Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Ружникова Ольга Николаевна, учитель математики МБОУ «Гимназия № 9»,
г. Усолье-Сибирское Иркутской области.
Класс: 8
Раздел программы: квадратные уравнения
Тема урока: связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
Тип урока: урок «открытия» нового знания
Оборудование: документ-камера, оборудование системы голосования
«Живой опрос», мультимедийная презентация, карты для оценивания урока,
карточки-задания.
Список литературы:
Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений и школ с
углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло. – М.: Просвещение, 2010.
Цель урока:
1) личностное направление: развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту, формирование умения анализировать и оценивать достигнутый результат, находить и
применять способы коррекции затруднений;
2) метапредметное направление: формирование умений работать в группе,
представлять свои взгляды, оценивания результатов своей деятельности.
3) предметное направление: формулирование свойств, устанавливающих
связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнение, формирование умений применять эти свойства при решении квадратных уравнений.
Ход урока
1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности
Учитель: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и
ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные
задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».
Уоррен Сойер
Сегодня на уроке, ребята, нам придется согласиться или опровергнуть слова английского математика Уоррена Сойера.
(Обучающимся предлагается тест в системе голосования «Живой опрос».
На выполнение каждого задания отводится не более 30 сек (включен таймер).
Первые семь заданий теста ученики выполняют без проблем, это вопросы устного характера, а на последние три – им не хватает времени, т.к. чтобы выполнить их, необходимо найти дискриминант квадратного уравнения, а потом вычислить его корни, это займет минимум – 1 минуту (другими знаниями на мо-
мент этого урока, необходимыми для решения квадратных уравнений ученики
не владеют). Перед учениками возникает проблема: из 10 заданий они выполнили максимум 6-7 из-за нехватки времени.
Тест
1. Какое из уравнений не является квадратным:
а) 9 х 2  х 3  8  0 ;
в) х  х  5х  9  0 ;
б) 7 х  х 2  0 ;
г)
2х 2  х  4
0?
3
2. Установите то квадратное уравнение, которое не является приведенным:
а) х 2  х  1  0 ;
в)  2 х 2  9 х  8  0 ;
б) х 2  0,16  0 ;
г) 5 х  х 2  0 .
3. Какое квадратное уравнение является неполным:
а) 2  х 2  7 х  0 ;
в) 2 х 2  3х  6  0 ;
б) х  6 х 2  0 ;
г) х 2  х  1 ?
4. Какому промежутку принадлежит корень уравнения 5 х 2  0 :
а) (;0) ;
в) [0;5] ;
б) (5;4) ;
г) (0;) ?
5. Сумма корней квадратного уравнения х 2  4 х  0 равна:
а) 4;
в) -4;
б) 0;
г) -3?
2
6. Решите уравнение 4 х  20 х  0 :
а) 0; 5;
в) -5; 0;
б) 0;
г) -5.
7. Сколько корней имеет уравнение 2 х 2  3х  2  0 :
а) один;
в) ни одного?
б) два;
8. Корни уравнения х 2  6 х  5  0 равны:
а) 1; -5;
в) -1; 5;
б) 1; 5;
г) -1; -5?
2
9. Корни уравнения 3х  4 х  1  0 равны:
1
;
3
1
б) 1;  ;
3
1
;
3
1
г) -1;  ?
3
2
10. Решите уравнение 2 х  5 х  2  0 :
1
1
а) 2; ;
в) -2; ;
2
2
1
1
б) 2;  ;
г) -2;  ?
2
2
а) 1;
в) -1;
Учитель: Ребята, значит, существуют более эффективные способы, которые позволят решать некоторые квадратные уравнения быстрее. Какова задача
нашего урока?
Ученики: сформулировать эти способы.
Учитель: для этого я предлагаю Вам поработать в группах.
2. Этап актуализации и пробного учебного действия
Заполните таблицу и сделайте выводы. (Работа в группах)
1 группа:
1. 6 х 2  7 х  1  0
2. х 2  3х  2  0
a=
, b=
, c=
a=
, b=
, c=
a+b+c =
a+b+c =
х1 
х1 
х2 
х2 
3. 4 х  5 х  9  0
a=
, b=
a+b+c =
2
, c=
4.  х 2  4 х  3  0
a=
, b=
, c=
a+b+c =
х1 
х1 
х2 
х2 
Вывод: если в квадратном уравнении ax 2  bx  c  0, a  0 a+b+c =_____, то
х1  _____, х2  ____.
2 группа:
1. х 2  4 х  5  0
2. х 2  3х  2  0
a=
, b=
, c=
a=
, b=
, c=
a –b + c =
a–b+c=
х1 
х1 
х2 
х2 
3. 4 х 2  5 х  9  0
a=
, b=
a–b+c=
, c=
4.  х 2  4 х  5  0
a=
, b=
, c=
a–b+c=
х1 
х1 
х2 
х2 
Вывод: если в квадратном уравнении ax 2  bx  c  0, a  0 a – b + c =_____,
то х1  _____, х2  ____.
3 группа:
1.
2 х 2  5х  2  0
a=
, b=
, c=
,
2. 3х 2  10 х  3  0
a=
, b=
, c=
a2 1 
х1 
a2 1 
х1 
х2 
х2 
3.  4 х 2  17 х  4  0
a=
, b=
, c=
,
4. 5 х 2  26 х  5  0
a=
, b=
, c=
a 1 
х1 
a 1 
х1 
х2 
х2 
2
,
,
2
Вывод: в квадратном уравнении ax2 +(а2+1)х+а=0, a  0
х2  ____.
х1  _____,
4 группа:
1.
2 х 2  5х  2  0
a=
, b=
, c=
,
2. 3х 2  10 х  3  0
a=
, b=
, c=
a2 1 
х1 
a2 1 
х1 
х2 
х2 
3.  4 х 2  17 х  4  0
a=
, b=
, c=
,
4. 5 х 2  26 х  5  0
a=
, b=
, c=
a 1 
a 1 
х1 
х1 
х2 
х2 
2
,
,
2
Вывод: в квадратном уравнении ax2 – (а2+1)х+а=0, a  0 х1  _____,
х2  ____.
(После того, как ученики поработали (5-7 мин), один обучающийся из
группы выходит к доске и объясняет свойство, которое было ими сформулировано. На данном этапе урока используется документ-камера. На экран выводится результат работы каждой группы, что экономит время, т.к. не нужно делать
лишних записей на доске, остальные обучающиеся анализируют работу другой
группы, разбирают новое свойство. После того, как выступили все группы,
разобрали свойства, устанавливающие связь между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения, учитель раздает ученикам карточки с данными свойствами, которые необходимо вклеить в тетрадь (экономия времени на уроке).
3. Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи
Из приведенных квадратных уравнений выберите те, которые можно решить с помощью свойств, изученных на уроке, и найдите их корни:
1. 8 х 2  65 х  8  0 ;
2. 9 х 2  11х  9  0 ;
3. 7 х 2  9 х  2  0 ;
4. 7 х 2  50 х  7  0 ;
5. 8 х 2  7 х  14  0 ;
6. 13х 2  19 х  32  0 .
(На данном этапе используется мультимедийная презентация для проверки выполнения
этого задания)
4. Этап включения в систему знаний и повторения
Решите уравнение: х 4  6 х 2  7  0 . (Работа в парах)
(На данном этапе используется мультимедийная презентация для проверки выполнения
этого задания)
5. Этап рефлексии учебной деятельности на уроке
Учитель: какую цель мы поставили в начале урока? Достигли ли мы ее?
Почему? Согласны ли Вы со словами математика Сойера?
6. Этап постановки домашнего задания
(На каждом этапе урока после выполнения задания обучающимся необходимо заполнить маршрутный лист, в конце урока они оценят свои результаты и
получат соответствующую отметку.)