6611x

6611. Обруч диаметром D располагается в вертикальной плоскости. В
точке A, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра обруча, на
шарнире закреплен желоб, угол наклона которого можно менять (см.
рисунок). По желобу из точки A пускают скользить с нулевой начальной
скоростью небольшой брусок. Найти зависимость времени τ, через
которое брусок достигнет точки пересечения желоба и обруча, от угла α,
который желоб образует с вертикалью. Коэффициент трения бруска о желоб μ. Найти
время τ для случая D = 90см, α = 45° и μ = 0,5, ускорение свободного падения при
расчете принять g = 10 м/c2.
Дано: D = 90см; α = 45°; μ = 0,5; g = 10 м/c2
Найти: τ=?
Решение. Уравнение движения бруска по желобу, составляющему угол α
свертикалью, имеет вид:
𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼,
откуда получаем ускорение бруска
𝑎 = 𝑔 ∙ (cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼),
Из кинематического соотношения
2∙𝐿
𝜏=√
,
𝑎
где
𝐿 = 𝐷 ∙ cos 𝛼
путь, пройденный бруском до точки пересечения желоба с обручем, находим ответ:
𝜏=√
2∙𝐷
.
𝑔 ∙ (1 − 𝜇 ∙ tan 𝛼)
В диапазоне
0 ≤ 𝛼 < arctan 𝜇
время движения бруска увеличивается с ростом α. При
𝛼 ≥ arctan 𝜇
брусок, предоставленный самому себе, двигаться не будет. Для заданных численных
значений получаем:
2 ∙ 0,90
𝜏=√
с = 0,6 с.
10 ∙ (1 − 0,5 ∙ tan 45°)
Ответ.
𝝉=√
𝟐∙𝑫
при 𝟎 ≤ 𝜶 < 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝝁 ; 𝝉 = 𝟎, 𝟔 с.
𝒈 ∙ (𝟏 − 𝝁 ∙ 𝐭𝐚𝐧 𝜶)