программа по математике для экономистов

ИВЭСЭП
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ
СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
ДИСКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика
в экономике
Санкт-Петербург
2011
ББК 22.1
М-34
М-34 Дискретная математика: Учебно-методический комплекс. /Авт.-сост.:
А.Ю. Вальков, З.Н. Хакимова, – СПб.: СПбИВЭСЭП, 2011. – 34с.
Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных
дисциплин, протокол № 5 от 19.01.2011 г.
Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом,
протокол № 5 от 20.01.2011 г.
Авторы -составители :
доктор физ.-мат. наук, проф. А.Ю. Вальков,
кандидат физ.-мат. наук., доцент З.Н. Хакимова
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры статистической физики
Санкт-Петербургского государственного университета В.П. Романов.
Ответственная за выпуск
Н.А. Фролова
© А.Ю. Вальков, З.Н. Хакимова, 2011
© СПбИВЭСЭП, 2011.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящий учебно-методический комплекс по курсу «Дискретная математика» соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ по направлению подготовки
дипломированных специалистов по специальности: 080801 (351400) –
Прикладная информатика в экономике, основанным на государственном
образовательном стандарте высшего профессионального образования.
Современный уровень требований, предъявляемых к математической
подготовке экономиста-информатика, связан со степенью развития экономической теории и информационных технологий. Дискретная математика
является математическим фундаментом для понимания теоретических основ большинства высокоуровневых информационных технологий.
Методическое обеспечение данного может быть осуществлено с помощью курсов дискретной математики, а также отдельных разделов из
учебников по высшей математики, теории вероятностей и математической
статистики, а также задачников и справочников, приведенных в разделе
.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ(1) Аудиторные часы, отведенные на
изучение курса дискретной математики, делятся между лекционными и
практическими занятиями поровну. Практические занятия предусматривают самостоятельное решение задач студентами под контролем и при
поддержке преподавателя на семинарах, а также выполнение домашних
заданий. В целях проверки степени усвоения материала проводятся две
контрольные работы.
Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью
определения качества усвоения учебного материала. Наиболее эффективным является его проведение в виде тестов и самостоятельных работ.
Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины
учебным планом предусмотрен экзамен.
ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
Государственный
(1)
стандарт
на данную дисциплину отсутствует
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
3
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина предназначена для:
 изучения студентами математического аппарата, необходимого для
глубокого усвоения математического фундамента современных информационных технологий;
 выработки у студентов умения проводить строгий логический и количественный анализ информационных задач на базе дискретных
математических моделей;
 формирования у студентов необходимой математической культуры
и научного мировоззрения для исследования и решения задач в области информационных технологий.
Развитие математической культуры должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной
цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические
понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
 о месте и роли дискретной математики в современном мире, мировой культуре и истории; об истории развития дискретной математики, принципах дискретных математических рассуждений и
доказательств;
 об основных структурах современной дискретной математики, об
их взаимосвязи с реальным миром;
 перспективах развития приложений дискретной математики и
дискретного математического моделирования в информационной
сфере.
знать и уметь использовать:
 основные понятия и методы дискретной математики;
 основные определения и понятия, теоремы и правила дискретной
математики с практическим применением;
4
 логику доказательства важнейших теорем, лежащих в основе
изучаемых математических методов.
В частности:
 иметь представление о строении дискретной математики, как науки
 знать основные понятия дискретной математики,
 уметь задавать дискретные множества различными способами
 уметь определять свойства заданного отношения
 иметь представление об изоморфизме алгебр
 уметь решать задачи методом математической индукции
 знать основные принципы организации перебора вариантов и уметь
применять их на практике
 уметь решать «ключевые» задачи теории множеств и теории графов.
Для выработки у современных специалистов по управлению социально-экономическими системами с высшим образованием необходимой математической культуры УМК предусматривает реализацию следующих
основных задач:
1. достижение достаточно высокого уровня фундаментальной математической подготовки;
2. сбалансированное и взаимосвязанное изучение общей математики и
ее приложений к информационным процессам;
3. ориентация на обучение и выработку у студентов умения строить и
использовать дискретные математические модели для описания и
прогнозирования различных информационных явлений, осуществлять их качественный и количественный анализ на базе различных
средств информационного обеспечения.
УМК содержит основные математические сведения, которые подлежат
изучению всеми студентами.
5
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
п/п
Тема
1
Множество. Способы задания.
Операции. Связь с логикой
Бинарные отношения. Свойства
отношений.
Отображение. Операция. Алгебра.
Изоморфизм
Алгебра подстановок. Алгебра
вычетов
Метод математической индукции
Подсчет числа вариантов. Простейшие задачи
Формулы комбинаторики. Перебор.
Граф. Элементы графа. Способы
задания. Изоморфизм.
Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Плоские графы. Деревья. Ориентация
Элементы теории автоматов
Экзамен
Всего часов
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
Количество часов
Аудиторные Самостоятельзанятия
ная работа
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
18
18
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ.
Тема 1. Дискретные множества и системы.
Основные понятия: множества, их элементы и подмножества. Операции
над множествами. Взаимно-однозначное соответствие. Мощность конечных и бесконечных множеств. Отношения и функции. Связь с алгеброй:
алгебраические операции. Дискретные системы и дискретные модели.
Примеры дискретных экономических задач.
Тема 2. Элементы математической логики и ее приложения.
Основные понятия математической логики. Связь с понятиями теории
множеств. Логика высказываний. Конъюнкция и дизъюнкция. Булевы
функции. Логика и исчисление предикатов. Методы решения логических
задач. Приложения логических задач в экономике.
Тема 3. Конечные множества и комбинаторные задачи.
Комбинаторные и перечислительные задачи. Основные схемы решения
комбинаторных задач: перестановки, размещения и выбор. Бином Ньютона. Использование комбинаторных методов в математическом анализе и
алгебре. Метод траекторий. Рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи. Принцип включения и исключения. Комбинаторные задачи с ограничениями. Производящие функции. Конечные схемы анализа риска и неопределенности. Комбинаторные задачи в экономике.
Тема 4. Теория графов и ее приложения в экономике.
Основные понятия теории графов. Матрицы и графы. Основные задачи на
графах и методы их решения. Задачи о длине пути в графе. Метод критического пути в управлении проектами в экономике. Деревья и их использование в анализе экономических проблем. Метод ветвей и границ. Методы исследования потоков в сетях. Транспортные сети. Взвешенные орграфы и импульсные процессы. Использование методов теории графов для
анализа социальных экономических процессов.
Тема 5. Методы принятия решений и дискретная оптимизация.
Принятие коллективных решений. Процедуры голосования. Экспертные
решения. Методы теории игр в принятии решений. Оптимальные решения.
7
Дискретные оптимизационные задачи. Основные классы дискретных задач
оптимизации.
Тема 6. Методы структурного анализа дискретных систем.
Структурные методы анализа моделей качественных признаков. Модели и
методы классификации. Исследование зависимостей неколичественных
признаков. Экономические приложения. Методы теории информации. Энтропия и информация. Методы теории информации в решении логических
задач. Кодирование.
Тема 7. Ранговые методы и порядковые структуры.
Дискретные ряды и распределения. Порядковые структуры и ранги. Выявление и анализ зависимостей в дискретных структурах. Анализ социальноэкономического неравенства. Дискретные структуры данных в экономике.
Тема 8. Динамические дискретные модели.
Марковские цепи. Динамическая оптимизация. Методы конечных разностей в изучении экономических процессов. Исследование структурных
сдвигов и изменений. Моделирование и анализ дискретных экономических процессов.
Тема 9. Алгоритмы решения дискретных задач.
Основные типы алгоритмов в экономических задачах. Методы теории автоматов. Алгоритмы и автоматы. Методы нечетких множеств. Вычислительная сложность алгоритмов. Классификация и анализ алгоритмов.
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
1. Множество. Способы задания. Операции. Связь с логикой
2. Бинарные отношения. Свойства отношений.
3. Отображение. Операция. Алгебра. Изоморфизм
4. Алгебра подстановок. Алгебра вычетов
5. Метод математической индукции
6. Подсчет числа вариантов. Простейшие задачи
7. Формулы комбинаторики. Перебор.
8. Граф. Элементы графа. Способы задания. Изоморфизм.
9. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Плоские графы. Ориентация
10. Деревья. Элементы теории автоматов
8
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ .
Основные понятия: множества, их элементы и подмножества.
Операции над множествами.
Взаимно-однозначное соответствие.
Мощность конечных и бесконечных множеств.
Отношения и функции. Связь с алгеброй: алгебраические операции.
Дискретные системы и дискретные модели. Примеры дискретных
экономических задач.
7. Основные понятия математической логики. Связь с понятиями теории множеств.
8. Логика высказываний. Конъюнкция и дизъюнкция.
9. Булевы функции. Логика и исчисление предикатов. Методы решения
логических задач.
10.Приложения логических задач в экономике.
11.Основные схемы решения комбинаторных задач: перестановки, размещения и выбор.
12.Бином Ньютона.
13.Использование комбинаторных методов в математическом анализе и
алгебре.
14.Метод траекторий.
15.Рекуррентные соотношения.
16.Числа Фибоначчи.
17.Принцип включения и исключения.
18.Комбинаторные задачи с ограничениями. Производящие функции.
19.Конечные схемы анализа риска и неопределенности.
20.Основные понятия теории графов. Матрицы и графы. Основные задачи на графах и методы их решения.
21.Задачи о длине пути в графе. Метод критического пути в управлении
проектами в экономике.
22.Деревья и их использование в анализе экономических проблем.
23.Метод ветвей и границ.
24.Методы исследования потоков в сетях.
25.Транспортные сети. Взвешенные орграфы и импульсные процессы
26.Принятие коллективных решений. Процедуры голосования. Экспертные решения.
27.Методы теории игр в принятии решений. Оптимальные решения..
28.Дискретные оптимизационные задачи Основные классы дискретных
задач оптимизации.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9
29.Структурные методы анализа моделей качественных признаков. Модели и методы классификации.
30.Исследование зависимостей неколичественных признаков.
31.Методы теории информации. Энтропия и информация.
32.Методы теории информации в решении логических задач.
33.Кодирование.
34.Дискретные ряды и распределения. Порядковые структуры и ранги.
35.Выявление и анализ зависимостей в дискретных структурах.
36.Анализ социально-экономического неравенства. Дискретные структуры данных в экономике.
37.Марковские цепи. Динамическая оптимизация.
38.Методы конечных разносте.
39.Исследование структурных сдвигов и изменений.
40.Моделирование и анализ дискретных экономических процессов.
41.Основные типы алгоритмов в экономических задачах.
42.Методы теории автоматов. Алгоритмы и автоматы.
43.Методы нечетких множеств.
44.Вычислительная сложность алгоритмов.
45.Классификация и анализ алгоритмов.
ЗАДАЧИ ПО КУРСУ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Задача 1.
Рассматриваются слова в алфавите из q букв a1 ,..., aq . Через ni обозначается число вхождений буквы ai в слово. Требуется подсчитать число слов
длины n, удовлетворяющих следующим условиям:
1) q  4,
2) q  4,
3) q  5,
4) q  5,
5) q  4,
6) q  4,
7) q  5,
8) q  4,
n  7, n1  2n2 ;
n  7, n1  n2  n3  n4 ;
n  8, n1  n2  n3  n4 ;
n  7, n1  n2  3, n3  2 ;
n  5, n1  n2 ;
n  7, n1  2, n2  n3  4 ;
n  8, n1  4, n2  3 ;
n  6, n1  n2  n3  n4 ;
10
9) q  4, n  8, n1  n2  3, n3  2 ;
10) q  3, n  8, n1  n2  6 ;
11) q  5, n  6, n1  n2 ;
12) q  5, n  6, n1  n2  n3  n4 ;
13) q  4, n  8, n1  2, n2  3 ;
14) q  5, n  7, n1 2, n2  n3  n4  3 ;
15) q  4, n  8, n1  n2  4, n3  1 ;
16) q  3, n  8, 2  n1  6 .
Задача 2.
На одной из кафедр института работают S человек, среди которых T человек не знают ни одного иностранного языка. A человек знают английский,
N – немецкий, F – французский. AN знают английский и немецкий, AF –
английский и французский, NF – немецкий и французский, ANF знают все
три языка.
По заданным в таблице условиям восстановить недостающую информацию.
№
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
S
17
16
17
20
?
17
21
26
19
17
16
17
?
18
20
23
A
11
?
8
11
10
12
11
14
13
?
12
13
14
15
12
14
N
6
9
10
8
7
9
?
11
9
9
9
6
9
8
?
8
F
5
7
?
5
4
7
6
5
5
6
?
4
7
6
8
7
AN
4
4
6
7
5
8
6
?
5
6
6
6
7
7
5
?
AF
3
4
4
3
4
?
5
4
3
4
4
3
5
?
5
4
NF
2
5
4
4
3
5
3
3
3
4
3
2
3
4
3
4
Задача 3.
Сколькими способами можно переставить буквы слова:
1) «здание» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?
11
ANF
1
2
3
?
3
4
2
2
1
2
3
?
2
3
1
2
T
?
3
5
7
5
3
5
6
?
2
1
3
1
2
4
5
2) «перешеек» так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд?
3) «ежевика» так, чтобы буква «и» шла непосредственно после буквы
«к»?
4) «тарантас» так, чтобы две буквы «а» не шли подряд?
5) «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
6) «группоид» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
7) «перемена» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?
8) «столовая» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
9) «фигура» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке?
10) «баобаб» так, чтобы три буквы «б» не шли подряд?
11) «тетрадь» так, чтобы буква «ь» шла непосредственно после буквы «р»?
12) «колокола» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
13) «симфония» так, чтобы никакие две согласные не стояли рядом?
14) «симметрия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
15) «кукуруза» так, чтобы две буквы «у» не шли подряд?
16) «алгебра» так, чтобы буква «р» шла непосредственно после буквы «а»?
Задача 4.
1) Сколько чисел, меньших 105, можно записать из цифр 2, 4, 5? Сколько
среди них нечетных?
2) Чему равна сумма четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 2, 5, 5, 5?
3) Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры различны, причем первая — не 5, последняя — не 0?
4) Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все цифры различны?
5) Сколько чисел, меньших 105, можно записать из цифр 3, 5, 8? Сколько
среди них четных?
6) Чему равна сумма четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 3, 7, 7, 5?
7) Сколько пятизначных чисел, у которых среди цифр есть одинаковые?
8) Сколько имеется девятизначных чисел, у которых сумма цифр равна 3?
9) Сколько чисел, меньших 104, можно записать из цифр 1, 2, 4, 6? Сколько среди них нечетных?
10) Чему равна сумма четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 8, 3, 3, 4?
11) Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры различны, причем 0 отсутствует, а цифры 2, 4, 5 встречаются одновременно?
12) Сколько восьмизначных чисел, у которых цифра 9 входит дважды?
13) Сколько чисел, меньших 104, можно записать из цифр 1, 3, 5, 8? Сколько среди них четных?
12
14) Чему равна сумма четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 1, 1, 7, 5?
15) Сколько пятизначных чисел, у которых среди цифр не менее двух четных?
16) Сколько существует шестизначных чисел, у которых ровно 3 цифры
четные?
Задача 5.
Сколько различных слов можно составить, переставляя согласные буквы
вашей фамилии и гласные буквы полного имени?
Задача 6.
1) Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых
принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных и разносторонних?
2) Сколькими способами из шести пар перчаток различных размеров
можно выбрать одну перчатку на левую руку и одну — на правую руку
так, чтобы эти перчатки были разных размеров?
3) У одного студента 5 книг по алгебре, у другого — 7 книг. Сколькими
способами можно обменять две книги одного на две книги другого?
4) Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и
черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
5) Сколько экзаменационных билетов можно составить, если имеются вопросы по трем темам: 12 – по одной теме, 10 – по другой и 8 – по третьей. Билет содержит 2 вопроса по различным темам.
6) Семь яблок и три апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в
каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов
в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?
7) Лифт, в котором находится 9 пассажиров, может останавливаться на
десяти этажах. Пассажиры выходят группами в два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?
8) Стороны каждой из двух игральных костей помечены числами 0, 1, 3,
7, 15, 31. Сколько различных сумм может получиться при метании этих
костей?
9) Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с
пятью полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?
10) Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости
так, чтобы их можно было приложить друг к другу?
13
11) Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых
принимают значения: 5, 6, 7, 8, 9? Сколько среди них равносторонних,
равнобедренных и разносторонних?
12) 6 ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки.
Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В
скольких из них на восьмой этаж будет доставлено не менее двух материалов?
13) Код замка состоит из пяти десятичных цифр. Известно, что среди них
аций нужно перебрать, чтобы наверняка открыть замок?
14) Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4
тигров; при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей?
15) На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?
16) Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых
принимают значения: 4, 5, 6, 7? Сколько среди них равносторонних,
равнобедренных и разносторонних?
Задача 7.
Записать высказывания на языке логики с помощью логических связок:
1) Если утром будет дождь, то Вадим или наденет плащ, или возьмёт зонт,
или останется дома.
2) Ни белые, ни чёрные не одержали победу: мальчики сыграли вничью.
3) Если я болен или устал, то должен отдыхать, а если здоров и бодр, то с
удовольствием тружусь.
4) Для того, чтобы точка являлась точкой экстремума функции, необходимо и достаточно, чтобы она была критической и производная изменяла знак при переходе через неё.
Задача 8.
Составить таблицы истинности для следующих высказываний:
1)
2)
3)
4)
Задача 9.
Доказать с помощью таблиц истинности логическую эквивалентность следующих пар формул:
14

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)










;
Задача 10.
Доказать следующие тавтологии (законы логики):
1)
;
2)
3)
;
4)
5)
;
15
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ (1)
УЧЕБНИКИ
Основные
1. Романовский И.В. Дискретный анализ: уч. пособ. для вузов / И.В. Романовский. — 3-е изд., перераб. и доп. — СПб: Невский диалект,
2004. — 320 с.
2. Турецкий В.Я. Математика и информатика: уч. пособ. для студ. вузов
по гум. напр. / В.Я. Турецкий. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Инфра-М, 2006. — 560 с.
Дополнительные
3. Красс М.С. Основы математики и её приложения в экономическом
образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — 4-е изд., испр.
— М.: Дело, 2003. — 688 с.
Вспомогательные
4. Грэхем Р. Конкретная математика. Основание информатики: пер. с
англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. — 2-е изд., испр. — М.: Мир,
2006. — 704 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: уч.
пособ. / В.Е. Гмурман. — 12-е изд. — М.: Юрайт, 2010. — 479 с.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: уч. пособ. для
вузов / С.В. Яблонский. — 4-е издание, стер. — М.: Высшая школа,
2003. — 484 с.
7. Кулаков Ю.В. Дискретная математика: уч. пособ. / Ю.В. Кулаков, В.Н.
Шамкин. — Тамбов: ТГТУ, 2004. — 80 с.
8. Соболева Т.С. Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.С.
Соболева, А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина. — М.: Академия, 2006.
— 256 с.
ЗАДАЧНИКИ
Основные
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: уч. пособ. / В.Е. Гмурман. — 12-е изд.,
перераб. — М.: Высшее образование Школа, 2006. — 476 с.
16
Вспомогательные
10. Алексеев В.Е. Сборник задач по дискретной математике: задачник /
В.Е. Алексеев, Л.Г. Киселева, Т.Г. Смирнова. — Н.Новгород: ННГУ,
2009. — 50 c.
11. Гаврилов Г.П. Сборник задач по дискретной математике: уч. пособ. /
Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко. — М.: Наука, 2007. — 255 c.
12. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: уч. пособ. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Академия, 2003. — 448 с.
СПРАВОЧНИКИ
Вспомогательные
13. Справочник по математике для экономистов: уч. пособ. / Под ред.
В.И. Ермакова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2009. —
464с.
14. Венецкий И.Г. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: справочник / И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. — М.: Статистика, 1979. — 447 с.
15. Бронштейн И.Н. Справочник по математике: для инженеров и уч. втузов / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев — 13-е изд., испр. — М.: Наука,
1986. — 544 с.
16. Берк П. Справочник по математике для экономистов: пер. с норвеж. /
П. Берк, А. Стрем, К. Сюдсетер; под ред. Е.Ю. Смирновой. — СПб.:
Экономическая школа, 2000. — 229 с.
17. Arrow K., Intriligator M. Handbook of Mathematical Economy. V.1-4 / K.
Arrow, M. Intriligator. — Amsterdam, 1987-1996. — 378 с.
17
ГЛОССАРИЙ
A
АКСИОМА – исходное положение, принимаемое без доказательства при
дедуктивном построении теории.
Б
БИНОМ. Двучлен — сумма (или разность) двух одночленов.
БИНОМ НЬЮТОНА. Формула, выражающая произвольную натуральную
степень бинома в виде многочлена, расположенного по степеn
ням одного из членов бинома: (a  b) n   Cnk a k b nk , где C nk —
k 1
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ.
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ. Величина Cnk 
n!
. Число
k!(n  k )!
сочетаний из n по k — число вариантов, которыми можно выбрать k предметов из n предметов, когда порядок расположения
n
предметов не играет роли. Обозначается также   .
k
 
БИНОМИНАЛЬНЫЙ
ЗАКОН
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.
См.
В
ВЕРОЯТНОСТЬ. Количественная мера возможности наступления случайного события A в результате испытаний при заданной совокупности условий. Число, заключённое между нулём и единицей.
Обозначается обычно P(A).
ВЕРОЯТНОСТЬ доверительная. Вероятность, оценивающая достоверность характеристик, полученных на основе выборочных
наблюдений.
ВЕРОЯТНОСТЬ условная. Вероятность события А, вычисленная при
условии осуществления другого события В; обозначается обычно Р(А|В) или PB(A).
ВЫБОРКА (Выборочная совокупность). Выборочная совокупность часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для
изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной
совокупности.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ. См. СРЕДНЕЕ выборочное.
18
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ. Среднее арифметическое квадрата отклонения полученных значений измеряемой величины от их среднего выборочного. Обозначается обычно D (или D выб, Dn).
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ, ИСПРАВЛЕННАЯ. Несмещенная оценка
для дисперсии генеральной совокупности. Вычисляется из выборочной дисперсии по формуле nD выб /(n – 1), где n – число
измерений. Обозначается обычно D испр, Dn-1.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ. Корень квадратный из ВЫБОРОЧНОЙ
ДИСПЕРСИИ. Обозначается обычно σ (или σвыб , σn).
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ исправленное (несмещенное). Корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии. Обозначается
обычно σисп , σn-1.
ВЫВОД. 1.Процесс получения какого-либо результата, проведённый в соответствии с указанными правилами. 2. Результат этого процесса.
ВЫВОД логический. 1. Содержательное рассуждение, позволяющее от исходных допущений (посылок) перейти к новым
утверждениям (заключениям), логически вытекающим из исходных. 2. Результат этого рассуждения.
ВЫВОД формальный. Последовательность формул, каждая из
которых либо является аксиомой или принятым допущением,
либо получается из предыдущих с помощью правил вывода.
ВЫРАЖЕНИЕ. Формула или её часть.
ВЫРАЖЕНИЕ алгебраическое. Запись в определённом порядке
ряда алгебраических действий над совокупностью величин.
ВЫРАЖЕНИЕ подкоренное. Выражение, стоящее под знаком
радикала (т.е. под знаком корня n-ой степени).
ВЫРАЖЕНИЕ подынтегральное. Выражение, состоящее из
подынтегральной функции и дифференциала (дифференциалов),
стоящих под знаком интеграла.
ВЫРАЖЕНИЕ дробно-рациональное. Отношение двух целых
выражений.
ВЫРАЖЕНИЕ иррациональное. Алгебраическое выражение, содержащее иррациональность.
ВЫРАЖЕНИЕ целое. Многочлен от нескольких переменных.
ВЫЧИСЛЕНИЕ. Получение численного результата некоторым алгоритмом из исходных данных.
19
Г
ГАУССОВО
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
См.
НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ состоит из всех объектов, которые
подлежат статистическому изучению.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Распределение вероятностей
дискретной случайной величины, при котором она принимает
значения k = 1,2, … с вероятностью P(k )  pq k 1 , где p – параметр
распределения, 0  p  1 , q  1  p . Для геометрического распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ
M(X) = 1/p, D(X) = q/p2. Применяется в задачах, где интересуются первым появлением успеха (неудачи) в неограниченной (на
практике — достаточно длинной) серии одинаковых независимых испытаний.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Пусть в урне N шаров, из них М белых, а остальные (N - М) — черные. Вероятность того, что при извлечении из урны n шаров m из них окажутся белыми (а (n-m) — черными) равна P( X  m) 
гипергеометрического
ОЖИДАНИЕ
D( X )  n
распределения
и
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ДИСПЕРСИЯ
M  M 
n
1  1   . При
N 1 
N  N 
n/ N  
CMm CNnmM
. Для
CNn
M (X )  n
M
,
N
это распределение
стремится к распределению Бернулли с p  M / N .
ГИПОТЕЗА статистическая. Гипотеза о вероятностных закономерностях, которым подчиняется рассматриваемое случайное явление.
Д
ДВУЧЛЕН. См. БИНОМ..
ДЕДУКЦИЯ. Общее название логических методов, позволяющее выводить новое утверждение из некоторых исходных утверждений,
пользуясь определенными правилами вывода.
ДИСКРЕТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Функция, ставящая в соответствие каждому значению дискретной случайной
величины вероятность того, что величина принимает это значение.
ДИСПЕРСИЯ. Характеристика случайной величины, определяемая как
математическое ожидание квадрата отклонения случайной ве-
20
личины от её математического ожидания. Обозначается D(x)
(или Dx, Dx).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Способ обоснования истинности того или иного
суждения, основанный на выведении его из аксиом.
ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ. Событие, которое наверняка произойдет
при осуществлении данного эксперимента. Часто обозначается
U или Ω . Его вероятность P(U) = 1.
З
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ в теории вероятностей утверждает, что
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ большого числа случайных
слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы
сильно каждая СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. не отклонялась от
своего среднего значения, при суммировании эти отклонения
«взаимно гасятся», так что СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ к
постоянной величине.
И
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА. Доверительный интервал
(интервал со случайными границами), в котором с заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр.
ИСПРАВЛЕННОЕ ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ. См. ВЫБОРОЧНОЕ
СРЕДНЕЕ
КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ.
К
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Пусть имеется N
равновозможных, попарно несовместных исходов. И пусть M из
них благоприятствуют событию A: Тогда ВЕРОЯТНОСТЬЮ события A называется величина P(A) = M/N.
КОМБИНАТОРИКА. Раздел математики, в котором изучается вопрос о
том сколько различных комбинаций подчиненных тем или
иным условиям можно составить из конечного числа различных
элементов. Комбинации, отличающиеся друг от друга составом
элементов, или их порядком называются соединениями. Различают три вида соединений: РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ,
СОЧЕТАНИЯ.
КОРРЕЛЯЦИЯ. Статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой до-
21
пустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой
корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.
КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ случайной величины X с положительным
математическим ожиданием M(X) — число V(X) = σ(X)/M(X), где
σ(X) — СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ случайной
величины X.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. Число, показывающее степень вероятностной (статистической) связи между двумя случайными величинами
X
и
Y.
Вычисляется
по
формуле
rX ,Y 
M ( XY )  M ( X )M (Y )
, где M - математическое ожидание. D D( X ) D(Y )
дисперсия. Всегда  1  rX ,Y  1 . Чем ближе rX2 ,Y к 1, тем теснее
связь величин X и Y, чем ближе rX ,Y к нулю, тем связь менее выражена.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ для проверки гипотезы о согласованности выборочного распределения с
теоретическим генеральным распределением.
М
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных
для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какойлибо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками
Во многих своих разделах математическая статистика опирается
на ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый
объем выборки для получения результатов требуемой точности
при выборочном обследовании).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. По своему смыслу — среднее значение случайной величины.
Сумма произведений случайной величины на их вероятности —
для дискретного распределения случайной величины.
Интеграл от произведения случайной величины на функцию
плотности вероятности — для непрерывного распределения
случайной величины.
22
МЕДИАНА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Для произвольной случайной
величины X — это такое число Q, что P( X  Q)  1 / 2 и
P( X  Q)  1 / 2
Для
непрерывной
случайной
величины
P( X  Q)  P( X  Q)  1 / 2 . Если распределение случайной величины симметрично, как, например, в случае нормального распределения, то медиана совпадает с математическим ожиданием.
МОДА НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ — такое значение х,
в котором ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ f (x) достигает своего
локального максимума. Мода есть «центр сгущения» случайной
величины в смысле наиболее часто встречающихся значений случайной величины. Распределение с одной модой называется унимодальным, а распределение с несколькими модами - мультимодальным. Для симметричного унимодального распределения мода совпадает с математическим ожиданием, а следовательно, и с
медианой.
МОМЕНТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. k-м моментом случайной величины X, называется число M ( X k ) , где M – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ. В частности – первый момент это просто
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) X.
Н
НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ. Событие, которое никогда не происходит
при осуществлении данного эксперимента. Часто обозначается
V . Его вероятность P(V) = 0.
НЕСОВМЕСТНЫЕ (НЕСОВМЕСТИМЫЕ) СОБЫТИЯ. События A и B
несовместны, если они вместе произойти не могут. (Их произведение AB есть невозможное событие).
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. События A и B независимы, если информация о том, что одно из них произошло, не влияет на вероятность другого события.
НЕЗАВИСИМОСТЬ В СОВОКУПНОСТИ События A1 , A2 ,…, An независимы в совокупности, если информация о том, что некоторое
количество из них произошло, не влияет на вероятность
остальных событий.
НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Случайные величины
называют независимыми, если их совместная функция распределения (плотность распределения) может быть представлена в
виде произведения одномерных функций распределения (плотностей распределения)
НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.— Плотность
вероятности непрерывной случайной величины.
23
НЕСМЕЩЕННОЕ ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ исправленное . См.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.
НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины с плотностью
f ( x)  exp[ ( x  a) 2 / 2 2 ] / 2  , где a,  — параметры распределения. Для нормального распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) = a, D(X) = σ2, а
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ имеет вид
 xa
F ( x)  
 , где  y  
  
1
2
y
e

x2
2
dx — так называемый интеграл

вероятности.
Соответствует
формальному
пределу
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЕРНУЛЛИ при n   . Применяется очень
широко, поскольку, в силу ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ
ТЕОРЕМ, нормальное распределение — наиболее часто встречающееся на практике распределение.
П
ПЕРЕСТАНОВКИ. Соединения, составленные из одних и тех же n элементов, которые отличаются друг от друга только их порядком
размещения. Обозначается Pn . Число перестановок Pn  n!.
ПЛОТНОСТЬ вероятности (дифференциальная функция распределения). Производная (интегральной) функции распределения случайной величины.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА АКСИОМ. Система аксиом, определяющая математический объект однозначно с точностью до изоморфизма.
ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ. Множество событий, которые попарно
несовместны, а их объединение (сумма) является достоверным
событием.
ПОСТУЛАТ – аксиома или правило вывода.
ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ СОБЫТИЕ к данному событию A — событие, которое происходит только в том случае, если не происходит
данное событие A. Обозначается обычно A или A' .
Р
РАВНОМЕРНОЕ распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной ВЕЛИЧИНЫ с плотностью вероятности
f ( x)  1 /(b  a) на отрезке [a, b], и равный 0 вне его. Для равномерного распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и
24
(b  a) 2
, а ИНТЕГРАЛЬНАЯ
12
ïðè
xb
 1
x a
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ F ( x)  
ïðè x  [a; b] .
b

a

ïðè
xa
 0
ДИСПЕРСИЯ M ( x) 
ab
,
2
D( x) 
РАЗМЕЩЕНИЯ. Соединения, составленные из n различных элементов по
m элементам, которые отличаются друг от друга либо составом
элементов, либо их порядком. Обозначается Anm . Число размещений Anm 
n!
.
(n  m)!
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ вероятностей. Закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ. Распределение вероятностей дискретной случайной величины, при котором она принимает значения
k = 0,1,2, … ,n с вероятностью P(k )  Cnk p k q nk , где p – параметр
распределения, 0  p  1 , q  1  p Cnk — БИНОМИНАЛЬНЫЙ
КОЭФФИЦИЕНТ.
Для
распределения
Бернулли
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) = np,
D(X) = npq. Применяется в задачах, где производится фиксированное число одинаковых независимых испытаний и интересуются появлением определенного числа успехов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. Распределение вероятностей дискретной случайной величины, при котором она принимает значения
k = 0,1,2, … ,n с вероятностью P(k ,  )  (k / k!)e , где λ > 0 – параметр
распределения.
Для
распределения
Пуассона
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) =
D(X)=
λ.
Соответствует
пределу
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
БЕРНУЛЛИ при p  0 , n   при условии, что np   . Применяется в задачах, где производится очень большое число одинаковых независимых испытаний, а вероятность успеха в каждом
отдельном испытании очень мала.
С
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ (в теории вероятностей) - событие, которое
может при осуществлении данных условий (т. е. при данном
испытании) как произойти, так и не произойти, и для которого
имеется определенная вероятность его наступления.
СОЧЕТАНИЯ. Соединения, составленные из n различных элементов по m
элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним
C nm .
элементом.
Обозначается
Совпадает
с
25
БИНОМИНАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ. Число сочетаний
Cnm 
n!
.
m!(n  m)!
СРЕДНЕЕ взвешенное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , равная
p1a1  p2 a2  ...  pn an
, где числа pi называются
p1  p2  ...  pn
весами чисел ai .
СРЕДНЕЕ выборочное. Среднее арифметическое от полученных значений измеряемой величины.
СРЕДНЕЕ квадратичное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , определяемая формулой
a12  a22    an2
.
n
СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ.
Корень квадратный из дисперсии. Обозначается обычно σ .
СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ. См. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
ОТКЛОНЕНИЕ.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ Однозначно определенное правило,
руководствуясь которым проверяемую гипотезу о свойствах
генеральной совокупности отклоняют или принимают.
СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. См. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
БЕРНУЛЛИ.
Т
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции
над ними.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА. Числовая функция результатов
наблюдений, значение которой ближе всего к неизвестному
параметру генеральной совокупности.
У
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ. Описывает связь условной средней одной
случайной величины Y от соответствующих значений другой
величины X. В случае линейной связи уравнение линейной реY Y
X X
 rX ,Y
, где X , Y — ВЫБОРОЧНЫЕ
 (Y )
 (X )
X и Y, а  ( X ),  (Y ) — СТАНДАРТНЫЕ
грессии имеет вид:
СРЕДНИЕ от
ОТКЛОНЕНИЯ X и Y,
КОРРЕЛЯЦИИ между X и Y.
26
а
rX ,Y —
КОЭФФИЦИЕНТ
Ф
ФАКТОРИАЛ. Функция, определенная на множестве натуральных чисел.
(Название происходит от латинского factor- «сомножитель»).
1 2  3    n n  1
1
n0

Обозначается n! По определению n! 
ФУНКЦИЯ
распределения
(дифференциальная).
См.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ФУНКЦИЯ распределения (интегральная). Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х принимает значение, не
превышающее х.
Ц
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ — класс теорем в теории
вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества
слабо зависимых случайных величин имеет распределение
близкое к НОРМАЛЬНОМУ. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных
факторов, центральные пределы теоремы обосновывают популярность нормального распределения.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. k-м центральным моментом случайной величины X, называется число
M (( X  M ( X )) k ) , где M – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. В
частности, первый центральный момент тождественно равен
нулю, а второй центральный момент — это ДИСПЕРСИЯ случайной величины.
Э
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ (ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины
с плотностью вероятности f ( x)  ex при x ≥ 0, f(x)=0 при x < 0,
где λ – параметр распределения. Для экспоненциального распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ
M(X) = np, D(X) = npq.
27
ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ОСТАТОЧНЫХ
ЗНАНИЙ
Рекуррентные соотношения
1. Задание
Выделите правильный ответ:
Последовательность задана рекуррентным соотношением
an1  an  (1) n , n  0, a0  20. Тогда a20 
 0  20  19  21  40  Нет среди приведенного
2. Задание
Выделите правильный ответ:
Последовательность задана рекуррентным соотношением
an1  an  (1) n , n  0, a0  20. Тогда a20 
 0  20  19  21  40  Нет среди приведенного
3. Задание
Выделите правильный ответ
Последовательность задана рекуррентным соотношением
an1  an  an1 , n  1, a0  1, a1  1 . Тогда a10 
 0  1  13  21  -1  Нет среди приведенного
4. Задание
Выделите правильный ответ
Последовательность задана рекуррентным соотношением
an1  an  an1 , n  1, a0  2, a1  1 . Тогда a10 
 0  1  -8  13  -21  Нет среди приведенного
5. Задание
Выделите правильный ответ
Последовательность задана рекуррентным соотношением
an1  2an  an1 , n  1, a0  2, a1  1 . Тогда a10 
 0  1  13  -1  -7  Нет среди приведенного
28
Множества
6. Задание
Выделите правильный ответ
Заданы множества A = {1;2;3;4;5}, B = {1;3;5;6;7}, C = {1,2,3,4,8}. Тогда
множество D = ((AB) (BC))\B равно
{1;2;3}   {1;3;5} {3;4;5;6;7} {8}  Нет среди приведенного
7. Задание
Выделите правильный ответ
Заданы множества A = {1;2;3;4;5}, B = {1;3;5;6;7}, C = {1,2,3,4,8}. Тогда
множество D = (BC)\(AB) равно
{1;2;3}  {1;3;5} {3;4;5;6;7} {8}  Нет среди приведенного
8. Задание
Выделите правильный ответ
Заданы множества A = {1;2;3;4;5}, B = {1;3;5;6;7}, C = {1,2,3,4,8}. Тогда
множество D = (AB) (BC) равно
{1;2;3}  {1;3;5} {1;2;3;4;5;6;7} {8}  Нет среди приведенного
9. Задание
Выделите правильный ответ
Заданы множества A = {1;2;3;4;5}, B = {1;3;5;6;7}, C = {1,2,3,4,8}. Тогда
множество D = ((AC) \B)\A равно
{1;2;3}  {1;3;5} {1;2;3;4;5;6;7} {8}  Нет среди приведенного
Комбинаторика
10. Задание
Выделите правильный ответ
Число способов которыми можно в группе из 15 студентов выбрать команду из 3 человек равно
 1365  455  910  2730  91
11. Задание
Выделите правильный ответ
Число способов которыми можно из 10 студентов выбрать 5 человек равно
29
 252  420  5040  42  Нет среди приведенного
12. Задание
Выделите правильный ответ
Число способов которыми можно 6 книг разделить поровну между 3 студентами равно
 90  45  5  15  Нет среди перечисленного
13. Задание
Выделите правильный ответ
Число способов, которыми можно 6 различных книг расставить на книжной полке, равно
 720  120  1740  24  Нет среди приведенного
14. Задание
Выделите правильный ответ
Число способов которыми 4 одинаковые книги можно раздать 6 студентам
(так, чтобы каждый получил не более одной) равно
 360  720  120
 24
15. Задание
Установите правильное соответствие
Число размещений
Число перестановок
Число сочетаний
n!
(n  m)!
Pn  n!
n!
Cnm 
(n  m)!
Anm 
Дискретные случайные величины
16. Задание
Дискретная случайная величина Х задана своей таблицей распределения.
Математическое ожидание M(X) равно
X
p
1
2
3
0,3 0,5 0,2
 1,9  2
 1  0  Нет среди перечисленного
30
17. Задание
Дискретная случайная величина X задана своей таблицей распределения.
Математическое ожидание M(X) равно
X
1
p
0,1 0,4 0,5
0
1
 0,4  0,5  0,1  -1  Нет среди перечисленного
18. Задание
Выделите правильный ответ
Две монеты подбрасываются один раз. Пусть X - число выпавших орлов
(X=0,1,2). Таблица распределения случайной величины X имеет


X
p
X
0
1
2
0,25 0,5 0,25
0
1
2
p 0,5 0,25 0,25
 Íè îäíà è ç ïðèâåäå ííîãî


X
p
X
0
1
2
0,25 0,25 0,5
0
1
2
p 1/ 3 1/ 3 1/ 3
19. Задание
Выделите неверные таблицы
Среди приведенных таблиц распределения дискретной случайной величины X есть две неверные (невозможные).

X
1
p
0,1 0,8 0,1
0
1
 Íè îäíà è ç ïðèâåäå ííîãî

X
1
p
0,1 0,9  0,1
0
1



X
0
1
2
p 1/ 3 1/ 3 1/ 3
X 1 0
1
p
X
0,1 0,7 0,3
1 0
1
p
0,2 0,6 0,2
20. Задание
Дискретная случайная величина Х задана своей таблицей распределения.
Дисперсия D(X) равна
X
1
p
0,2 0,6 0,2
0
1
 0,4  0,6  1  0
 Ни одна из приведенного
21. Задание
Дискретная случайная величина Х задана своей таблицей распределения.
Дисперсия D(X) равна
31
X
1
p
0,1 0,8 0,1
0
1
 0,2  0,1  1  0  Ни одна из приведенного
22. Задание
Дискретная случайная величина X задана своей таблицей распределения.
Математическое ожидание M(X) равно
X
1
p
0,1 0,8 0,1
0
1
 0  -1  1  0,4  Ни одна из приведенного
32
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ........................................................................ 3
Выписка из государственного образовательного стандарта ....................... 3
Цели и задачи дисциплины ............................................................................. 4
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................ 6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ..................................................................................... 7
Содержание лекционных занятий. ................................................................. 7
Содержание практических занятий. ............................................................... 8
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. ..................................................... 9
Задачи по курсу «Дискретная математика» ................................................ 10
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ . ERROR! BOOKMARK NOT
DEFINED.
Учебники ......................................................... Error! Bookmark not defined.
Задачники ........................................................ Error! Bookmark not defined.
Справочники. .................................................. Error! Bookmark not defined.
ГЛОССАРИЙ ..................................................................................................... 18
ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ.................................. 28
СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................. 33
33
1
СПбИВЭСЭП
Санкт-Петербург, Литейный пр., 42
Подписано к печати __.__.2011 г. Тираж ____ экз.
Ризограф о-ва «Знание»
1
34