Хорошева Кс._3е_рук.Савельева Л.Б._ГБОУ Гимназия №1551_г

Департамент Образования города Москвы
Северо-Западное окружное управление образования
Гимназия №1551
Тема проекта
«Математика в музыке, музыка в математике»
Автор
Хорошева Ксения Сергеевна, 3 «Е» класс.
Руководитель работы Савельева Лилия Борисовна, классный руководитель.
Консультанты
Павленко Тамара Борисовна, педагог музыкальной школы им.
Оборина.
Гулимова Людмила Петровна, педагог – теоретик музыкальной
школы им. Оборина.
Хорошева Наталия Анатольевна, родитель.
Москва
2015 год
АННОТАЦИЯ
Тема проекта «Математика в музыке, музыка в математике».
Автор Хорошева Ксения Сергеевна, 3 «Е» класс ГБОУ Гимназия № 1551
Руководитель работы Савельева Лилия Борисовна, классный руководитель.
Консультанты
Павленко Тамара Борисовна, педагог музыкальной школы им.
Оборина.
Гулимова Людмила Петровна, педагог – теоретик музыкальной
школы им. Оборина.
Хорошева Наталия Анатольевна, родитель.
Цель данной работы: выявить общие закономерности и установить
связь между математикой и музыкой.
Задачи работы:
1. Развитие логического мышления, воображения, творческих способностей.
2. Обнаружить и показать взаимосвязь между математикой и музыкой.
Результат исследования: доказать наличие присутствия математики в
музыке и музыки в математике.
2
Содержание
стр.
Введение.
4
Основная часть:
6
Глава 1. Взаимосвязь математики и музыки.
6
1.1. История вопроса.
6
1.2. Нотный стан и десятичная система счисления.
7
1.3. Аппликатура.
8
1.4. Столбица.
9
1.5. Ритм в математике и ритм в музыке.
9
1.6. Длительности и дроби.
10
1.7. Уменьшение и увеличение в математике и музыке.
11
1.8. Противоположности.
11
1.9. Параллели.
12
Глава 2 Социологический опрос.
13
Глава 3 Практическая часть.
14
Заключение.
15
Список литературных источников.
17
Приложение.
18
3
Введение
С давних пор до нас дошел афоризм, что математика и музыка – сестры.
Мировое искусство во многом обязано математике. Пример этому –
многочисленные древнейшие сооружения, кремли, башни, дворцы и другие
произведения архитектуры.
Я решила попробовать найти общие точки соприкосновения точной науки
математики и прекрасного, изящного искусства – музыки.
Проблема: установить связь между наукой, пользующейся строгой логикой
доказательств и музыкой – одним из прекраснейших видов искусств.
Объект исследования: математика и музыка.
Предмет исследования: математические и музыкальные термины.
Гипотеза: предположим, что существует взаимосвязь между математикой и
музыкой.
Цель исследования: выявить общие закономерности и установить связь
между математикой и музыкой.
Задачи:
 Развить логическое мышление, воображение, творческие способности.
 Обнаружить и показать взаимосвязь между математикой и музыкой.
 Сформировать эстетическое мировоззрение.
Методы исследования:
 изучение литературных источников;
 изучение интернет ресурсов;
 социологический опрос;
 эксперимент;
 наблюдение.
Значимость и прикладная ценность работы: найти взаимосвязь между
математикой и музыкой, показать метапредметные связи.
4
Ожидаемый результат:
 найду элементы математики в музыке;
 найду элементы музыки в математике;
 покажу их взаимосвязь.
План проекта:
1.
Изучение интернет ресурсов и литературных источников по данной
теме.
2.
Проведение опроса.
3.
Постановка эксперимента.
4.
Оформление пояснительной записки.
5.
Разработка презентации.
5
Основная часть
Глава 1.
Взаимосвязь математики и музыки.
1.1. История вопроса.
Музыка и математика – это два совершенно разных, на первый взгляд,
полюса человеческой культуры. Слушая музыку, человек погружается в
безграничный мир различных звуков, которые помогают достичь внутренней
гармонии и отвлечься от собственных мыслей. Решая математические уравнения
или задачи, человек наоборот полностью погружается в строго обусловленный
мир чисел. [4], [6]
Но вряд ли кто-то хоть раз задумывался о том, что два таких разных мира
могут быть тесно связаны друг с другом. Изучая музыку, я обратила внимание,
что её гармония чем-то напоминает гармонию математики. Какая же связь может
быть между математикой – мудрой царицей всех наук и музыкой? Можно ли, как
сказал А.С. Пушкин в своём произведении «Моцарт и Сальери», «проверить
алгеброй гармонию»? Есть ли что-нибудь общее между столь возвышенной и
таинственой музыкой и сухой математикой?
Ещё немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц сказал: «Музыка
есть таинственная арифметика души. Она вычисляет, сама того не подозревая». А
ведь действительно, оказывается, что в музыке незримо, но повсеместно
присутствует математика: звуковые частоты представляют собой геометрическую
прогрессию, а музыкальный ритм вовсе делит время на единицы, между
которыми устанавливаются числовые связи. Насколько сильно музыка зависит от
математики, может ли она без нее существовать? [5]
Ещё в древнем мире учёные – философы считали, что музыка без
математики не существует. Путём долгих и сложных исследований, с помощью
математических законов им удалось это доказать.
6
Современным
математизации
примером
музыки
служат
исследования основателя «музыкальной
математики»
Шенберга.
композитора
Он
собственный
Арнольда
сформулировал
метод
свой
композиции,
основанный на осознании того факта,
что в процессе сочинении музыки автор
стремится избежать ранее использованных элементов. Этот метод, а также идея
частой смены тональности послужили появлению теории сочинения музыки на
основе двенадцати
тонов
(додекафонии).
Композиторы
не
пользовались
математическими терминами, но математики заметят, что для сочинения музыки
можно использовать методы и алгоритмы алгебры. [6], [7]
1.2. Нотный стан и десятичная система счисления.
С древних времён для подсчёта человек использовал пальцы на руках.
Нотный стан повторил эту систему. Он включает по пять линеек для правой и
левой руки. Уже этот пример показывает взаимосвязь математики и музыки.[1],
[2], [6]
7
1.3. Аппликатура.
Аппликату́ра — способ переборки пальцев на музыкальном инструменте;
расстановка, постановка пальцев. Также означает обозначение этой расстановки
в нотах с помощью цифр. Нумерация пальцев на клавишных инструментах
начинается с большого пальца (задействует все 5 пальцев руки).
Фортепиано, клавесин, челеста, баян, орган, синтезатор и т. п. [1], [4], [12]

большой палец — «1»

указательный палец — «2»

средний палец — «3»

безымянный палец — «4»

мизинец — «5»
8
1.4. Столбица.
Ручная двусторонняя столбица прочно утвердилась
как
одно
из
эффективных
наглядных
пособий
в
воспитании ладового слуха почти на всех уровнях
музыкального обучения. [1], [8]
1.5. Ритм в математике и ритм в музыке.
Ритм – это чередование каких1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
либо
элементов
(например,
или
речевых),
звуковых
происходящее
с
определенной
последовательностью, частотой.
Ритмы можно обнаружить и
среди чисел. Посмотрите на этот
рисунок. Первые 100 натуральных
чисел расположены в виде изящной
правильной
фигуры
–
так
называемого Пифагорова квадрата.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
У чисел, стоящих в одной строке
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
совпадают первые цифры, у чисел,
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
стоящих
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
совпадают вторые цифры.
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Эти таблицы представляют собой
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Пифагоров
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
отмечены все числа, кратные 2 и 3.
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
Если ещё раз вглядимся в таблицы,
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
то
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
9
в
заметим
одном
квадрат,
в
них
столбце,
в
котором
правильный
равномерный ритм. В этой таблице
можно найти множество скрытых
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ритмов. Это выглядит не только
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
красиво.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
записывать числа с нуля и выделять
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
числа кратные трём, то вот что у нас
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
получится: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
10… Мы пришли к правильному
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
музыкальному
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
как музыкальный размер 3/4. [2], [5],
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
[6]
Если
мы
ритму,
начнём
звучащему
1.6. Длительности и дроби.
Самое
известное
математики
- целая
в
музыке
длительности
- половинная
- четвертная
применение
это
то,
музыкальных
что
нот
заимствовали свои названия у дробей.
Мы
видим,
получаются
так
что
же
длительности
как
дроби:
они
возникают при делении целой на равные
- восьмая
доли.
- шестнадцатая
Поэтому
подсчитывать
длительность
как
дробные
можно
числа,
например: Целая нота – 1, половинная –
1/2, четвертная – 1/4, восьмая – 1/8, шестнадцатая – 1/16. Таким образом
в цифровом выражении выглядит так: 1 = 1/4 + 1/4 + 1/2.
в математике выглядит как 1/4 = 1/8 + 2/16. [5], [10]
10
1.7. Уменьшение и увеличение в математике и музыке.
В математике для увеличения числа на несколько единиц используется знак
«+»: 27 + 1 = 28. В музыке также существует знак увеличения, обозначающий
повышение стоящей справа от него ноты на один полутон. Диез обозначается
решёткой . Иногда существует необходимость повысить ноту на целый тон; для
этого применяется дубль-диез, имеющий вид x-образного крестика с маленькими
квадратами на концах ( ).
В математике для уменьшения числа на несколько единиц используется
знак « - »: 28 – 1 = 27. В музыке также существует знак уменьшения,
обозначающий понижение стоящей справа от него ноты на один полутон.
Одинарный бемоль обозначается символом ♭ , похожим на строчную латинскую
букву b, немного вытянутую снизу. Иногда существует необходимость понизить
ноту на целый тон; для этого применяется дубль-бемоль ♭ ♭ , образующийся либо
просто выписыванием двух бемолей подряд, либо ещё и взятием их под одно
ребро (горизонтальную черту).
[2], [4], [9], [11]
1.8. Противоположности.
В математике существуют противоположности:

Плюс – минус.

Сложение – вычитание.

Умножение – деление.

Четное число – нечетное число.

Больше – меньше.

Параллельно – перпендикулярно.

Прямая – кривая.
11
В музыке также существуют противоположности:

Медленно-быстро.

Высоко – низко.

Громко – тихо.

Длинно – коротко.

Многоголосие – одноголосие.

Грустно – весело.

Протяжно – отрывисто. [1], [4]
1.9. Параллели.
Даже ученику начальной школы из уроков математики известно о
существовании параллельных прямых, которые никогда не пересекаются. Слово
“параллельный” происходит от греческого “параллелос” - идти рядом. От него
уже происходит знакомое нам слово “параллелепипед”. [3]
В музыке параллели встречаются в нотах. Прежде всего, это 5 прямых,
образующих нотный стан. Почему ноты приходится располагать на параллельных
прямых? Так ли необходима здесь параллельность? Ведь в древности музыканты
записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими знаками –
невмами, передававшими общее направление интонации, но не позволявшими
выразить длительность звучания или его изменение по высоте вверх или вниз.
Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему
требуется знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как
раз помогают параллельные линейки. [2]
Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней
форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы.
Параллели можно обнаружить и в самом звучании музыки. Например,
голоса поют одинаковую мелодию, только женский голос будет звучать в верхнем
регистре, а мужской - в нижнем, а звучат они параллельно. [6]
12
Глава 2
Социологический опрос.
Мною был проведён опрос 10-ти учеников ДМШ им. Оборина.
Вопрос. Существует ли связь музыки с
математикой?
Да 100%
Этот же вопрос был задан 10-ти ученикам гимназии 1551.
ДА
Варианты ответов
Да
Нет
Нет
13
Количество
3
7
Глава 3
Практическая часть.
В наше время не осталось ни одной сферы жизни, в которую человек бы не
впустил компьютер. Музыка не является исключением. Появляются программы, в
которых
реализованы
различные
алгоритмы
сочинения
(точнее
говоря,
формирования) музыки. Увлечённый музыкой математик Ларс Кидерман
разработал программу MusiNum (полное название The Music in the Numbers),
моделирующую сочинение музыки на основе фрактальных объектов. Существуют
компьютерные программы и для визуализации музыки. Одной из них я и
воспользовалась. Это программа Win Amp. При её
музыку (Этюд Черни) и математику. [13]
14
помощи я воссоединила
Заключение
Проделанная работа доставила мне огромное удовольствие. Я обнаружила
связь между математикой и музыкой. Музыка
математична, а математика музыкальна. И там и тут
господствует идея числа и отношения. Нет такой
области музыки, где числа не выступали бы
конечным способом описания происходящего: в
ладах есть определенное число ступеней, которые
характеризуются определенными зависимостями и
пропорциональными отношениями; ритм делит время
на единицы и устанавливает между ними числовые
связи; музыкальная форма основана на идее сходства
и различия. В математике красота и гармония ведут за
собой творческую мысль так же, как в музыке. В
математике
только
то
верно,
что
прекрасно.
При выполнении данного проекта я
достигла поставленных задач:
1.
Во время занятий музыкой я
развиваю воображение и творческие
способности.
2.
Я обнаружила и показала
взаимосвязь между математикой и музыкой.
3.
Провела социологический опрос о существовании связи музыки и
математики. Он показал, что ученики ДМШ на 100% уверены в этой связи, в
то время как не все ученики гимназии догадывались об этом.
4.
Научилась использовать программу Win Amp для визуализации
музыкального произведения.
15
В результате проделанной работы я обнаружила, что, занимаясь музыкой,
человек развивает и тренирует свои математические способности, значение
которых
в
наш
облагораживает
прагматический
эмоционально;
век
музыка
оспаривать
обогащает
невозможно.
Музыка
умственно;
музыка
способствует росту основных человеческих способностей — способности к
логическому мышлению и способности к овладению языком и речью. Музыка со
стороны психологических механизмов, ею управляющих, чрезвычайно близка
базовым интеллектуальным навыкам человека, которые во многом сложились
благодаря музыке и в недрах музицирования. Музыка способствует развитию
социально ценных качеств человека, делая его более либеральным и способным
воспринимать «чужое» как «свое». Огромно число выдающихся и просто
успешных людей, которые не стали музыкантами, но тем не менее любят музыку
и музицируют. Среди них короли и президенты, видные политики и бизнесмены,
известные художники и артисты. Многие авторитетные фирмы и компании, среди
которых Microsoft и крупные западные банки, предпочитают сотрудников с
музыкальным образованием. Они правы: музыка расширяет и усиливает все
духовные и интеллектуальные возможности человека. Музыка настолько
многогранна и требовательна ко всем человеческим качествам, что не может быть
музыканта, который бы не преуспел в любой сфере деятельности. Музыкант
означает лучший: самый дисциплинированный, самый быстрый, самый четкий,
самый мыслящий. Широкое внедрение музыкального образования — в детском
саду, в школе, в вузе и на любом уровне — позволит каждому человеку
максимально раскрыть и умножить все свои способности. [3], [6], [14]
16
Список литературных источников
1. Баева Н. и Зебряк Т. «Сольфеджио» - М.: «Кифара», 2012.
2. Калинина Г.Ф. «Сольфеджио» - М.: «Калинина», 2014.
3. Ожегов С.И. «Толковый словарь русского языка.» – М.: «Азъ», 1995.
4. Панова Н.В. «Конспекты по элементарной теории музыки» – М.: ООО
«Престо», 2009.
5. Перельман Я.И. «Занимательная арифметика вчера и сегодня» – М.:
«Олма Медиа Групп», 2013.
6. Хомич Е.О. «Что? Зачем? Почему?» – Минск: «Харвест», 2007.
7. http://www.otr-online.ru/programmi/programmparts_19831.html
8. http://www.tvercult.ru/vashkevich_bolgarskaya_stolbitsa
9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Бемоль
10.https://ru.wikipedia.org/wiki/Длительность_нот
11.https://ru.wikipedia.org/wiki/Диез
12.https://ru.wikipedia.org/wiki/Аппликатура
13.http://www.petelin.ru/pcmagic/math/math.htm
14.http://vp-ch.ru/Muzyka-i-matematika
17
18