2012 - Mathscinet.ru

2012
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Ф О Р М А 4 .
И Н И Ц И А Т И В Н О Г О
П Р О Е К Т А
(- заполняется с помощью системы «Грант-Экспресс» - для конкурсов вида
«а» (включая конкурсы региональных проектов);
- пп. 4.10.1. - 4.10.4. заполняются только по конкурсу «а»)
4.1.
Фундаментальная научная проблема, на решение которой направлен
проект
Исследование М-матриц высоких порядков
4.2.
Конкретная фундаментальная задача в рамках проблемы, на
решение которой направлен проект (если данная задача
является дополнением к теме работ, выполняемых авторами
по плану своей организации, - указать название и гос.
регистрационный номер этой темы)
Проверка гипотезы Н.А. Балонина об асимптотическом поведении
m-нормы М-матриц высоких порядков.
4.3.
Предлагаемые методы и подходы (с оценкой степени новизны, общий
план работ на весь срок выполнения проекта)
К основным методам получения новых результатов относятся
универсальные вычислительные итерационные процедуры, с помощью
которых находятся ортогональные матрицы с минимальным
максимальным элементом (M-матрицы), к которым относятся, в
частности, матрицы Адамара и С-матрицы (конференц матрицы или
матрицы Белевича). То есть – основные методы, это методы
вычислительные,
дополняемые
возможным
предварительным
аналитическим исследованием.
Авторами выделен базовый алгоритм и направления его
модификации выбором начальных условий и изменениями процедур
сжатия и ортогонализации матриц.
Гипотеза Н. А. Балонина относительно асимптотического поведения
m-нормы (величины минимаксного элемента) является новой и нуждается
в доказательстве, не исключая изменения ее формулировки в части
уточнения ее содержания в зависимости от порядков исследуемых
матриц. Гипотеза выделена основной, поскольку в зависимости от
результатов ее проверки существенно меняется точка зрения на
существование и вид минимаксных матриц высоких порядков.
Такие исследования новы и не проводились ранее.
Соответственно отмеченной цели возникают следующие задачи,
формирующие план исследования:
- обеспечить обоснованный потребностями темы выбор аппаратного
компьютерного
обеспечения,
необходимого
для
эффективного
выполнения больших объемов вычислений;
- разработать технологию распараллеливания вычислений М-матриц
с использованием существующих лицензионных и открытых
математических пакетов;
- систематизировать накопленные знания, выработать рекомендации
по применению М-матриц в технологиях передачи данных в
распределенных информационно-управляющих системах;
- разработать и запатентовать математическое обеспечение,
позволяющее использовать М-матрицы четного и нечетного порядков в
технологиях защитного кодирования информации;
- осуществить апробацию научных результатов через публикацию в
научных изданиях;
- привлечь к работе аспирантов и докторантов.
План работ по годам:
2012 год.
1. Выбор и приобретение (аренда) вычислительного комплекса и
соответствующего его вычислительной мощности лицензионно чистого
программного обеспечения.
2. Написание тестовых программ параллельной
вычисления М-матриц четного и нечетного порядков.
реализации
3. Подведение
материалов.
публикация
итогов
первых
исследований,
2013 год.
1. Масштабные вычислительные эксперименты и систематизация
накопленных результатов исследований.
2. Проверка и уточнение формулировки гипотезы Н. А. Балонина об
асимптотическом поведении m-нормы на основе систематизированных
результатов.
3. Формулировка рекомендаций по применению М-матриц четного
и нечетного порядков в технологиях защиты данных в распределенных
информационно-управляющих системах.
4. Апробация научных результатов исследований на конференциях,
публикация в научных изданиях.
2014 год.
1. Разработка и патентование
алгоритмов и программного
обеспечения, позволяющего использовать М-матрицы
с целью
обеспечения лицензионной чистоты используемых методов и
закрепления авторских прав научного коллектива.
2. Внедрение алгоритмов и программного обеспечения в рамках
научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ для
гособоронзаказа.
Авторы проекта располагают возможностями использования
уникальных
М-матриц
в
разработках
современной
и
конкурентоспособной продукции таких предприятий как ЗАО «КБ
Юпитер», ОАО «ЛОМО», ОАО «Гранит-Электрон», ОАО «НИИ
вычислительных средств «Спектр»» и др., что тоже относится к
авторскому заделу по тематике
4.4.
Ожидаемые в конце 2012 года научные результаты
(развернутое описание с оценкой степени оригинальности;
форма изложения должна дать возможность провести
экспертизу результатов)
Важный итог проекта состоит в сохранении первенства и приоритета
исследований в новом, открытом в России, научном направлении.
В 2012 году ожидается, согласно плану исследования:
- создание (аренда) вычислительной базы для проведения научного
исследования гипотезы об асимптотическом поведении m-нормы матриц
высоких порядков.
- получение новых вычислительных методов, исследование условий
сходимости и влияния точности вычислений на получение новых Mматриц и их уровневости;
- получение новых ранее не известных M-матриц, отсутствующих в
ряду матриц Адамара и Белевича, опубликованных в периодических
математических изданиях, книгах и сетевых математических ресурсах;
-
проведение
сопоставительного
анализа
результативности
разработанных подходов с ранее известными.
Данные планируемые научные результаты являются новыми,
поскольку базируются на предложенной авторами научной концепции.
4.5.
Современное состояние исследований в данной области
науки, сравнение ожидаемых результатов с мировым уровнем
В работах авторов проекта освещен класс ортогональных матриц с
минимальным по норме максимальным элементом (минимаксных матриц
или М-матриц). Важными представителями этого класса являются
матрицы Адамара и Белевича. В этих работах предложен универсальный
алгоритм поиска M-матриц, результативность которого зависит от
порядка матрицы, и опубликованы найденные и дополняющие
последовательности матриц Адамара и Белевича матрицы нечетных
порядков 3, 5, 7, 9, 11 и матрица четного 22-го порядка. Высказано
предположение, что М-матрица
13-го порядка и старших
предположительно являются хаотическими, что не исключает
существования так называемых регулярных квазиоптимальных
уровневых матриц и матриц особых порядков таких, как 22-й. Степень
оригинальности исследований объективно можно оценить по тому, что в
поисковых машинах, например, в google.com, по ключу “Матрицы
Адамара” авторский математический ресурс мониторинга М-матриц
http://mathscinet.ru стабильно делит первое-второе место с Википедией.
Ввиду сложности поиска матриц высоких порядков и несводимости типов
выделяемых уже в основной последовательности М-матриц порядков,
кратных 4, друг к другу, научным сообществом ведется сетевой
мониторинг и есть традиция публиковать новые открытые матрицы.
Определенный вес этому придает практическая сфера приложения
матриц Адамара к построению помехоустойчивых и защитных кодов.
Согласно сетевому мониторингу к настоящему времени опубликованы
все матрицы Адамара до 428-го порядка включительно (авторы
Kharaghani and Tayfeh-Rezaie), первая следующая неизвестная матрица
имеет порядок 668. М-матрицы нечетных порядков и матрицы
пропущенных четных порядков изучены значительно хуже. Отмеченные
пропуски связаны с классическими проблемами теории чисел. Впервые
это обстоятельство в 1950 году обнаружил Витольд Белевич. Он ввел
математическое понятие конференц-матриц (С-матриц), называемых так,
потому что они изначально возникли в задачах объединения в единую
систему идеальных трансформаторов. Факт существования конференции
матриц - не тривиальный вопрос, поскольку они существуют не для всех
значений n. Значения n, для которых они существуют, всегда имеют
форму 2k+2 (k – целое), но это само по себе не является достаточным
условием. C-матрицы существуют для n равных 2, 6, 10, 14, 18, 26, 30, 38
и 42. Они не существуют для n=22 или 34. Белевичем были получены
полные решения для всех n до 38, а также он отметил, что для n=66
имеется несколько вариантов матриц.
Уровень фундаментальности последующих исследований зависит от
выбора концепции исследований. Принципиальный вопрос асимптотическое поведение приведенной m-нормы матриц с ростом
порядка. Единой точки зрения на его решение пока нет. Если m-норма
обобщенных матриц наследует свойства m-норм матриц Адамара и
Белевича (стремится к 1), то это означает сходство их структуры –
малоуровневость, что исследованиями не доказано. Более того, вероятен
противоположный результат.
Такое предположение является основой гипотезы Балониным Н.А., а
именно: m-норма отсутствующих в ряду известных обобщенных Mматриц стремится к константе, значение которой больше единицы. На
основе предварительных вычислительных экспериментов была получена
оценка ее значения 9/8. Подтверждение или уточнение этого
обстоятельства (следует разделять случаи четного и нечетного порядков),
крайне трудно исследуемо ввиду резкого роста объема вычислений с
увеличением размера матриц. От этой оценки кардинально меняется
прогноз вида искомых М-матриц.
Это фундаментальный вопрос, который вынесен в качестве основного.
К основоположникам научного направления в начале прошлого века
относятся Адамар и Пэли (конструкции Пэли). Благодаря их работам
были получены фундаментальные результаты, на которых базируется
теория современного защитного кодирования. В работах Якобсталя
исследован вопрос аналитического нахождения матриц Адамара с
помощью символов Лежандра. Усилиями Белевича в середине прошлого
века пропуски в адамаровой последовательности матриц оказались
связанными с теоремой Эйлера относительно разложимости чисел на
сумму квадратов. Но не указано, если конференц-матрица 22-го порядка
не существует (и это доказано), то что замещает ее среди обобщенных Mматриц. Это имеет довольно принципиальное обратное значение для
теории чисел, так как объекты (матрицы и числа) сопоставимы. И эта
новизна уже в отношении указанного только одного невысокого порядка.
В целом проблема глубже, в связи с чем до сих пор не доказана теорема
Адамара о существовании соответствующих М-матриц. Исследование Mматриц четных и нечетных порядков затрагивает алгебраические и
геометрические свойства математических моделей.
У авторов проекта имеется серьезный приоритет и новизна, так как ими
были проведены первые работы в отмеченном направлении и
опубликован ряд научных статей.
Тема исследования матриц Адамара высоких порядков известна во всем
мире. Стоит отметить, что это научное направление, в котором мировой
приоритет имеет существенное экономическое значение, поскольку
связан с информационными технологиями, требующими применения
лицензионно чистых алгоритмов обработки информации. М-матрицы
имеют важное в инженерной практике применение для помехозащитного
кодирования, построения новых кодов,
кодирования компьютерной информации.
разработки
принципов
Авторами проекта сформулирован новый научный подход к получению
обобщенных М-матриц, что обеспечивает результаты, превосходящие
мировой уровень.
4.6.
Имеющийся у коллектива научный задел по предлагаемому
проекту: полученные ранее результаты (с оценкой степени
оригинальности), разработанные методы (с оценкой степени
новизны)
В задел по научному проекту входят:
- впервые опубликованные в научных статьях теоретическое
обоснование задачи и гипотеза Н. А. Балонина о поведении mнорм М-матриц;
- экспериментальное программное обеспечение для персонального
компьютера, созданное участниками проекта на основе
оригинального вычислительного метода, с обоснованием выбора
начальных условий вычислений;
- впервые полученные не известные ранее М-матрицы до 20-го
порядка, включая также матрицу четного 22-го порядка,
заполняющую неизвестное ранее исключение из четных
конференц матриц (C-матриц, матриц Белевича).
Авторами проекта реализуется сетевой мониторинг М-матриц в
научной математической сети http://mathscinet.ru.
4.7.1.
Список основных публикаций коллектива, наиболее близко
относящихся к предлагаемому проекту (каждая с новой
строки)
1. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационные
управляющие системы. 2011. № 1. – С.14-21
2. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка //
Информационные управляющие системы. 2011. № 5. – С. 81-83.
3. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка
// Информационные управляющие системы. 2006. № 3. С.46-50
4. Балонин Н.А. Теоремы идентифицируемости. – СПб: Политехника,
2010. - 48 с
5. Сергеев М.Б., Соловьев Н.В., Стадник А.И. Методы повышения
контрастности растровых изображений для систем цифровой обработки
видеоинформации // Информационно-управляющие системы. 2007. № 1.
С.2 – 7.
6. Соловьев Н.В., Сергеев А.М. Улучшение качества растровых
изображений: Учеб. пособие - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2010. - 94 с.
4.7.2.
Список основных (не более 5) публикаций руководителя
проекта в рецензируемых журналах за последние 3 года
(независимо от их тематики; каждая с новой строки)
1. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационные
управляющие системы. 2011. № 1. – С.14-21
2. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка //
Информационные управляющие системы. 2011. № 5. – С. 81-83.
3. Сергеев М.Б. Гибридный разрядный метод решения систем уравнений
в целочисленной арифметике // Информационно-управляющие системы –
2003. – № 2-3.– С. 16 – 18
4. Sergeev M., Erosh I. Fast encryption of various types of messages //
Mechanical Engineering 51/1 (2007) pp. 1 – 10.
4.8.
Перечень оборудования и материалов, имеющихся у
коллектива для выполнения проекта
Для выполнения проекта имеется предварительно разработанное
программное обеспечение для персонального компьютера.
4.9.
Перечень оборудования и материалов, которые необходимо
дополнительно приобрести, изготовить или отремонтировать
для успешного выполнения проекта; обосновать
необходимость его приобретения
Необходимо приобретение (аренда) высокопроизводительного
многопроцессорного вычислительного комплекса, позволяющего
обеспечить проведение затратоемких по времени вычислений.
4.10.1.
4.10.2.
4.10.3.
4.10.4.
Сроки проведения в 2012 году экспедиции по тематике
проекта, если это необходимо (месяц начала, год - месяц
окончания, год)
Запрашиваемая стоимость экспедиции (в руб.) 360000
Регион проведения экспедиции
Название района проведения экспедиции в составе региона
Подпись руководителя проекта