На правах рукописи - Госуниверситет — УНПК

На правах рукописи
Кравцова Эльвира Александровна
ДИНАМИЧЕСКИЕ ДОГРУЖЕНИЯ БАЛКИ ПРИ РАССЛОЕНИИ
05.23.17 — Строительная механика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Орел - 2013
2
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Государственный университет – учебно-научно-производственный комплекс».
Научный руководитель:
Гордон Владимир Александрович
Официальные оппоненты:
Трещев Александр Анатольевич
доктор технических наук, профессор
ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», зав. кафедрой
«Строительство, строительные материалы и конструкции»
Прокуров Максим Юрьевич
кандидат технических наук, доцент
ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-технологическая
академия», доцент кафедры «Строительные конструкции»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет»
Ведущая организация:
доктор технических наук, профессор
Защита состоится «28» июня в 15-00 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.182.05, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Госуниверситет –
УНПК», по адресу: 302030, г. Орел, ул. Московская, д. 77, ауд. 426, зал диссертационных советов.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке
ФГБОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК» по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, д. 29.
Отзывы на автореферат направлять в диссертационный совет по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, д. 29.
Автореферат разослан « 22 » мая 2013 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
А.И. Никулин
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В связи с участившимся количеством катастроф как в
России, так и за рубежом (обрушение конструкций Трансвааль-Парка в Москве,
металлических ферм плавательного бассейна в Пермской области, конструкций
покрытия спорткомплекса в Германии и т.д.) внимание научной и гражданской
общественности направлено на проблемы обеспечения надежности, безопасности и живучести строительных конструкций и сооружений.
Все большую актуальность и значение приобретает разработка новых и совершенствование существующих методов моделирования и расчета различных
состояний и процессов в строительных конструкциях. Это связано в большой
степени со значительным износом основных фондов, терроризмом, техногенными воздействиями, природными катастрофами, использованием некачественных материалов и технологических решений. Особо опасными являются
внезапно образующиеся повреждения типа мгновенных расслоений, выключающихся связей, частичных обрушений и т.п. Они опасны, потому что внезапные структурные изменения приводят конструкцию в колебания, в ходе которых напряжения и деформации могут превысить допустимые значения. Решение этой проблемы для реальных конструкций связано с необходимостью разработки специальных методов, так как она не может быть решена универсальными методами – ее постановка и решение должны содержаться в рекомендациях по проектированию конструкций и сооружений конкретных типов. В
настоящее время исследования в рамках фундаментальной проблемы создания
основ конструктивной безопасности и живучести сооружений, разработки новых методов расчета деформируемых объектов с учетом запроектных воздействий интенсивно ведутся в России и за рубежом, но они пока малочисленны. В
связи с этим существует необходимость разработки метода, желательно аналитического, для описания переходных динамических процессов, инициируемых
внезапными структурными перестройками конструкций.
Объект и предмет исследования.
Объект исследования – статически неопределимая балка, моделируемая составным стержнем. Предмет исследования – динамические процессы, происходящие в балке при ее внезапном продольном расслоении.
Цель исследования  создание методики количественной оценки трансформации напряженно-деформированного состояния нагруженной балки при
конкретном запроектном воздействии на нее  внезапном расслоении.
Основные задачи исследования:
– разработать физическую и математическую модели динамических процессов в нагруженной балке, инициируемых внезапным образованием локальных
дефектов в виде продольного расслоения (трещины);
– разработать аналитический метод расчета частот и форм собственных изгибных колебаний балки с дефектом в виде продольного расслоения;
– разработать аналитический метод расчета вынужденных изгибных колебаний балки с учетом внешних нагрузок и дефекта в виде продольного расслоения;
4
– разработать комплексный метод анализа напряженно-деформированного
состояния нагруженной балки в ходе динамического процесса, инициируемого
внезапным расслоением;
– провести оценку квазистатических и динамических приращений напряжений в балке для различных вариантов локализации и длины участка расслоения.
Методы исследования: математическое моделирование задачи статики и
динамики статически неопределимой балки с использованием фундаментальных положений строительной механики, теории упругости и механики деформируемого тела.
Научная новизна работы заключается в постановке и решении актуальной
научно-технической задачи  создании методики количественной оценки
напряженно-деформированного состояния нагруженной балки при конкретном
запроектном воздействии на нее  внезапном продольном расслоении и, в частности:
– в разработке физической и математической модели динамических процессов в нагруженной балке, инициируемых внезапным образованием локальных
дефектов в виде продольного расслоения (трещины). Физической моделью является модификация составной балки с разрушенными связями сдвига и действующими поперечными связями. Контактное взаимодействие частей балки
при ее продольном расслоении описано в результате отказа от одной из гипотез
Кирхгофа-Лява – о не надавливании слоев друг на друга при изгибе. Математической моделью являются дифференциальные уравнения статического изгиба
монолитной и поврежденной балки и уравнения собственных и вынужденных
изгибных колебаний комбинации балок, образующихся после возникновения
повреждений сегментов, с соответствующими начальными и граничными
условиями их сопряжения;
– в разработке аналитического метода расчета частот и форм собственных
изгибных колебаний балки с дефектом в виде продольного расслоения. Получено модифицированное уравнение изгибных колебаний указанной балки. Модификация состоит в приведенной изгибной жесткости балки, поперечное сечение которой состоит из двух частей. Метод позволяет определить зависимости
частот и форм собственных изгибных колебаний от параметров дефекта: его
длины и положения вдоль оси и высоте сечения;
– в разработке процедуры получения частотного уравнения, заключающейся
в использовании аналитических решений статики и динамики стержней, которым придается специфический, характерный для метода конечных элементов,
вид. При этом используются метод начальных параметров, векторное четырехпараметрическое представление состояния сечения, блочное представление
векторов состояния, клеточная матрица влияния начального сечения на конечное. Частотное уравнение получено приравниванием определителя матрицы
влияния нулю. При этом построение матрицы влияния отличается от процедуры построения матрицы жесткости конечного элемента, традиционный подход
к которой сводится к приписыванию конечному элементу полиномиальных
функций формы;
5
– в подходе к расчету вынужденных изгибных колебаний балки с учетом
внешних нагрузок и дефекта в виде продольного расслоения. Новизна состоит
в том, что в процессе модального анализа внешняя нагрузка и начальный прогиб неповрежденной конструкции раскладываются в ряды по формам (модам)
собственных колебаний поврежденной конструкции;
– в разработке комплексного метода анализа напряженно- деформированного состояния нагруженной балки в ходе динамического процесса, инициируемого внезапным расслоением, включающего: расчет деформаций и напряжений
в исходной (неповрежденной) балке; расчет форм (мод) и частот собственных
изгибных колебаний поврежденной балки; расчет вынужденных колебаний с
учетом внешних нагрузок для определения амплитуд перемещений и напряжений, а также для определения времени достижения напряжениями экстремальных значений;
– получены результаты расчетов, связывающих уровни приращений напряжений с параметрами повреждения при трех состояниях: исходном неповрежденном, поврежденном квазистатически и поврежденном мгновенно.
Автор защищает:
– физическую и математическую модели переходного динамического процесса в нагруженной статически неопределимой балке, инициируемого продольным расслоением ее на две части в результате внезапного разрушения связей сдвига между частями при сохранении поперечных связей;
– метод расчета форм и частот собственных изгибных колебаний стержня с
дефектом в виде продольного расслоения, образующегося на произвольном
расстоянии от нейтрального слоя, включая алгоритм построения матрицы влияния параметров начального сечения стержня на конечное и получение частотного уравнения;
– метод расчета вынужденных изгибных колебаний нагруженного стержня с
использованием разложений внешней нагрузки и начального прогиба по модам
собственных изгибных колебаний поврежденного стержня;
– аналитические зависимости между величинами динамических приращений внутренних усилий и напряжений и параметрами расслоения: длиной и положением по оси стержня и по нормали к нейтральному слою;
– численные результаты расчетов напряжений в характерных точках балки
при трех состояниях: исходном неповрежденном, поврежденном квазистатически и поврежденном мгновенно.
Достоверность полученных результатов и выводов.
Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов, приведенных в диссертации, достигается за счет корректности предложенных моделей динамических переходных процессов в нагруженной балке, возникающих в результате внезапного продольного расслоения; на строгом использовании фундаментальных положений теории упругости и строительной
механики стержневых систем и адекватного математического аппарата, а также
апробации основных теоретических положений диссертации в печатных трудах
и международных научных конференциях.
Теоретическая и практическая значимость работы.
6
Результаты работы способствуют развитию теории и методов расчета прочности и живучести строительных конструкций. Рассмотренные в работе объекты пополняют библиотеку элементов конструкций, подвергающихся внезапным
запроектным воздействиям, и тем самым расширяют диапазон справочных данных для выработки конкретных конструктивно-технологических решений, а
также для разработки отдельных положений строительных норм, правил и
стандартов на проектирование, эксплуатацию и реконструкцию сооружений,
учитывающих возможность и потенциальные последствия рассмотренных запроектных воздействий.
Реализация результатов исследования.
Результаты проведенных исследований были использованы при выполнении проектов в рамках Государственного задания 01.2.007 05086 «Развитие
теории переходных процессов в механических системах при внезапных изменениях их свойств и структуры»(2007-2011г), Федеральной целевой программы
«Научные и научно-педагогические кадры» на 2009-2013 годы, соглашение
№14.В37.21.0292 «Исследование закономерностей неравновесных процессов и
статико-динамического деформирования пространственных конструктивных
систем и развитие на этой основе теории живучести энерго-, ресурсоэффективных зданий и сооружений» и гранта РФФИ №12-08-97587 р_центр_а «Изучение динамических переходных процессов в стержневых системах при внезапных структурных преобразованиях» (2012-2014г).
Результаты исследований внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВПО
«Госуниверситет – УНПК» при чтении курса дисциплины: «Строительная
механика», в разработку проектной документации ЗАО «Промстройэнергомонтаж» (г. Орел) на реконструкцию Ливенской ТЭЦ.
Апробация работы и публикации.
Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались
на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 2010г., 2012г.), VII Международном научном симпозиуме «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости
в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, ТверГТУ, 2011г.), Академических научных чтениях «Проблемы архитектуры, градостроительства и
строительства в социально-экономическом развитии регионов» (Тамбов, ТГТУ,
2012г.), X научно-технической конференции «Вибрация – 2012. Управляемые
вибрационные технологии и машины» (Курск, 2012г.), Международной научно-технической конференции «Вибрацii в техницi та технологiях» (Украина,
Винница, Национальный аграрный ун-т, 2012г.), XV Международной научнотехнической конференции «Фундаментальные проблемы техники и технологии
– Технология-2012» (Орел, Госуниверситет – УНПК, 2012г.), а также на ежегодных научных конференциях Госуниверситета – УНПК (Орел, 2010-2012г.г.).
В полном объеме работа рассмотрена и одобрена на расширенном заседании
кафедры «Строительные конструкции и материалы» ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» (г. Орел, 2013 г.).
По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из них 6 в изданиях,
рекомендуемых ВАК Минобрнауки России.
7
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа изложена на 123 страницах машинописного текста,
содержит 58 иллюстраций и состоит из введения, четырех глав, заключения,
списка использованных источников, включающего 83 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой темы, приведены общая характеристика работы и основные положения, выносимые автором на защиту.
В первой главе приведен анализ современного состояния методов определения напряженно-деформированного состояния нагруженных строительных
конструкций в ходе динамического процесса, вызванного запроектными воздействиями и внезапными структурными перестройками.
Актуальность и большое практическое значение исследований в данной области строительной механики сооружений подтверждает бурный рост научных
работ и публикаций по различным аспектам проблемы во всем мире. В настоящее время исследованиями по изучению причин, проявлений, диапазонов отказов, вариантов их классификаций и последствий занят ряд отечественных и зарубежных ученых. Отечественными учеными Ю.Н. Работновым, В.В. Болотиным, И.Е. Милейковским, Г.А. Гениевым, В.М. Бондаренко, В.И. Травушем,
В.И. Колчуновым, В.П. Чирковым и другими было введено понятие конструктивной безопасности и живучести зданий и сооружений. Ими, а также Н.И.
Карпенко, А.В. Забегаевым, А.С. Залесовым, Н.В. Клюевой, В.И. Колчуновым,
С.И. Меркуловым, А.И. Никулиным, В.С. Плевковым, К.П. Пятикрестовским,
В.И. Римшиным, А.Г. Тамразяном, В.С. Федоровым, А.Г. Юрьевым и другими
были заложены основы конструктивной безопасности систем с учетом предыстории их изготовления, нагружения и накапливающихся при эксплуатации повреждений. Работ, посвященных анализу систем с внезапно изменяющимися
конструктивной и расчетной схемами, недостаточно. Из имеющихся работ следует отметить монографию Гениева Г.А. и др., в которой даны методики теоретического анализа процессов деформирования и разрушения балочных и
стержневых систем от различных запроектных воздействий, а также докторская
диссертация Н.В. Клюевой, в которой разработаны основы теории живучести
конструктивно нелинейных стержневых систем из железобетона. В работах
Брусовой В.И., Павловой Т.А., Потураевой Т.В. при различных внезапных преобразованиях условий опирания и при частичном разрушении рассматривались
переходные процессы в круглых пластинках постоянной и переменной толщины, рассмотрен вариант процесса лавинообразного выключения связей в опорах
балки, определены динамические догружения в фрагменте пространственной
системы многоэтажного каркаса здания с внезапно выключающейся центральной стойкой.
Таким образом, обзор и анализ известных работ показывает, что инженерные методики проектирования и расчета, учитывающие внезапные перестройки
и повреждения конструктивных систем малочисленны и несовершенны. С 2010
8
года введен в действие Федеральный закон №ФЗ-384 «Технический регламент
о безопасности зданий и сооружений», согласно которому «при проектировании здания или сооружения повышенного уровня ответственности должна быть
учтена также аварийная расчетная ситуация, имеющая малую вероятность возникновения и небольшую продолжительность, но являющаяся важной с точки
зрения последствий достижения предельных состояний, которые могут возникнуть при этой ситуации (в том числе предельных состояний при ситуации, возникающей в связи со взрывом, столкновением, с аварией, пожаром, а также
непосредственно после отказа одной из несущих строительных конструкций)».
По существу, здесь идет речь о расчете зданий и сооружений на живучесть при
внезапном запроектном воздействии. В то же время нормативные документы,
призванные объяснять выполнение этого требования, до настоящего времени
отсутствуют. Все это сдерживает развитие теории и методов расчета прочности
и живучести строительных конструкций, разработку и внедрение строительных
норм и стандартов, учитывающих возможность и негативные последствия запроектных воздействий. На основе проведенного обзора и анализа научных
публикаций по рассматриваемой проблеме сформулированы цель и задачи
настоящей диссертационной работы.
Вторая глава диссертации посвящена решению задачи по определению динамических догружений в нагруженной статически неопределимой балке,
жестко заделанной одним концом и шарнирно опертым другим, при внезапном
структурном преобразовании, а именно расслоении, образующемся по нескольким участкам и на разных уровнях по отношению к нейтральному слою (рисунок 1, а). Такую балку можно рассматривать как типичный элемент несущей
стержневой системы. Физической моделью данной балки служит стержень, состоящий из нескольких сопрягаемых сегментов. Каждый сегмент представляет
собой составную конструкцию из двух монолитных стержней, соединенных
между собой по всей длине жесткими связями. Связи, соединяющие отдельные
стержни, разделяются на поперечные и сдвиговые (рисунок 1, в). На рисунке 1
показаны конструктивная и расчетная схема балки с трещиной.
Рисунок 1 – Модель балки с трещиной
а) реальная трещина в балке; б) поперечное сечение балки; в) расчетная модель
балки
9
Пусть балка на ряде участков l i (i  1,2,... m) расслоилась. На рисунке 1, а показана реальная трещина в балке. Разделим балку на сегменты, на каждом из
которых расслоение идет параллельно и на одном уровне по отношению к
нейтральному слою. На рисунке 1, а таких участков три. Каждый из таких
цельных сегментов представляет собой составной стержень (по А.Р. Ржаницыну), две части которого соединены связями сдвига и поперечными связями.
Под продольным расслоением подразумевается разрушение по определенной
поверхности связей сдвига между двумя частями балки. Согласно расчетной
схеме балка моделируется сопряжением m сегментов в виде составных (по
А.Р. Ржаницыну) стержней длиной l i c разрушенными связями сдвига и полностью сохранившимися поперечными связями. Вводятся m локальных координат xi i  1,2,..m.
Далее рассматривается i  й сегмент балки. На рисунке 2 показана расчетная схема цельного сегмента балки. Цельный сегмент представляется состоящим из двух частей: верхней  j  1 и нижней  j  2 . Разделение на части проводится по слою, находящемуся на расстоянии nh от нейтрального слоя, где параметр n изменяется от 
1
2
до
1
2
.Статическое состояние этих двух частей сег-
мента эквивалентно состоянию цельного сегмента.
Рисунок 2 – Расчетная модель цельного i -го сегмента балки
Для описания напряженно-деформированного состояния частей балки рассматривается их равновесие при действии на них заданных усилий, включая
усилия, действующие со стороны прилегающей части.
Предполагается, что связи, соединяющие обе части балки, равномерно распределены вдоль стержня, а касательные напряжения  xy , возникающие в слоях
параллельных нейтральному, распределены равномерно по ширине b прямоугольного поперечного сечения:
 xy   yx 
где

Q( x)  h 2
2 ,

y
1 
2I z  4

5

Q  x   q l  x  8

(1)

перерезывающая сила в сечении x;
Iz 
bh3
12
– осевой момент
10



 2 2 
инерции поперечного сечения; y1  nh n    1 , 1   – расстояние до произвольного
слоя от нейтрального. Интенсивность распределенной контактной нагрузки
между двумя частями (1 и 2) балки, обусловленной поперечными связями между частями, обозначена p  px . Обрыв связей сдвига означает исчезновение из
расчетной схемы (рисунок 2) касательных напряжений  yx x    xy x  при сохранении остальных нагрузок на каждую из частей.
Анализ напряженного состояния квазистатически расслоившейся балки показывает существенную трансформацию картины напряжений по сравнению с
распределением напряжений по сечению цельной балки (рисунок 3). Так,
наибольшее растягивающее напряжение в цельной балке развивается в заделке
верхнего волокна (точка A ), наименьшее – в нейтральном слое. При полном
расслоении по нейтральному слою наибольшее напряжение в точке A увеличивается вдвое и такое же напряжение развивается в верхнем волокне нижней
части. При полном расслоении выше нейтрального слоя напряжение в точке A ,
монотонно уменьшаясь, стремится к нулю, а напряжение в верхнем волокне
нижней части монотонно уменьшается до 0,75. При расслоении ниже нейтрального слоя напряжение в точке A монотонно уменьшаются до величины 0,75.
Рисунок 3 – Эпюры нормальных напряжений в сечении x=0 при различных
уровнях расслоения
Далее формируется математическая модель динамических процессов в i  м
сегменте балки, инициируемых внезапным образованием локальных дефектов в
виде продольного расслоения (трещины):
11
 4 wi
 4
 ri4
 2 wi
 qi , где w  wi ;    t ;   x ;
i L
0
2
L

3
1
 I  bh
2
I i  I i1  I i 2  I 0   3ni  ; 0
12
4

; L  l1  l2  ... 
I
1
ri4  0 
1
Ii
 3ni2
4
qL3
; qi  EI ;
i
m
 li , где m - число участков.
i 1
w
 0.
Начальные условия принимаются в виде: w ( ,0)  wст , 
 ,0
Дифференциальное уравнение для форм собственных изгибных колебаний:
WiIV  ki4Wi  0 , где ki  ri k ;
(3)
k4 
 2 AL4
EI
-(цельный стержень), k 

RC
- волновое число, C 
E

,
R
1
L2
I
A
.
Общее решение уравнения собственных колебаний после разделения переменных принимает вид:
Wi  Di1 cos kii  Di 2 sin kii  Di 3chkii  Di 4 shki i .
(4)
Вводится матричная запись решения (4): Yi  Wi ,Wi,Wi ,WiT - вектор состояния в произвольном сечении  ; Di  Di1, Di2 , Di3, Di4 T - вектор постоянных интегрирования, матрица U i :
  cos k i i
sin ki i
chki i
shk i i 


  k sin k 
k
cos
k

k
shk

k
chk

i
i i
i
i i
i i i i i i 
U i  i ,     2
 k cos ki i  ki2 sin ki i ki2 chki i ki2 shk i i  .
 i

3 cos k 
3 shk 
3chk  
 k 3 sin ki i

k
k
k
i i i i i i i i
i
 i
Тогда Yi  Ui i , Di .
Постоянные интегрирования D in
(5)
n  1  4 выражаются через начальные па-
раметры. Тогда вектор состояния Yi также выражается через начальные параметры Yi 0 посредством матрицы влияния Vi  i  :
Yi  Vi  i Yi 0 ,
 
где матрица Vi  i  имеет вид:


 K 4 ki  i

 K 4K k 
Vi i    i4 1 i i
 K i K 2 ki  i
 4
 K i K 3 ki  i






K 3 kii 
K 2 kii 
K i K1 kii 
K 4 kii 
K 4 kii 
4
K 3 kii 
K1 kii  
K 2 kii  ,
K 3 kii 




(6)
где K j k   j  1  4 - функции Кры-
K i K 2 kii  K i K1 kii  K 4 kii 
4
4
лова.
Таким образом, для балки, состоящей из одного сегмента, соотношения для
вектора состояния в конце сегмента в развернутом виде следующие:
   K4 4 1 
    ki K1 1 
  ki4 K 2 1 
  k 4 K3  




 W 1

 W  1
 W  1
 W  

1
 i
1
 1
K 4  
1
4
k K1  
i
1
4
k K 2  
i
1
K3 
 1
K 3  
1
K 4  
1
4
k K1  
i
1
K2 
12
 
 
 
 1
K1   W
1  10 


K2   W  ,
1  10 
  
K 3   W10
1 
 
K 4   W10

где 1  k1l1 .
Учитывая граничные условия для балки, левый конец которой защемлен, а
правый шарнирно оперт:
(7)
W1 0   W10   W1 l1   W1l1   0 ,
получим систему однородных алгебраических уравнений относительно W10 и
W  K    W10 K1 1   0 .
W10 :  10 2 1
W10 K 4 1   W10 K 3 1   0
Условием существования ненулевых решений этой системы является равенство нулю ее определителя: K 2 1  K1 1   0 .
K 4 1  K 3 1 
Таким образом, частотное уравнение для балки, состоящей из одного сегмента, имеет вид:
tg 1   th1   0
(8)
На рисунке 4 приведены графики зависимости первой и второй частоты от
уровня полного расслоения сегмента.
а)
б)
Рисунок 4 –Зависимость частот собственных изгибных колебаний балки от
уровня полного расслоения балки: а) собственная частота; б) вторая частота
Решение неоднородного уравнения (2) представляем в виде разложения по
формам собственных колебаний W  Wi   с коэффициентами в виде функций
времени Qi  Qi   :

wi   Qi  Wi  ;
(9)
 1
 - номер формы колебаний с частотой  (   1,2,... , i  1,2,...m ); Wi - форма
собственных изгибных колебаний i - го участка по  частоте.
В итоге функции прогибов принимают вид:



wi   C1i sin k2  C2i cos k2 Wi   .
 1
(10)
13
Из начального условия следует, что C1i  0 .
Дважды дифференцируя функцию прогибов по  , получим функцию без2

размерных изгибающих моментов:  wi   C2i cosk2Wi   .
2

Напряжение в произвольном сечении
определяется из зависимости:
  , , y   y
 2 wi
 2
.
 1

в произвольный момент времени 
(11)
Расчеты показывают, что максимальное напряжение зависит от уровня
расслоения балки. Сравнение наибольших напряжений в конструкции, расслоившейся на две части квазистатическим и динамическим путем на уровнях n
в характерных точках, приведены на рисунке 5, а-г.
а)
б)
в)
г)
Рисунок 5. – Графики квазистатического и максимального динамического
напряжений при различных уровнях расслоения (параметр n): а) в точке A; б) в
точке B; в) в точке C; г) в точке D
Влияние внезапного полного расслоения сегмента на приращение напряжения можно оценить безразмерными коэффициентами:
14
в точке А
в точке B
 стmax 0  0,75
 квmax (0)
K1 
K2 
 стmax (0)
 динmax (0)

 стmax (0)
K3 
 динmax
 квазmax
1,6
 2,13
0,75


5
8
5
 
8
 стmax    0,42
K1 
6,39
 8,52
0,75
K2 
6,39
 3,99
1,6
 квmax
 стmax

5
 
8
0,9
 2,14
0,42
5
 8  3,68

 8,76
0,42
5
 
8
 динmax  
 стmax
K3 
 динmax
 квазmax

3,68
 4,08
0,9
Анализируя численные результаты по этому разделу, отметим, что динамические приращения напряжений при внезапном расслоении значительные. Получены зависимости между параметрами повреждения и уровнями приращений
в ряде характерных точек рассмотренного стержня при трех состояниях: исходном неповрежденном, поврежденном квазистатически и поврежденном мгновенно – их отношение в примерной пропорции 1:4:8.
В третьей главе метод анализа напряженно-деформированного состояния
нагруженной балки, состоящей из одного сегмента, примененный во второй
главе, распространяется на исследование трансформации напряжения в нагруженной балке, состоящей из нескольких сопрягаемых сегментов (рисунок 1).
Условия сопряжения двух соседних ( i -го и i  1 ) сегментов имеют вид:
Wi li  Wi 1 0 , Wili   Wi1 0 , I1Wili   I 2Wi 10 , I1Wili   I 2Wi 1 0 .
(12)
Для двух граничных сегментов формулируются дополнительные ограничения. Для балки (рисунок 1), левый конец которой защемлен, а правый шарнирно оперт, накладываются условия:
W10  W10  Wm lm  Wm lm  0 .
(13)
Уравнения (11) сопряжения сегментов (i-го и i+1) можно представить в
матричной форме TiYi 0  Ti 1Yi 10 , где

 
 
 
 
 K 4 i

 K 4K 
i 1 i
Ti   4
K K 
4 4
 i 2 i
 K 4 K 
 i 3 i
 
 
K 3 i 
K 2 i 
K i K1 i 
K 4 i 
K 4 i 
4
K 3 i 
K1 i 

K 2 i 
K 3 i 
 V i 
.
K i K 2 i  K i K1 i  K 4 i 
4
4
Вектор состояния для конца i-го сегмента, является вектором начальных параметров для (i+1) сегмента:
Yil  Yi 10  V ηi Yi0
(14)
i
Соотношение (14) дает связь между константами (начальными параметрами) (i+1) и i-го сегментов. Вектор состояния в конце m - го сегмента, т.е. в
15
конце
стержня
ξ m  lm ,
Yml  V ηm Ym 0  V ηm V ηm 1 ...V η1 Y10  S ml Y10 ,
m
Sml  V ηi  - матрица влияния начального сечения ξ1  0 на конечное
m
m
где
m
i 1
ξm  lm .
Для балки, состоящей из трех сегментов, частотное уравнение имеет вид:
T 0 ,
(15)
 b11

где T   b21
 a11
a
 21
b12
S 24
b22
 S 23
a12
c11
a 22
c 21
 S14 

S13 
, a11 S13S24  S14S23 S31  S23S34  S24S33 S11  S14S33  S13S34 S21 .
c12 
c 22 
В случае внезапного расслоения балки начинается динамический процесс.
На каждом участке уравнение изгибных колебаний имеет вид:
2
 4 wi
4  wi
(16)
 ri
  qi ,
 4
 2
qL3
3
m
где qi  EI ; I i  I i1  I i 2  I 0  1  3ni2  ; I 0  bh ; L  l1  l2  ...   li , где m - число
i
12
i 1
4

участков.
Решения уравнений (16) для каждого участка ищем в виде:

(17)
wi   Qi  Wi  ,
 1
Подставляя (17) в (16) и учитывая равенство WiIV  ki4Wi , k i  kri , получим для
определения функций Qi   дифференциального уравнения:
d 2Qi
 k 4Qi  Ri , где
2
d
(18)
i
1

  qi   3ni2 Wi d
l
4
; li  i .

Ri  0  l
L
i
2
 Wi d
l
0
Решения уравнений (18):
R
Qi    C1i sin k  C2i cos k  i4
k
2
2
, тогда wi   C1i sin k2  C2i cos k2 Wi   .

 1
Вектор состояния на i -ом участке Yi i   Vi i Yi 0 или в развернутом виде:
K3
K2
K1 Wi 0 
Wi  i   K 4 ki i 

  4


K3
K 2 Wi0  .
Wi i   k i K1 ki i  K 4
W     k 4 K k   k 4 K
K4
K 3 Wi0 
i
1
 i i   i4 2 i i


4
4
Wi i   k i K 3 ki i  ki K 2 k i K1 K 4 Wi0 
Связь между начальными параметрами соседних участков i  1 и i :
Yi 1,0  V i Yi ,0 , i  ki li .
Тогда на первом участке: W1 1   K 4 k11 W10  K 3 k11 W10 , 1  k1l1 ;
на втором участке Y2  2   V2 k2 2 V 1 Y10 ,  2  k 2l2 ;
на третьем участке Y3 3   V3 k33 V 2 V 1 Y10 .
16
Обозначим произведения функциональных и числовых матриц:
V1 k11   1 1  ; V2 k 2 2 V 1    2  2  ; V3 k3 3 V  2 V 1    3  3 
Элементы этих матриц, например:
1
 11
k   121 k11  131 k11  141 k11  
 1 1 1
1
1
1
1
1
  21 k11   22 k11   23 k11   24 k11  ,т.е. 11 k11   K 4 k11  ; 12 k11   K 3 k11  .
1 1    1
  1   1   1  
  31 k11  32 k11  33 k11  34 k11 
  1 k    1 k    1 k    1 k  
42 1 1
43 1 1
44 1 1 
 41 1 1
1
1
Тогда,
W2   213 k  2 W0  142 k  2 W0 ;
k 1 W0 ;
W1   13 k 1 W0  14
W3   313 k  3 W0  143 k  3 W0 .
Учитывая связь между начальными параметрами W0 и W0 при  3  l3 , W3  0
получим:  313 k  3 W0  143 k  3 W0 0 , отсюда
Значит, W1  W 13 k 1   133 k l3 14 k 1  .
W0 
133 k l3 
W0 .
 14 k l3 
3
3

14 k l3 

Постоянные C1i и C 2 i определяем из начальных условий (24).
Безразмерные напряжения в произвольном сечении в момент времени 
определяются из зависимости:
  , , y   y
 2 wi
.
 2
(19)
На рисунке 6 показаны графики временной зависимости динамических
напряжений в характерных точках в балке с продольными расслоениями на
уровнях (n1  0,4) , (n2  0) , (n3  0,4) .
а)
б)
в)
г)
Рисунок 6 .– Графики временной зависимости динамических напряжений
в характерных точках в балке с продольными расслоениями на уровнях
(n1  0,4) , (n 2  0) , (n3  0,4) : а) в точке А; б) в точке B; в) в точке C; г) в точке D
17
Аналогичным образом, рассматривая различные комбинации сопряжения
сегментов с расслоениями на разных уровнях, можно моделировать изгиб балки
со сложной конфигурацией продольной трещины.
В четвертой главе диссертации исследуются параметры напряженнодеформированного состояния, возникающего в составной балке, жестко заделанной одним концом и шарнирно опертой другим, при внезапном преобразовании структуры несущей конструкции – продольном расслоении по нейтральному слою различной локализации и длины расслоившегося участка. В результате внезапного частичного или полного обрыва сдвиговых связей между слоями балки образуется расслоение (продольная трещина). Всякое внезапное изменение нагрузок сопровождается динамическими процессами. Возникают изгибные колебания, части стержня приходят в движение. На рисунке 7 показаны
конструктивная схема составного стержня и нагрузки, действующие на верхнюю часть составной балки при частичном расслоении, происходящем справа
налево.
а)
б)
в)
Рисунок 7 – Фрагмент исследуемой
пространственной системы: а) – конструктивная схема; б) – конструктивная
схема составного стержня; в) – нагрузки,
действующие на верхнюю часть составной балки при частичном расслоении,
происходящем справа налево
Для описания напряженно-деформированного состояния одной части балки,
например, верхней, рассматривается ее равновесие при действии на нее заданных усилий, включая усилия, передающиеся на нее со стороны отброшенной
нижней части. Заменим действие распределенных по площади bl касательных
напряжений продольной силой N и изгибающим моментом M  :
L
3 ql 2
N1    yxmax bdx 
16 h
0
; M1  N1 h  3 ql 2 .
4
64
(20)
Таким образом, работа верхней части совместно с нижней (в составе монолитной балки) эквивалентна работе изолированной верхней части, нагруженной
помимо внешних сил распределенной по нижней поверхности продольной силой интенсивностью  xymax b .
Пусть на участке x1  x2 x1  x2 , x1, x2  X  балка расслоилась. Предполагается,
что связи сдвига между двумя одинаковыми (верхней и нижней) частями
18
нагруженной балки постепенно обрываются на некотором промежутке x1  x2
x1  x2 , x1, x2  0, l  , что изменяет картину напряженно-деформированного состояния. Равнодействующая касательных напряжений, распределенных по этому
участку, обнуляется и на концевом сечении x  l (  1) остаются действующими сила N1 и момент M 1 :
N1 
где
3 2
3 ql 2
ql C 1 ,  2  ,
C (1 , 2 ) , M 1 
64
16 h
2
2
 5
 5
 
обозначено C 1, 2  1  4  1      2   –
 8
 
 8


(21)
функция, характеризующая дли-
ну и локализацию участка расслоения. Рассматривается два варианта квазистатического расслоения балки: расслоение балки по нейтральному слою от заделки и расслоение от опоры (рисунок 8).
а)
б)
Рисунок 8 – Зависимость максимального растягивающего напряжения: а) расслоение увеличивается справа; б) расслоение увеличивается слева
Далее формируется математическая модель движения рассматриваемой
конструкции, инициированного внезапным расслоением балки на участке
x1  x2 . После внезапного исчезновения части продольной силы N1 начинается
динамический процесс, описываемый дифференциальным уравнением изгибных колебаний, полученным с учетом продольной силы N1 :
4 w
2w 2w
q


2

 2  ,
1
4
2



2
(22)
x
w
где введены безразмерные переменные и параметры:   l , w  - прогиб,
l
h
b 
2
I1   
12
3
N l
ql
bh ,
- нагрузка, N1  1 , 0  12 EI1 , A1 
.
2
l A1
2EI1
EI1
Здесь обозначены:  , E - плотность и модуль упругости материала. Уравнение
(3) должно удовлетворять граничным (23) и начальным (24) условиям:
2w
(23)
w (0, )  0 ; w
 M 1 ;
 0 ; w (1, )  0 ;
 0,
 2 1,
  0t - время, q 
3
w ( ,0)  wст , w
0,
  ,0
2
(24)
19
где обозначено М 1 
М 1
Е1
и wст ( ) - исходный статический прогиб средней ли-
нии (совпадающей с осью   )
Решение уравнения (22) как уравнения с неоднородным граничным условием (23б) представляли суммой двух функций:
w ( , )  w1 ( , )  w2 ( ) .
(25)
Одну из функций, а именно w2 ( ) , назначали так, чтобы граничные условия
для другой функции w1 ( , ) были бы однородными. Этому требованию удовле
творяет функция: w2 ( )  M 1  2 (  1) .
(26)
4
При подстановке представления (25) в уравнение (22) при граничных условиях
(23), получили, с учетом (26), дифференциальное уравнение для функции
w1 ( , ) с соответствующими однородными граничными условиями:
 4 w1
 2 w1  2 w1

 21

 f ( ) ,
 4
 2
 2
(27)


где обозначено f ( )  q  3 P C 2 1, 2 3  1  1 ,
(28)
2  32 Pкр

3 ql
- комплексный параметр, характеризующий общую нагрузку
16 h
2
l
на балку (ql) и ее относительную длину   ; Pkp  2 EI2 1min - критическая сила
l
h
здесь Р 
2
2
для стержня, один конец которого защемлен, а другой шарнирно оперт.
Частоты  n и формы
 1 ( )
W ( )  W0 L4 ( )  W0L3 ( )  W0L2 ( )  W0L
(29)
собственных изгибных колебаний стержня получены из решений, соответственно, трансцендентного частотного уравнения tg  th ,
где
1
1
1

2
1

2




2
2
2
2

 ,



;
   P 

P
 P

P 
  
C  2 

    
C  2 

P
P 
P 

   Pkp 
kp 
kp
   kp 













и однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению
(27), и удовлетворяющие граничным условиям (23). На рисунке 9 приведены
значения основной частоты 1 для схематично изображенных расслоений различной длины и локализации при
K  0,5 ,
где
K
P
Pкр
.
20
Рисунок 9 – Эпюры изменения основной частоты 1 в зависимости от длины
участка расслоения (при K  0,5 ): а) 1  0,2  var ; б) 1  var,2 1
Как показывают результаты расчетов, с увеличением длины расслоившегося
участка частоты изменяются немонотонно. Теперь решение неоднородного
уравнения (27) для функции w1 ( , ) представляем в виде разложения по формам собственных колебаний, которое ищем в виде W  Wn   с коэффициентами
в виде функций времени
Qn  Qn   :

w1   Qn ( )Wn ( ) .
n1
(30)
При подстановке (30) в уравнение (27), используя связь WnIV  2 N1Wn  n2Wn
и, учитывая ортогональность форм собственных колебаний Wn  Wn ( ) , получили для определения функций Qn ( ) дифференциальное уравнение:
1
d 2 Qn
 f ( )Wn ( )d
2


Q

R
,
где
0
n
n
n
Rn 
d 2
1 2
(31)
 Wn ( )d
0
Общее решение неоднородного уравнения (31) нашли методом вариации
произвольных постоянных:
(32)
Qn ( )  C1n sin(n )  C2n cos(n )  Rn ,
n2
где Cin (i  1,2) - постоянные интегрирования, которые определили из начальных
условий (24). Подставляя функцию (32) в (30) и учитывая (26), получим функцию прогибов балки в ходе динамического процесса, вызванного внезапно образовавшимся расслоением:


w ( , )   (C1n sin n  C2n cosn  Rn2 )Wn ( )  M 1  2 ( 1) .
4
n
n 1
(33)
После подстановки Cin (i  1,2) функция прогибов (33) принимает вид:
 
   W ( )
1
3

w( , )    Bn 
C (1,  2 ) Dn  cos n  En sin 2 n  n

q
256
2  Gn

n  1 
3

C (1,  2 ) 2 (  1)
256
,
(34)
21
1
1
1
0 q
0
0
где обозначено Bn   wстWn ( )d ; Dn    2 (1  )Wn ( )d ; Gn  Wn2 ( )d ;
1

En  1 2   3 P C 2 (1, 2 )(3 1) 1Wn ( )d .

2 0 32 Pкр

Напряжение в произвольном сечении  в произвольный момент времени
 определяется из зависимости
 

   W ( ) 
3
 3
C (1,  2 )(3  1)   ( Bn 
C (1,  2 ) Dn ) cosn  En sin 2 n  n    N1 ,
256
2  Gn 

n 1 
128

 ( , , y )  y 
(35)
y
- относительное расстояние произвольного волокна от нейтрального
h
1
слоя;  
C (1 ,  2 ) - безразмерное напряжение от продольной силы N1 ;
где y 
N1
256
l - безразмерное суммарное напряжение. В результате использования по
Ehq
лученных соотношений для напряжений получены следующие данные:
 при полном расслоении балки:
– наибольшее растягивающие динамическое напряжение развивается в сечении заделки   0 в крайнем верхнем волокне y  1 в момент времени
4

  0,625 и равно  max  5,9 ; наибольшее напряжение при квазистатическом
дин
полном расслоении развивается также в заделке  квmax  1,49 .
 при расслоении балки от опоры:

– наибольшее значение динамическое растягивающее напряжение  max
 7,8
дин
принимает при расслоении 1  0,625 ,  2  1 C  1,563 в момент времени   0,625
в сечении заделки   0 в крайнем верхнем волокне y  ; при увеличении
1
4
расслоения напряжение изменяется от   0,75 (цельная балка) до   5,9 (полное расслоение);
 при расслоении балки от заделки:

– наибольшее значение динамическое растягивающее напряжение  max
 6,3
дин
принимает при расслоении 1  0,  2  0,625  C  0,563 в момент времени
  0,625 в сечении заделки   0 в крайнем верхнем волокне y 
1
; при увели4
чении расслоения напряжение изменяется от   0,75 (цельная балка) до   5,9
(полное расслоение) (рисунок 11).
22
Рисунок 10 – Графики временной за- Рисунок 11 – Графики квазистатическовисимости напряжений в сечение   0 го и динамического напряжений при
расслоении от левой заделки
при расслоении от левой заделки.
Влияние длины и локализации расслоившегося участка на напряженнодеформированное состояние балки можно оценить тремя безразмерными коэффициентами:
полное расслоение
расслоение от опоры
расслоение от заделки
 стmax  0,75
K1 
K2 
K3 
 кв max
 стmax
 динmax
 стmax
 динmax
 кв max

1,49
2
0,75

5,9
 7,8
0,75

5,9
 3,95
1,49
 стmax  0,75
 стmax  0,75
K1 
K2 
K3 
 кв max
 стmax
 динmax
 стmax
 динmax
 кв max
1,49
2
0,75
K1 
7,8
 10,4
0,75
K2 
7,8
 5,2
1,49
K3 



 кв max
 стmax
 динmax
 стmax
 динmax
 квmax

1,9
 2,5
0,75

6,3
 8,4
0,75

6,3
 3,31
1,9
Таким образом, в данной главе показано, что внезапное расслоение балки по
нейтральному слою, – приводит к значительным динамическим догружениям,
превышающим приращения напряжений в случае эволюционного, медленного
расслоения в 3-5 раз, что доказывает необходимость учета последствий такого
повреждения конструкции при проектировании и эксплуатации сооружения,
содержащего рассмотренный фрагмент. Предложенный подход позволяет решать задачи о структурных изменениях для составных стержней и пластин (по
А.Р. Ржаницыну).
Заключение содержит основные результаты и выводы:
– построена физическая и математическая модели переходных динамических процессов в нагруженных конструктивно нелинейных стержневых конструкциях, инициируемых внезапным образованием локальных дефектов в виде
продольного расслоения (трещины);
– разработан аналитический метод расчета частот и форм собственных изгибных колебаний стержней с дефектом в виде продольного расслоения;
– разработан метод расчета вынужденных изгибных колебаний стержней с
учетом внешних нагрузок и дефекта в виде продольного расслоения;
– разработан комплексный метод анализа напряженно-деформированного
состояния нагруженной стержневой системы в ходе динамического процесса,
инициируемого внезапным расслоением;
23
– проведена оценка квазистатических и динамических приращений деформаций и напряжений в рассматриваемой балке для различных вариантов локализации и длины участка расслоения.
Модели переходных динамических процессов, разработанные методы расчетов и полученные результаты, позволили проанализировать перераспределение напряжений в несущей балке, определить зависимости динамических характеристик балок – частот и форм собственных колебаний от параметров дефекта: его локализации и размеров, определить уровни и характер изменения во
времени квазистатических и динамических приращений напряжений как функции параметров дефекта. Полученные в диссертации результаты могут служить
частью базы данных по видам запроектных воздействий и их последствий для
стержневых систем.
Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России
1. Гордон, В.А. Перераспределение напряжений в нагруженной составной
балке при деградации связей сдвига /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова// Строительная механика и расчет сооружений. – 2010. – №4. – С.2-6 (0,32/0,16 п.л. автора).
2. Гордон, В.А. Математическое моделирование динамических процессов в
стержневых системах при внезапных изменениях их структуры /В.А. Гордон,
В.И. Брусова, Э.А. Кравцова, Т.В Потураева// Фундаментальные и прикладные
проблемы техники и технологии. – 2010.– №5/283–С.3-9(0,44/0,22 п.л. автора).
3. Гордон, В.А. Влияние продольного расслоения составного стержня на
частоты собственных изгибных колебаний /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова//
Строительная механика и расчет сооружений. – 2011. –№1. – C.19-24 (0,38 /
0,19 п.л. автора).
4. Гордон, В.А Зависимость распределения напряжений от уровня продольного расслоения в балке / В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Известия ЮгоЗападного государственного университета. – 2011. – №5/38. Ч.2. – C.250-253
(0,22 / 0,11 п.л. автора).
5. Гордон, В.А. Методика определения спектра частот изгибных колебаний
балки с разноуровневыми продольными расслоениями /В.А. Гордон, Э.А.
Кравцова // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии.
– 2012. – №2-5/292 – С.84-92 (0,52 / 0,26 п.л. автора).
6. Гордон, В.А. Перераспределение нормальных напряжений по высоте сечения балки при разноуровневом расслоении /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова
//Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Строительство и архитектура. 2013 Вып.31(50). Ч.2. С.303-307
(0,32 / 0,16 п.л. автора).
Другие публикации
7. Гордон, В.А. Анализ напряженного состояния составного стержня при
внезапных структурных преобразованиях /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова// Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Международной научной конференции, 22-26 ноября 2010г, Тула/. – Тула: Изд-во
ТулГУ, 2010. – С.132-136 (0,32 / 0,16 п.л. автора).
24
8. Гордон, В.А. Трансформация напряженного состояния составного стержня при квазистатическом расслоении /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: матер. VII Международного научного симпозиума, 16-17 декабря
2010г, Тверь/– Тверь: Изд-во ТГТУ, 2011. – С.91-95 (0,34 / 0,17 п.л. автора).
9. Гордон, В.А Оценка уровня динамических догружений составного
стержня при его внезапном расслоении/В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Вестник
центрального регионального отделения Российской академии архитектуры и
строительных наук сборник научных трудов/ РААСН, ВГАСУ. – Воронеж,
2011, – №10–C.124-130 (0,44 / 0,22 п.л. автора).
10. Гордон, В.А Влияние прогрессирующего расслоения на напряженное состояние составного стержня /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Вестник отделения
строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук
сборник научных трудов/ РААСН, ВГАСУ. – Москва-Орел-Курск, 2011, –
№15–C.60-64 (0,32 / 0,16 п.л. автора).
11. Гордон, В.А. Влияние продольных расслоений на спектр частот изгибных
колебаний балки /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Вибрацii в техницi та технологiях: материалы XI Международной научно-технической конференции, 23-25
апреля 2012г., Полтава – Винница: Изд-во ВНАУ, 2012– №2/66 – С.21-25 (0,34 /
0,17 п.л. автора).
12. Гордон, В.А. Оценка влияния продольных разноуровневых расслоений
на частоты изгибных колебаний балки /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова, Е.В. Брума // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы
Международной научной конференции, 17-21 сентября 2012г, Тула/. – Тула:
Изд-во ТулГУ, 2012. – С.176-184 (0,53 / 0,18 п.л. автора).
13. Гордон, В.А Динамические приращения напряжений в балке при внезапном продольном расслоении /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Управляемые
вибрационные технологии и машины: сборник научных статей в 2ч., Ч.1/ ЮгоЗападный государственный университетт. Курск, 2012, –C.68-75 (0,50 / 0,25 п.л.
автора).
14. Гордон, В.А Влияние расслоения балки на ее напряженнодеформированное состояние /В.А. Гордон, Э.А. Кравцова // Вестник отделения
строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук
сборник научных трудов/ РААСН, ВГАСУ. – Тамбов-Воронеж, 2012. – №11.–
C.95-99 (0,34 / 0,17 п.л. автора).
Подписано в печать 22.03.2013 г.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 1,00.
Тираж 100 экз. Заказ №_____
------------------------------------------------------------------------------------Типография ФГБОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК»
302030, г. Орел, ул. Московская, 65.