программа по математике для экономистов - ivesep

«Численные методы»: рабочая программа / авт.-сост. Л.Н. Бережной, Н.О.
Васильева, А.Ю.Вальков, А.Н. Протопопов: ИВЭСЭП, 2011 .- 19 с. (адаптирована для заочной формы обучения в филиале в г. Калининграде ст.
преподавателем Ксенофонтовым А.В.)
Рецензент
И.Л. Маценович,
кандидат экономических наук
Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, протокол № 5 от 19.01.2011 г.
Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом, протокол № 5 от 20.01.2011 г.
Утверждена на заседании кафедры бухгалтерского учета и аудита
филиала ИВЭСЭП в г. Калининграде,
протокол № 1 от 03.09.2012 г.
Лист изменений
в рабочую программу
Дата внесенных
изменений
Содержание изменений
2
Подпись автора
1. Цели и задачи обучения по дисциплине
Целью изучения студентами учебной дисциплины «Численные методы» является
овладение знаниями, представлениями, умениями и навыками, необходимыми для проведения математических расчётов, математического моделирования и последующего
анализа результатов на компьютере.
Задачи дисциплины: Курс численных методов, в первую очередь, являясь прикладным, в то же время должен обеспечивать знакомство с общей теории численных
методов. При этом наряду с изучением современных методов, применяющихся в экономико-математическом моделировании, должен быть освоен общий подход к выбору
и применению численного метода при появлении новых математических моделей.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина входит в вариативную часть (дисциплина по выбору) математического и естественнонаучного цикла. Базируется на знаниях, полученными студентами
при изучении математический анализ, информатика, теория вероятности и мат. статистика.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих основных компетенций:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10).
В результате изучения дисциплины студенты должны:
 знать:
 понятия «аппроксимация», «интерполяция», «экстраполяция»;
 численное дифференцирование;
 численные методы решения нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений;
 численная оптимизация без ограничений, одномерная и многомерная
 численное интегрирование;
 численное решение дифференциальных уравнений;
 уметь:
 выполнять полиномиальную интерполяцию и экстраполяцию;
 реализовывать линейный МНК;
 выполнять численное дифференцирование, симметричными и несимметричными методами различных порядков.
 вычислять определённые интегралы различными численными методами;
 решать нелинейные уравнения;
 решать системы линейных и нелинейных уравнений численными методами;
 выполнять многомерную минимизацию без ограничений градиентными методами;
 находить численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений
(метод Эйлера, метод Рунге-Кутта);
3

использовать методы случайных испытаний для вычисления числовых характеристик случайных величин
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Всего часов Семестр
Вид учебной работы
5
Аудиторные занятия (всего)
6
10
10
Лекции
2
2
Практические занятия (ПЗ)
8
8
Самостоятельная работа (всего)
53
53
В том числе:
Контрольная работа
+
Подготовка к сдаче и сдача экзамена
Общая трудоемкость
часы
зачетные единицы
9
9
72
72
2
2
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
Тема 1. Особенности компьютерной арифметики
Вычисления с плавающей и фиксированной запятой. Обычная и удвоенная точность. Дискретная структура реализации числовой прямой на компьютере: понятия
машинного эпсилон, машинного нуля и машиной бесконечности. Явления «плавающего» переполнения и исчезновения(floating overflow/underflow).Алгебраические особенности машинной арифметики. Устойчивые и неустойчивые алгоритмы.
Тема 2. Интерполяция и экстраполяция.
Понятия и определения интерполяции и экстраполяции. Постановка задачи. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Интерполяция сплайнами.
Тема 3. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Сглаживание данных.
Задача аппроксимации данных. Сглаживание данных методами скользящего среднего, экспоненциальное сглаживание. МНК как метод сглаживания данных. Линейный
метод наименьших квадратов. Матрица плана и Вектор данных. Система нормальных
уравнений. Матрица ковариации.
Тема 4. Дискретное преобразование Фурье.
Ряд Фурье. Формулы Фурье. Дискретное преобразование Фурье (ДФП). Понятие о
быстром преобразовании Фурье. Использование ДПФ для сглаживания Понятие о
вейвлетах.
4
Тема 5. Численное дифференцирование.
Разностные схемы различного порядка для численного расчета производной. Симметричные и несимметричные формулы. Оптимальная длина шага разностных формулы. МНК и численное дифференцирование гладких функций.
Тема 6.Численное интегрирование.
Методы прямоугольников(R/L/C).Метод трапеций. Оценка ошибки методов. Метод
Симпсона, общая схема методов Ньютона-Котеса. Метод Ромберга. Методы Гауссового типа. Адаптивные алгоритмы интегрирования. Многомерные задачи. Понятие о методе Монте-Карло.
Тема 7. Метод Монте-Карло.
Методы генерации на компьютере псевдослучайных чисел. Непрерывные распределения: равномерное распределение, нормальное распределение (закон больших чисел,
метод Мюллера). Метод обращения интегральной функции распределения. Генерация
дискретных случайных величин. Критерии качества.
Задача вычисления площади и объема сложных тел. Решение сложных вероятностных комбинаторных задач. Случайные блуждания, модели временных рядов в экономике и финансах. Оценка опционов.
Тема 8.Решение нелинейных одномерных уравнений.
Метод половинного деления. Метод простых итераций. Метод касательных (метод
Ньютона). Метод секущих (хорд).Обратная квадратичная интерполяция. Точность методов. Условия сходимости. Линейная и сверхлинейная сходимость.
Тема 9. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.
Понятие обусловленности матрицы. Метод Гаусса.
Метод Зейделя. Итерационное улучшение. Условие сходимости. Точность. Метод
Ньютона для нелинейных уравнений. Методы квазиньютонового типа (секущих).
Тема 10. Одномерная и многомерная нелинейная оптимизация. Линейное программирование
Одномерная минимизация. Метод золотого сечения. Метод параболической интерполяции. Оценки точности. Оптимизации при наличии производных: метод кубической
интерполяции (Пауэлла).
Многомерная оптимизация. Методы нулевого порядка: покоординатный спуск, методы Хука – Дживса, Нелдера – Мида. Градиент. Методы первого порядка: метод
наискорейшего спуска, метод тяжелого шарика, сопряженные градиенты. Метод Гаусса-Ньютона для нелинейных МНК. Методы второго порядка: метод Ньютона, квазиньютоновы методы (переменной метрики). Критерии окончания. Подход «модель — доверительная область». Задачи с ограничениями: штрафные функции.
Основные задачи линейного программирования. Симплекс-метод.
Тема 11. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод Эйлера. Оценка точности. Методы Рунге-Кутты. Оценка точности. Экстраполяция по Ричардсону. Жесткие задачи. Обратный метод Эйлера. Метод Эйлера для
системы ОДУ первого порядка.
Тема 12. Метод регуляризации (Тихонова).
Понятие корректности по Адамару. Примеры некорректных задач. Решение вырожденных или близких к вырожденным систем линейных уравнений. Псевдообратная
матрица. Метод регуляризации Тихонова. Регуляризирующий функционал.
5.2. Разделы дисциплин и виды занятий
5
№
Наименование раздела дисциплины
п/п
Лекции Практические СРС Всего
занятия
1.
Особенности компьютерной арифметики
0,1
-
2.
Интерполяция, экстраполяция (полиномиальная, сплайны).
0,2
0,5
3.
Аппроксимация методом наименьших
квадратов. Сглаживание данных.
0,2
0,5
4.
Дискретное преобразование Фурье.
0,2
5.
Численное дифференцирование
6.
4
4,1
4
4,7
4
4,7
1
4
5,2
0,2
1
4
5,2
Численное интегрирование.
0,2
1
4
5,2
7.
Метод статистических испытаний (метод
Монте-Карло).
0,2
1
4
5,2
8.
Решение нелинейных одномерных уравнений
0,1
1
5
6,1
9.
Решение систем линейных и нелинейных
алгебраических уравнений
0,1
1
5
6,1
10.
Одномерная и многомерная нелинейная
оптимизация. Линейное программирование.
5
5,1
0,1
-
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Некорректные задачи. Регуляризация.
0,2
1
5
6,2
0,2
-
5
5,2
11.
12.
Подготовка к сдаче и сдача зачета
9
Итого
2
8
53
72
5.3 Содержание практических занятий.
Тема 2. Интерполяция и экстраполяция.
 Построение интерполяционного полинома Лагранжа. Использование его для интерполяции и экстраполяции. Пример Рунге.
 Сплайн-интерполяция примера Рунге на основе готового сплайн-алгоритма в Excel (свободно доступного VBA Excel CubicSpline).
Тема 3. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Сглаживание данных.
 Демонстрация МНК в MSExcel на основе процедур ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ.
 Написание собственной МНК процедуры в MSExcel используя решение нормальной системы уравнений и сравнение результатов с ЛИНЕЙН.
 Использование процедуры ПОИСК РЕШЕНИЯ в MSExcel для линейного и нелинейного МНК.
 Сглаживание случайных выбросов в данных: МНК, скользящее среднее и экспоненциальное сглаживание в MSExcel.
 Очистка данных: методы типа 3 и медианное сглаживание в MSExcel.
6
Тема 4. Дискретное преобразование Фурье.
 Использование дискретного преобразования Фурье в Пакете Анализа MSExcel.
 Выявление характерных частот. Очистка данных от выбросов.
Тема 5. Численное дифференцирование.
 Вычисление в MSExcelпроизводной по точной аналитической формуле и приближенным разностным формулам: несимметричной формуле 1-го порядка,
симметричным формулам 2-го и 4-го порядков (последняя получается студентами экстраполяцией по Ричардсону формулы 2-го порядка).
 Анализ погрешности приближенных формул в зависимости от длины шага. Используются примеры полинома 4-го порядка и тригонометрической функции.
Оптимальный выбор длины шага – теоретическая оценка и практическая демонстрация.
Тема 6. Численное интегрирование.
 Интегрирование функции
на интервале [0; 1] (с точным
значением интеграла равным ) или какой-либо другой неполиномиальной
функции с известным точным значением интеграла. Используется MSExcel и
методы: правых, левых и центральных прямоугольников, трапеций, Симпсона,
трехточечной формулы Гаусса для числа подынтервалов n = 10, 20. Сравнение
точности этих методов.
Тема 7. Метод Монте-Карло.
 Генерация равномерно распределенных в интервале [0; 1] ([a; b]) и нормальноN(0, 1) распределенных псевдослучайных чисел средствами MSExcel. Генерация пары N(0,1)-распределенных чисел методом Мюллера. Вычисление первого,
второго, третьего и четвертого моментов этих распределений численно и сравнение с теоретическими значениями. Генерация дискретно распределенных
псевдослучайных чисел: монета, игральный кубик, игра в кости.
 Вычисление числа методом Монте-Карло (как площади единичного круга) при
N = 10k, k = 2,3,4,5 на MS-Excel. Интегрирование функции
на
интервале [0; 1] методом Монте-Карло с равномерным распределением и выборкой по значимости.
 Решение методом Монте-Карло сложных вероятностных комбинаторных задач.
Моделирование задачи о двумерном случайном блуждании. Оценка методом
МК вероятности выхода за круг данного радиуса .
Тема 8. Решение нелинейных одномерных уравнений.
 Построение программ решения нелинейного уравнения с хорошим начальным
методами: простых итераций, Ньютона, обратной квадратичной интерполяции.
Сравнение скоростей сходимости, определение линейного или сверхлинейного
характера сходимости.
 Контроль результатов используя встроенную функцию Excel ПОИСК
РЕШЕНИЯ.
Тема 9. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.
 Реализация метода Зейделя в MSExcel для системы нелинейных уравнений.
 Метод Ньютона для системы 2-х нелинейных уравнений в Excel на конкретном
примере. Анализ скорости сходимости.
 Контроль результатов используя встроенную функцию ExcelПОИСК
РЕШЕНИЯ.
Тема 11. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
7
 Решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка методом Эйлера и метод РунгеКутты 4-го порядка в MSExcel. Экстраполяция по Ричардсону этих решений.
Оценка точности. Метод Эйлера для системы двух ОДУ первого порядка. Пример жесткой задачи и обратного метода Эйлера для ОДУ 2-го порядка.
6. Задания для контрольной работы
Замечание: Если в условии предлагается решить «одну из данных» задач, использовать «один из данных» методов, и т.п., каждый экзаменующий получает только одну
конкретную задачу.
Вычислить в MSExcel 1-ю или 2-ю производную функции
разностным
методом с шагом ∆ = 0.1 в точках x = 1; 2; 10; 0.1,используя указанную формулу и
сравнить результатом аналитического дифференцирования.
 Первую производную из несимметричной формулы 1-го порядка
Первую производную из симметричную формулу 2-го порядка.
Вторую производную из симметричной формулы 1-го порядка.
2. Найти в MSExcel определённый интегралуказанным методом:
1.

методом трапеций при 5 узлах и сравнить с точным значением
интеграла.
3.
4.
5.
6.
7.
Та же задача для интеграла
и метода Симпсона.
Та же задача для метода 3-х точечного метода Гаусса.
Та же задача для метода центральных прямоугольников.
Найти решение уравнения
при начальном значении x0 = 0 (и заданном значении параметра
) указанным методом. Определить характер
сходимости (линейный или сверхлинейный):
Простой итерации.
Ньютона.
Секущих, при заданном дополнительном значении
.
Вычислить интерполяционный полином Лагранжа по
x
1
2
4
данной таблице значений и построить в MSExcel заданные точки и график интерполяционного полинома
y
2
-1
3
Составить и решить MSExcelсистему нормальных
уравнений МНК на параметры kи b для лиx
-2
-1
0
1
2
нейной аппроксимации данных, заданных в
y
-2.8 -1.2 0.9 3.1 4.8
таблице по формуле
Составить и решить в MS Excel систему норx
0 /6 /3
-/3 -/4
мальных уравнений МНК на параметрыa и b
y
-1.6 -0.7
2
3.2 3.6
линейной аппроксимации данных, заданных в
таблице по формуле
Выполнить в MS Excel сглаживание данных заданных формулой
при x= 0; 1; ….; 99; 100 указанным методами построить графики исходных и сглаженных данных:
Скользящим средним арифметическим с шириной окна 5.
8
Скользящим медианным средним с шириной окна 5.
Экспоненциальным сглаживанием с показателем α = 0.2.
8. Выполнить в MS Excel численное дифференцирование функции
при x= 1 c шагом Δ = 0,01 указанным методом минимального порядка. (Как вариант: та же задача для функции
с добавлением «Ответ сравнить с точным
значением производной»):
Найти первую производную
по симметричной формуле.
Найти производную
по правой несимметричной формуле.
Найти производную
по левой несимметричной формуле.
Найти вторую производную
(по симметричной формуле).
9. Выполнить в MS Excel численное интегрирование
при
n = 4подынтервалах указанным методом. Результат сравнить с точным значением
интеграла.
Методом правых прямоугольников.
Методом левых прямоугольников.
Методом центральных прямоугольников.
Методом трапеций.
Методом Симпсона.
Двухточечному методу Гаусса.
10. Выполнить в MS Excel генерацию выборки объема n = 1000 случайных чисел, подчиняющихся указанному закону распределения. Вычислить первый, второй и третий моменты случайной величины по данной выборке. Сравнить первые два из них
с теоретическими значениями.
Равномерное распределение на интервале [–1; 2].
Равномерное распределение на интервале [–1; 1].
Нормальное распределение с N(0;1) .
Нормальное распределение с N(1;2) .
11. Выполнить в MS Excel генерацию выборки объема n = 1000 двух независимых случайных чисел X, Y , равномерно распределенных на отрезке [0; 1]. На основе этой
выборки определить вероятность данного события:
 P(X +Y > 1).
 P(X – Y < 2/3).
 P(X2 +Y2 <1).
 P(XY > 1/2).
 P(| X –Y | < 1/2).
12. Выполнить в MS Excel генерацию выборки объема n = 1000 двух независимых случайных чисел (X, Y) , равномерно распределенных на отрезке [0; 1]. Проверить на
примере этой выборки заданное свойство, и объяснить полученный результат:
 М(XY)=M(X)M(Y).
 D(X+ Y) =D(X) + D(Y).
 D(X –Y) =D(X) –D(Y).
 D(X –Y) = D(Y – X) .
 M(X/Y) = M(X)/M(Y).
 M(X /Y) = M(X)M(1/Y) .
13. Выполнить в MS Excel генерацию выборки объема n = 1000 случайных чисел X равномерно распределенных на отрезке [0; 1]. Проверить на примере этой выборки заданное свойство и объяснить результат:
9
 М(X2) = M2(X).
 М(3X+2) = 3M(X) + 2.
 M(X2)– M2(X) =M((X – M(X))2).
 D(2X) = 2D(X).
14. Решить в MSExcelуравнение
для данной функции методом Ньютона, используя по 2 различных заданных начальных приближения к корню. Определить
число итераций необходимых для достижения полной машинной точности.

(
).

(

).
(

).
(

).
(
).

(
).
15. Решить в MSExcel систему уравнений
для данной функции методом секущих (хорд), используя 2 заданных начальных приближения к корню. Определить
число итераций необходимых для достижения полной машинной точности.

.

.

.

.

.
16. Решите в MSExcelчисленно итерационным методом систему уравнений. Используйте начальное приближение x = 0 и y = 0. Определить число итераций необходимых
для достижения полной машинной точности.

.

.

.

.
17. Решите в MSExcel численно методом Ньютона систему уравнений. Используйте
указанное начальное приближение. Сравните результат с решением полученным на
основе встроенной функции Excel ПОИСК РЕШЕНИЯ:


,x = 0 и y = 0,
, x = 1 и y =1.
18. Решите в MSExcel численно задачу Коши для дифференциального уравнения методом Эйлера на интервале [0; 1]. Используйте два шага: шаг Δ и Δ/2,чтобы прокон-
10
тролировать точность решения. Используйте экстраполяцию по Ричардсону
для уточнения итогового решения.




.
.
.
.
7. Вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Представление чисел с плавающей и фиксированной запятой в компьютере.
Мантисса, порядок, система счисления.
Машинное эпсилон, машинные ноль и бесконечность. Потеря точности при вычислениях с плавающей запятой.
Пример Уилкинсона численно неустойчивой задачи о вычислении хорошо разделенных корней полинома.
Неустойчивость прямой и устойчивость обратной итерационной схемы при вычислении интегралов
при больших n.
Разностные формулы численного дифференцирования (1-я производная).
Разностная формула численного дифференцирования (2-я производная).
Оценка точности разностных формул численного дифференцирования.
Экстраполяция по Ричардсону на примере формулы численного дифференцирования.
Численное интегрирование методами прямоугольников.
Численное интегрирование методом трапеций.
Численное интегрирование методом парабол (Симпсона).
Численное интегрирование методом Гаусса на примере трехточечной формулы.
Оценка точности численного интегрирования по формуле трапеций.
Задача интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа.
Оценка точности интерполирования по Лагранжу.
Пример Рунге. Сплайны, условия на границах интервалов. Естественные кубические сплайны.
Линейный метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений.
Формула остаточной суммы в линейном МНК.
Скользящее весовое среднее.
Экспоненциальное сглаживание.
Дискретное преобразование Фурье.
Понятие о быстром преобразовании Фурье.
Метод Монте-Карло для вычисления интеграла при равномерном распределении. Скорость сходимости.
Метод Монте-Карло с для вычисления интеграла с выборкой по значимости.
Оптимальное распределение.
Метод половинного деления (дихотомии). Условие и скорость сходимости.
Метод простой итерации для решения уравнений. Условие сходимости.
Метод Ньютона (касательных) для решения уравнений. Сверхлинейная сходимость.
Метод секущих (хорд) для решения уравнений. Сверхлинейная сходимость.
Метод Гаусса для решения линейных систем. Обусловленность матрицы.
Метод Гаусса-Зейделя.
Итерационное улучшение при решении линейных систем.
11
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Квазиньютоновы методы решения систем нелинейных уравнений (методы секущих).
Метод золотого сечения для одномерной минимизации. Скорость сходимости.
Метод параболической интерполяции для одномерной минимизации. Сверхлинейная сходимость.
Метод Ньютона для многомерной минимизации.
Понятие о квазиньютоновых методах (методах переменной метрики) многомерной минимизации.
Метод Гаусса-Ньютона для нелинейного МНК.
Метод штрафных функций для многомерной минимизации с ограничениями.
Метод Эйлера для решения задачи Коши в системе ОДУ первого порядка.
Методы Рунге-Кутты.
Понятие корректной задачи по Адамару. Различные случаи некорректности на
примере системы линейных уравнений.
Понятие псевдорешения и квазирешения линейной системы.
Нормальное псевдорешение системы линейных уравнений. Псевдообратная матрица.
Регуляризация по Тихонову. Регуляризирующий функционал.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
Основная
1. Калиткин, Н. Н. Численные методы: учеб. пособие / Н. Н. Калиткин. — 2-е изд.,
исправленное. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 586 с. http://znanium.com
2. Бахвалов, Н. С. Численные методы [Электронный ресурс] / Н. С. Бахвалов, Н.
П.Жидков, Г. М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2012. - 636 .http://znanium.com
3. Численные методы в задачах и упражнениях: учебное пособие / Бахвалов Н.С.,
Лапин А.В., Чижонков Е.В. Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 г.
http://www.knigafund.ru
Дополнительная:
1. Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; Под
ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ Инфра-М, 2013. - 336 с.
http://znanium.com
2. Математическое программирование: учебное пособие / Карманов В.Г. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. http://www.knigafund.ru
3. Измаилов, А. Ф. Численные методы оптимизации [Электронный ресурс] / А. Ф.
Измаилов, М. В. Солодов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. 320 с. http://znanium.com
Программное обеспечение:
1. Microsoft Word
2. Электронные таблицы: Microsoft Excel
3. Power Point
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
12
1. Library - Электронный каталог, созданный библиотекой филиала СПб ИВЭСЭП в г.
Калининграде
2. «Консультант Плюс» http://www.consultant.ru
3. ЭБС «КнигаФонд» (Электронная библиотека) ООО «Центр цифровой дистрибуции»
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Стандартно оборудованная аудитория.
Проектор с экраном.
13