6617x

6617. На гладкой горизонтальной плоскости стоит клин,
привязанный к стене невесомой горизонтальной нерастяжимой
нитью. На клин кладут брусок, который начинает соскальзывать с
клина (см. рисунок). Коэффициент трения бруска о клин равен μ =
1/√3≈ 0,577. При какой величине угла α сила натяжения нити будет
максимальна?
Дано: μ = 1/√3≈ 0,577.
Найти: α=?
Решение. Ясно, что если брусок покоится на шероховатой
поверхности клина, то нить не будет натянута. Поэтому брусок
должен скользить по клину. Обозначим массу бруска через m.
Тогда на клин со стороны бруска действуют сила нормального
давления
𝑁 ′ = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼
и сила трения
𝐹 ′ = 𝜇 ∙ 𝑁 ′ = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼,
а со стороны нити - сила натяжения T (см. рисунок). Так как клин покоится, то сумма
проекций этих сил на горизонтальное направление равна нулю:
𝑇 − 𝑁 ′ ∙ sin 𝛼 + 𝐹 ′ ∙ cos 𝛼 = 0.
Отсюда
𝑇 = 𝑁 ′ ∙ sin 𝛼 − 𝐹 ′ ∙ cos 𝛼 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 − 𝜇 ∙ cos 2 𝛼) =
sin 2𝛼 𝜇
𝑚𝑔
(sin 2𝛼 − 𝜇 cos 2𝛼 − 𝜇) =
=𝑚∙𝑔∙(
− ∙ (1 + cos(2 ∙ 𝛼))) =
2
2
2
𝑚𝑔√1 + 𝜇2
1
𝜇
𝜇𝑚𝑔
=
∙ sin 2𝛼 −
cos 2𝛼) −
(
2
2
√1 + 𝜇2
√1 + 𝜇2
Вводя обозначений
𝜇
1
sin 𝜓 =
и 𝑐𝑜s 𝜓 =
,
√1 + 𝜇2
√1 + 𝜇2
полученное выражение можно переписать в виде:
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ √1 + 𝜇2
𝜇∙𝑚∙𝑔
𝑇=
∙ sin(2 ∙ 𝛼 − 𝜓) −
2
2
Оно достигает максимума при
𝜋
2∙𝛼−𝜓 = .
2
Далее для того, чтобы выразить α через ψ (а значит, и через μ), нужно использовать
тригонометрическую функцию, изменяющую знак при переходе через π/2, так как
угол 2α может изменяться в пределах от 2∙arctan(μ) до π. В данном случае наиболее
удобно использовать функцию тангенс. Тогда
𝜋
1
tan 2𝛼 = tan (𝜓 + ) = − cot 𝜓 = − .
2
𝜇
Отсюда получаем искомое значение угла наклона:
arctan(−𝜇) 𝜋 arctan 𝜇 𝜋
𝛼=
= +
= .
2
4
2
3
Ответ.
𝝅 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝝁
𝝅
𝜶= +
,𝜶 = .
𝟒
𝟐
𝟑