройденного пути (3) и рассчитаем искомую величину.
302
3 1010 1,67 10 27
m =
s=
= 5,210-3 (м) = 5,2 (мм).
2 1,6 10 19  3 10 4
2qE
Ответ: s = 5,2 мм
24. Два шарика с зарядами q1 и q2 имели вначале одинаковые по модулю
и направлению скорости. После того, как на некоторое время было
включено однородное электрическое поле, направление скорости 1-го
шарика повернулось на 60, а модуль скорости уменьшился вдвое.
Направление скорости 2-го шарика повернулось на 90. Во сколько раз
изменилась скорость второго шарика? Определите модуль отношения
заряда к массе 2-го шарика, если для 1-го он равен k1. Электрическим
взаимодействием шариков пренебречь.
Дано:
q1, q2
0
1  0
1 = 60
1 = 0/2
2  0
2 = 90
q1
k 1
m1
0/2 = ?
q2/m2 = ?
k2 = ?
Решение:
0
0 
1
1

1
2
2
0 1
Е
Е

0
2
2
После
включения

электрического поля E

под действием силы Fэл
изменились скорости, а
значит
и
импульсы
частиц.


Fэл t =  p ,
Е
где


Fэл = q E .
Первая частица.
q1Еt = m1.
Поделим на q1:
m1
1
Еt =
1 =
.
q1
k1
Изменение скорости 1 найдем, используя теорему косинусов.
1
1 1
3
1 2   =
0 .
1  12  02  210 cos 60 = 0
4
2 2
4
Для второй частицы
q2Еt = m2.
(1)
(2)
Делим на q2:
m2
2
2 =
.
(3)
q2
k2
Здесь изменение скорости 2 найдем, используя теорему Пифагора:
Еt =
2 = 1  0 .
В уравнениях (1) и (3) приравняем правые части:
1
2
=
.
k1
k2
Отсюда выразим k2.
2
k2 = k1
.
1
Из рисунка
2
2 = 0tg, то есть
= tg.
0
2
2
(4)
(5)
(6)
12  02  12  210 cos  .
По условию задачи 1 = 0/2 и из выражения (2) 1 =
3
0 , тогда
4
02
02  3
3
2
 0 
 202 
cos  .
4
4
2
Отсюда
3 1

3
1
4 4
cos =
=
и  = 30, а tg =
.
(7)
3
2
3
В выражениях (6) и (7) приравняем тангенсы угла :
2
1
=
.
0
3
Из полученного выражения найдем, во сколько раз изменилась
скорость второго шарика 2.

2 = 0 ,
3
то есть скорость второго шарика уменьшилась в 3 раз.
1
Для определения модуля отношения заряда к массе 2-го шарика k2
найдем 2.
2 =
12  02 = 0
2
.
3
(8)
1 из уравнения (2) и 2 из уравнения (8) подставим в выражение
(5).
20
2
2
4

k2 = k1
= k1
= k1 .
1
3 0 3 3
Ответ: k2 = 4k1/3, υ2  υo
3
25. В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере
радиуса r = 1 см имеются два небольших диаметрально противоположных отверстия. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности
движется со скоростью υ0 = 5000 м/с частица массой m с зарядом q
(заряды сферы и частицы одноименные). Найдите время, в течение
которого заряд будет находиться внутри сферы. Заряды и массы сферы
и частицы принять одинаковыми и равными m = 1 мг и q = 1 мкКл.
Ответ представьте в микросекундах и округлите до десятых.
Дано:
Решение:
r = 10-2 м
υ0 = 5000 м/с
m = 10-6 кг
q = 10-6 Кл
υ
r
k2 = ?
2 = ?
Кинетическая энергия частицы при
подлете к сфере равна
m 02
10 6  25 10 6
Ек0 =
=
= 12,5 (Дж).
2
2
Потенциальная
энергия
взаимодействия частицы и заряженной
сферы:
kq2
9 109 10 12
kq
Еп = q = q
=
=
= 0,9 (Дж).
r
10  2
r
Такую энергию тратит частица на прохождение сферы. Тогда при
вылете из сферы она будет обладать энергией Е, равной ее
кинетической энергии Ек.
Е = Ек = Ек0 - Еп = 12,5 - 0,9 = 11,6 (Дж).
Из полученного выражения найдем скорость частицы при вылете из
сферы.
2 Eк
2 11,6
=
= 4816,6 (м/с).
m
10 6
Зная начальную и конечную скорость частицы, можем найти
ускорение, с которым она двигалась.
 = 0 – at.
=
 0   5000  4816,6
=
.
t
t
Пройденный путь (равный диаметру сферы, s = 2r) при
равнозамедленном движении рассчитывается по формуле:
at 2
s = 0t ,
2
183,4 t 2
183,4
 = t(0 2r = 0t ).
2
t
2
Отсюда найдем время, в течение которого заряд будет находиться
внутри сферы.
2r
-6
t=
183,4 = 4,310 (c) = 4,3 (мкc).
0 
2
Ответ: t = 4,3мкс
a=
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Каждой из двух одинаковых капелек воды, находящихся в воздухе
( = 1), сообщен заряд 1,71016 Кл. При этом кулоновская сила
отталкивания капелек уравновесила силу их гравитационного
притяжения. Определите объем этих капелек. Электрическая
постоянная
8,851012 Ф/м,
гравитационная
постоянная
11 3
2
3
6,6710 м /(кгс ), плотность воды 1000 кг/м . Ответ представьте в
кубических миллиметрах и округлите до целого числа. [2]
2. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити
вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 3 рад/с,
причем в центре описываемой им окружности расположен точно такой
же заряд, что имеет шарик. Если вращающийся шарик зарядить зарядом
противоположного знака (но такой же абсолютной величины), то при
том же радиусе вращения угловая скорость станет 4 рад/с. Найдите
расстояние (в см) от точки подвеса шарика до плоскости его вращения,
g = 10 м/с2. [80]
3. Два одинаковых заряженных шарика притягиваются друг к другу.
После того как шарики привели в соприкосновение и раздвинули на
расстояние в 2 раза большее, чем прежнее, сила взаимодействия между
ними уменьшилась в 12 раз. Каков максимальный заряд (по величине)
первого шарика, если заряд второго шарика был равен 10-9 Кл? Ответ
представьте в нанокулонах. [3]
4. Во сколько раз увеличится сила натяжения нити, на которой висит
шарик массой 0,1 кг с зарядом 10 мкКл, если систему поместить в
однородное электрическое поле с напряженностью 200 кВ/м, вектор
которой направлен вертикально вниз? g = 10 м/с2. [3]
5. Когда телу сообщили заряд 710-8 Кл, оно за 10 с падения у земной
поверхности прошло путь на 5 см больший, чем в отсутствие заряда.
Чему равна масса (в г) тела, если напряженность электрического поля
100 В/м? [7]
6. Вдоль линий напряженности однородного электрического поля
движется, замедляясь, электрон. В некоторый момент скорость
электрона 1,8 Мм/с. Какова напряженность поля, если скорость
электрона уменьшилась вдвое через 0,1 мкс? Удельный заряд электрона
принять равным 1,81011 Кл/кг. [50]
7. Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы переместить заряд 70
мкКл в однородном поле с напряженностью 10 кВ/м на расстояние 0,5
м, если перемещение происходит под углом 60° к силовым линиям
поля? В ответе укажите модуль работы. [175]
8. В вершинах острых углов ромба со стороной 1 м помещены
положительные заряды по 1 нКл, а в вершине одного из тупых углов —
положительный
заряд
5
нКл.
Определите
напряженность
электрического поля в четвертой вершине ромба, если меньшая
диагональ ромба равна его стороне, k = 9109м/Ф. [54]
9. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м2.
Расстояние между ними 5 мм. Какая разность потенциалов была
приложена к пластинам конденсатора, если при разряде конденсатора
выделилось 50 мкДж тепла? Принять
о = 8,8510-12 Ф/м.
Ответ представьте в киловольтах и округлите до десятых. [2,4]
10. Протон с начальной скоростью 100 км/с влетел в однородное
электрическое поле с напряженностью 300 В/см. Вектор скорости
совпал с направлением линий напряженности. Какой путь должен
пройти протон для удвоения его скорости? Заряд протона 1,610-19 Кл,
масса протона 1,671027 кг. Ответ представьте в миллиметрах и
округлите до десятых. [5,2]
11. Конденсатор состоит из двух неподвижных, вертикально
расположенных, параллельных, разноименно заряженных пластин.
Пластины расположены на расстоянии 5 см друг от друга.
Напряженность поля внутри конденсатора равна 104 В/м. Между
пластинами, на равном расстоянии от них, помещен шарик с зарядом 10 5
Kл и массой 20 г. После того как шарик отпустили, он начинает падать
и ударяется об одну из пластин. На сколько уменьшится высота шарика
к моменту его удара об одну из пластин? Принять g = 10 м/с2. Ответ
представьте в сантиметрах. [5]
12. Проводящий шар радиусом 1 м равномерно заряжен по поверхности
зарядом 1 нКл. Каково минимальное расстояние между точками А и В,
такими, что разность потенциалов между ними равна –1 В? Ответ
представьте в сантиметрах. [12,5]
13. Шарик массой 10 мг, несущий электрический заряд 0,5 мкКл,
влетает
в
горизонтальное
однородное
электрическое
поле
напряженностью 2 В/см вдоль силовых линий. При прохождении
тормозящей разности потенциалов 10 В горизонтальная составляющая
скорости шарика становится равной нулю. Найдите работу, которую
совершает над шариком сила тяжести за это время. Принять g = 10 м/с2.
Ответ представьте в микроджоулях. [5]
14. Горизонтально расположенная, отрицательно заряженная пластина
создает поле напряженностью 104 В/м. На нее с высоты 10 см падает
шарик малого размера массой 20 г, имеющий заряд +10-5 Кл и
начальную скорость 1 м/с, направленную вертикально вниз. Какую
энергию шарик передаст пластине при абсолютно неупругом ударе?
Принять g = 10 м/с2. Ответ представьте в единицах СИ. [0,04]
15. Три маленьких заряженных шарика с зарядами q1 = –1 нКл, q2 =
5 нКл и
qо = 10-8 Кл соответственно закреплены в вакууме вдоль
одной прямой на расстоянии а = 1 см друг от друга. Какую
максимальную скорость приобретет правый шарик массой mо = 10 нг,
если его освободить? Ответ представьте в единицах СИ. [90]
16. В центре сферы, несущей равномерно распределенный
положительный 10 нКл, находится маленький шарик с отрицательным
зарядом -5 нКл. Найдите потенциал электрического поля в точке,
находящейся вне сферы на расстоянии 9 м от ее центра. k = 9109 м/Ф.
[5]
17. Скорость заряженной частицы массой 2 г в начальной точке
движения равна 0,02 м/с, а в конечной 0,1 м/с. Найдите разность
потенциалов между этими точками, если заряд частицы равен 30 нКл.
[320]
18. Два шарика с зарядами q1 и q2 имели вначале одинаковые по модулю
и направлению скорости. После того, как на некоторое время было
включено однородное электрическое поле, направление скорости 1-го
шарика повернулось на 60, а модуль скорости уменьшился вдвое.
Направление скорости 2-го шарика повернулось на 90. Во сколько раз
изменилась скорость второго шарика? Определите модуль отношения
заряда к массе 2-го шарика, если для 1-го он равен k1. Электрическим
взаимодействием шариков пренебречь. [k2 = 4k1/3, υ2  υo
3]
19. Два небольших шарика массой 10-6 кг, несущие заряд 10-6 Кл
каждый, соединены непроводящей нитью длиной 1 м. В некоторый
момент времени середина нити начинает двигаться со скоростью 100
м/с, перпендикулярно направлению нити в начальный момент времени.
Определите, на какое минимальное расстояние сблизятся шарики.
Принять о = 8,8510–12 Ф/м. Ответ представьте в единицах СИ и
округлите до сотых. [0,48]
20. По тонкому кольцу радиусом 4 см равномерно распределен заряд
50 нКл. На оси кольца на расстоянии 3 см от его центра помещают
частицу с зарядом -18 нКл и массой 1 мг и отпускают. Найдите скорость
частицы в тот момент, когда она будет пролетать через центр кольца, k
= 9109 м/Ф. [9]
21. В одной вершине равностороннего треугольника со стороной 2 см
закреплен точечный заряд 40 нКл, а в двух других находятся частицы
массой 5 мг и зарядом 10 нКл каждая. Частицы отпускают, и они
приходят в движение. Чему будет равна их скорость на большом
расстоянии от заряда? k = 9109 м/Ф. [9]
22. Два диэлектрических шара равномерно заряжены по объему, первый
— зарядом 1 мкКл, второй — зарядом 0,6 мкКл. Масса первого шара 6
г, второго — 4 г, радиус каждого шара 1 см. Вначале первый шар
покоится, а второй издалека приближается к нему со скоростью . При
каком минимальном значении  шары коснутся друг друга? k = 9109
м/Ф. [15]
23. Найдите энергию (в мДж) взаимодействия системы четырех зарядов
1, 2, 3 и 4 мкКл, расположенных в вершинах правильного тетраэдра с
ребром 50 см. k = 9109 м/Ф. [630]
24. Воздушный плоский конденсатор емкостью 5 мкФ заполняют
жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 6.
Конденсатор какой емкости (в мкФ) надо соединить последовательно с
данным, чтобы такая батарея вновь имела емкость 5 мкФ? [6]
25. Внутри плоского конденсатора находится стеклянная пластина, толщина которой равна расстоянию между обкладками, а площадь — вдвое
меньше их площади. Конденсатор заряжают до напряжения 200 В и
отключают от источника напряжения. Какую работу (в мДж) надо
совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора?
Емкость конденсатора без пластины 6 мкФ, диэлектрическая
проницаемость стекла 2. [90]
26. Пылинка массой 10-3 г падает в воздухе с постоянной скоростью
0,2 м/с. С какой установившейся скоростью (в см/с) будет подниматься
пылинка, если ее поместить в электрическое поле с напряженностью
10 кВ/м и сообщить ей заряд 1,2 нКл? Сила сопротивления воздуха
прямо пропорциональна скорости. g = 10 м/с2. [4]
27. Точечный заряд создает в некоторой точке в вакууме поле
напряженностью 600 В/м. Какова будет напряженность поля в этой
точке, если заряд увеличится в 5 раз, а пространство вокруг него будет
заполнено керосином с диэлектрической проницаемостью 2? [1500]
28. Между горизонтальными пластинами плоского конденсатора на
пластмассовой пружине подвешен заряженный шарик. Когда
конденсатор присоединяют к источнику напряжения с ЭДС 500 В,
пружина растягивается на 1 см. Найдите заряд (в мкКл) шарика, если
жесткость пружины 10 Н/м, а расстояние между пластинами
конденсатора 20 см. [40]
29. В плоский конденсатор длиной 10 см и с расстоянием между
обкладками 1 см влетает электрон с энергией 810-15 Дж под углом 15° к
пластинам. Чему равно напряжение между пластинами, при котором
электрон па выходе из конденсатора будет двигаться параллельно им?
Заряд электрона 1,610-19 Кл. [2500]
30. В центре сферы, несущей равномерно распределенный
положительный заряд 10 нКл, находится маленький шарик с
отрицательным зарядом -5 нКл. Найдите потенциал электрического
поля в точке, находящейся вне сферы на расстоянии 9 м от ее центра, k
= 9109 м/Ф. [5]
31. При переносе точечного заряда 10 нКл из бесконечности в точку,
находящуюся на расстоянии 20 см от поверхности равномерно
заряженного шара, необходимо совершить работу 0,5 мкДж. Радиус
шара 4 см. Найдите потенциал на поверхности шара. [300]
32. По тонкому кольцу радиусом 4 см равномерно распределен заряд
50 нКл. На оси кольца на расстоянии 3 см от его центра помещают
частицу с зарядом -18 нКл и массой 1 мг и отпускают. Найдите скорость
частицы в тот момент, когда она будет пролетать через центр кольца, k
= 9-109 м/Ф. [9]
33. В вершинах острых углов ромба закреплены заряды 7 нКл, а в
вершинах тупых углов находятся две частицы массой 2 мг и зарядом 2
нКл каждая. Частицы одновременно отпускают, и они приходят в
движение. Чему будет равна скорость частиц после их разлета на
большое расстояние? Сторона ромба 3 см, а его острый угол 60°. k =
9109 м/Ф. [3]
34. Два небольших тела массой 100 г каждое, несущие заряды 10 мкКл,
удерживают на горизонтальной плоскости на расстоянии 1 м друг от
друга. Коэффициент трения тел о плоскость 0,1. Тела одновременно
освобождают. Найдите максимальную скорость тел в процессе
движения, k = 9109 м/Ф, g = 10 м/с2. [2]
35. На высоте 3 м над землей закреплен заряд -4 мкКл, а под ним на
высоте 2,2 м находится частица массой 0,9 г с зарядом 1 мкКл. Какую
скорость надо сообщить частице вертикально вниз, чтобы она достигла
поверхности земли? k = 9109м/Ф, g =10 м/с2. [6]
36. Две частицы, имеющие массы 2 и 3
удаляются друг от друга. В некоторый
расстоянии 10 м и имеют одинаковые
наибольшее расстояние между частицами
9109 м/Ф. [30]
г и заряды 3 и -12 мкКл,
момент они находятся на
скорости 3 м/с. Найдите
в процессе движения, k =
37. Заряженная частица массой 1 г с зарядом 1 нКл влетает в
однородное электрическое поле с напряженностью 20 В/м
перпендикулярно линиям напряженности поля. Найдите отклонение (в
мкм) частицы от первоначального направления через 2 с после
попадания в поле. Силу тяжести не учитывать. [40]
38. Точечные заряды 50 нКл и -32 нКл находятся на расстоянии 9 см
друг от друга. Найдите напряженность поля (в кВ/м) в точке, отстоящей
на 5 см от первого заряда и на 6 см от второго заряда, k = 910 м/Ф.
[220]
39. Возле поверхности шара радиусом 6 см, равномерно заряженного
зарядом 4 нКл, находится частица массой 3 мг с зарядом 2 нКл. Частицу
освобождают. Найдите скорость (в см/с) частицы в тот момент, когда
она удалится от поверхности шара на расстояние, равное его радиусу,
k = 9109 м/Ф. [20]
40. Внутри плоского конденсатора находится стеклянная пластина, толщина которой равна расстоянию между обкладками, а площадь — вдвое
меньше их площади. Конденсатор заряжают до напряжения 200 В и
отключают от источника напряжения. Какую работу (в мДж) надо
совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора?
Емкость конденсатора без пластины 6 мкФ, диэлектрическая
проницаемость стекла 2. [90]
Учебное издание
КУЗНЕЦОВ Сергей Иванович
МЕЛЬНИКОВА Тамара Николаевна
СТЕПАНОВА Екатерина Николаевна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Учебное пособие
Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор
И.П. Чернов
Редактор О.Н. Свинцова
Компьютерный набор: Я.А. Панов
Дизайн обложки: О.Ю. Аршинова
Подписано к печати 30.04.2010. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 6,98. Уч.-изд.л. 6,42.
Заказ
. Тираж 150 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.