Unified cod for heuristic investigation and automatic solution of

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
ЕДИНЫЙ КОД ДЛЯ ЭВРИСТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ И
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Л. Александров
ОИЯИ, Жолио Кюри 6
141980 Дубна, Россия,
[email protected]
В работе дается описание компьютерной программы afxy (analyse fx=y), которая одновременно
решает два связанных класса задач:
(р1) эвристическое исследование обратных нелинейных задач с неуточненной математической
моделью;
(р2) автоматическое решение потоков однотипных нелинейных систем уравнений (н.с.у.).
Необходимость создания afxy мотивируется теоретическими исследованиями и управлением
некоторых динамических систем, в том числе и в режиме реального времени.
Задача (р1) основывается на циклическом выполнении действий:
1 исследование существования решений с помощью численного построения псевдорешений;
2 исследование изолированности найденных псевдорешений вместе с оценкой наследственных
ошибок;
3 внесение корректив в математическую модель задачи на основе численных результатов и
привлечения дополнительной информации.
В задаче (р2) решение всех задач потока, вместе с заданием начальных приближений
рассматривается как единый вычислительный процесс.
В основу алгоритма afxy заложены регуляризованные методы ньютоновского типа как
дискретные [1,3], так и их непрерывные аналоги [2, 3], называемые R-процессами.
R-процессы обладают следующими свойствами универсальности:
1 расширение области сходимости и возможность решения н.с.у. с увеличенным числом
неизвестных по сравнению с нерегуляризованными вариантами;
2 возможность построения эффективных псевдорешений в случае плохой обусловленности, или
вырождения производной;
3 устойчивость построенных псевдорешений к малым колебаниям входных данных и ошибкам
округления;
4 в случае невырождения производной, сходимость R-процессов сравнима со скоростью
нерегуляризованных вариантов.
Универсализация ньютоновских методов достигается применением адитивной регуляризации
(Левенберг, Маркурдт, фон Нейман, Тихонов) и ее согласования с полулокальной теорией
сходимости, аналогичной теории Канторовича для метода Ньютона [1,3].
Универсализация R-процессов усиливается в сочетании с методом локального устранения
найденных решений (local root-extraction method [4, стр.8]), заменой неизвестных, с пошаговым
перемасштабированием линейной задачи в схеме Ньютона, с решением этой задачи на основе SVD–
метода, или с использованием подпространства А.Н. Крылова.
Теоретическое обоснование алгоритма afxy основывается на следующих полулокальных теориях
сходимости:
1 единая теория R-процессов Ньютона—Канторовича (RNK) и Гаусса—Ньютона (RGN) [1],
[3,теорема 1.2.1];
2 теория непрерывных RNK и RGN для решения регуляризованных нелинейных задач [2, 4];
3 теория сходимости метода спуск по параметру Тихонова–Гласко, рассматриваемого на шкале
вложенных банаховых пространств.
Полулокальные теории сходимости обеспечивают существование сфер притяжения с
фиксированными радиусами, что позволяет теоретически обосновать глобальную сходимость
композиционного алгоритма программы afxy. В результате, нахождение приемлемых псевдорешений
сводится к выполнению конечного числа конечных циклов по заданным параметрам выбранных
методов, среди которых основными являются начальное приближение и начальный регуляризатор
процесса.
Программа afxy позволяет объективно ответить на вопрос о существовании и множественности
решений заданной н.с.у. в заданной дефиниционной области.
Программа afxy работает как в интерактивном, так и в автоматическом режиме, который
реализуется после выбора оптимальной комбинации методов решения и их параметров.
От пользователя требуется составление подпрограммы fxy, состоящей из трех частей:
pre-exe-section, в котором задаются индикаторы выбранных методов и дефиниционная область
неизвестных, если afxy используется автоматически; если, однако, afxy используется в интерактивном
режиме, то она сама запрашивает при помощи ряда меню выбор методов и их параметров.
run-time-section, в котором задаются уравнения и их производные (производные проверяются с
указанием на их ошибки; если производные не заданны, то программа вычисляет их приближенно);
post-exe-section, в котором можно использовать найденные решения и потребовать решения новых
н.с.у.
Код afxy составлен на Фортране 90 и работает на любой современной платформе от карманного
компьютера до массивно-параллельных компьютеров, в которых выполнение алгоритма по основным
параметрам, таким как начальное приближение, распределяется по различным процессорам.
В работе дается оценка программы afxy и сравнение ее алгоритма с алгоритмами других
программ на основе решения специальных коллекций задач [5, 6, 7]. Приводятся, также, десять
программ, иллюстрирующих работу afxy, в том числе и прогрммы для обратного экспоненциального
анализа.
Программа afxy используется в различных научных исследованиях, в том числе и для решения
задач чистой математике. Так например, с её помощью был найден обратимый интерполянт ряда
простых чисел (решается линейная задача с неполным числом краевых условий) [4]. Программа
используется и для приближенного решения диоффантовых уравнений (решаются системы из двух
нелинейных уравнений с числом неизвестных больше двух) [4].
Л. Александров, Регуляризованные вычислительные процессы Ньютона—Канторовича, ЖВМ и МФ, т.
11, №1, (1971), 36-43.
2. Л. Александров, Регуляризованные траектории приближения ньютоновского типа для решения
нелинейных уравнений, Дифференциальные уравнения, т. XIII, №7, (1977), 1281-1292.
3. Л. Александров, Регуляризованные методы ньютоновского типа, диссертация на соискание степени
доктора физ.-мат. наук , ОИЯИ, Дубна (1983).
4. L. Alexandrov and L. Georgiev, Prime number diffeomorphisms, Diophantine equations and the Riemann
hypothesis, JINR Preprint E5-2004-181, Dubna 2004, (LANL archive , math-ph/0411071).
6. Jorge More, Burton Garbow, and Kenneth Hillstrom,
Testing Unconstrained Optimization Software,ACM Transactions on Math.
Software,
V.7,№ 1,1981,pages,29,30,35
7. J.E.Dennis Jr.,Gay,D.M., and Vu.P.A. A new nonlinear equations test
problem.
Rice Univ., Dept. of Mathematics,Technical Report 83-16,1983
8. R.J.Hanson and Fred T.Kroth, A Quadratic-Tensor Model. Algorithm for
Algorithm for Nonlenear Least-Squares Problems with Linear
Constraints, ACM Transactions on Math. Software,V.18,No 2,pp 115-133
1.