1. Какую функцию f(x) вычисляет машина Тьюринга со следующей программой: 0q1 ! Rq2, 1q1 ! 1q0, 0q2 ! 1q3, 1q2 ! Rq2, 0q3 ! 0q0, 1q3 ! Lq3? 2. Пусть машина Тьюринга T имеет следующую программу: 0q1 ! 0q0. Какие функции f(x), f(x1, x2), . . . , fn(x1, . . . , xn), . . . вычисляет эта машина? 3. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет функцию o(x) = 0. 4. Построить машины Тьюринга A, Б°, В, К, Л, R. 5. Построить машины Тьюринга для правильного вычисления функций (а) x° ̇ 1; (б) sg(x); (в) sg(x); (г) x° ̇ y; (д) x ° y; (е) x/2; (ж) [x/2]. 6. Доказать,чтоеслиf(x1,...,xn)ПРФ,тоследующиефункциипримитив но рекурсивны: (а) f1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≠ f(x2, x1, x3, . . . , xn) (перестановка аргументов); (б) f2(x1, x2, . . . , xn) ≠ f(x2, . . . , xn, x1) (циклическая перестановка аргумен- тов); (в) f3(x1, . . . , xn, xn+1) ≠ f(x1, . . . , xn) (введение фиктивного аргумента); (г) f4(x1, . . . , xn°1) ≠ f(x1, x1, x2, . . . , xn°1) (отождествление аргументов). 7. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: (а)f(x)=x+n; (в)f(x)=x!,где0!≠1, (б)f(x)=n; (г)f(x,y)=xy,где00 ≠1. 109 00 (x) < log (t 2 T 0 (x)) < 8. Записать аналитическое выражение для функции R(f, g), если (а) f(x,y,z) = zx, g(x) = x; (б) f(x,y,z) = xz, g(x) = x. 9. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: (a) sg(x); (б) sg(x); (в) x° ̇ 1; (г) x° ̇ y; (д) |x ° y|; (е) max(x, y); (ж) min(x, y); (з) [x/y]; (и) x © y (сумма по модулю 2); (к) rest(x, y); (л) px (x-е простое число); (м) ex(x, y); £ p § (н) long(x); (о) x 2 ; (п) [ex]. 10. Доказать, что: (а) множество всех частично рекурсивных функций счетно; (б) существует частичная числовая функция, не являющаяся частично ре- курсивной; (в) существует всюду определенная числовая функция, не являющаяся общерекурсивной. 11. Доказать, чт о частично рекурсивны следующие функции: Ω x°y, еслиx∏y, не определена в противном случае; Ω (а) f(x,y) = x/y, если y делит x, Ω не определена в противном случае; (б) f(x,y) = 12. Доказать, что если f(n+1) и g(n+1) ЧРФ, то частично рекурсивны следую- щие функции: (а) μy (f(x, y) = g(x, y)); (в) μy (f(x, y) < g(x, y)); (б) μy (f(x,y) 6= g(x,y)); (г) μy (f(x,y) = 0 и g(x,y) = 0). 13. Доказать, что следующие предикаты примитивно рекурсивны: (а)x+y=z; (в)xчетно; (б) x · y = z; (г) x и y взаимно просты. 14. Доказать, что любое конечное множество натуральных чисел примитивно рекурсивно. 15. Доказать, что существует множество X Ω N, не являющееся рекурсивно перечислимым. 110 z, если x = zy, не определена в противном случае; (в) f(x,y) = (г) функция с конечной областью определения. После изучения главы 3 выполняются задачи 7 и 8 контрольной ра- боты. Задача 7 решается написанием программы, аналогичной про- грамме машин Тьюринга Б+ и Сложение из п.1 параграфа 3.1, а задача 8 аналогично примеру 3.2.1.