Программа вступительного испытания по математике

Программа вступительного испытания по математике
Вступительные испытания проводятся в форме контрольной работы.
На вступительном экзамене по математике поступающий должен показать:
 четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение применять их на практике;
 умение точно и сжато выражать математическую мысль в письменном
изложении;
 уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.
Основные умения и навыки
Абитуриент должен уметь:
Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений.
Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные; выражений, содержащих степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств
первой и второй степени и приводящиеся к ним; решать уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Решать текстовые задачи на составление уравнений и систем уравнений. Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при решении геометрических задач.
Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих
операций.
Пользоваться понятием производной при исследовании функций на
возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.
Решать элементарные задачи по планиметрии и стереометрии.
Программа по математике
Арифметика, алгебра и начала анализа
Натуральные числа (ℕ). Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Целые числа (ℤ). Рациональные числа (ℚ), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
Действительные числа (ℝ), их представление в виде десятичных дробей. Изображение чисел на прямой линии. Модуль действительного числа.
Его геометрический смысл.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения(в том числе для кубов).
Степень с целым и рациональным показателем. Арифметический корень.
Логарифмы. Их свойства. Логарифм произведения, частного, степени.
Одночлен и многочлен. Многочлен от одной переменной. Действительные корни многочлена на примере квадратного трехчлена.
Понятие функции. Способы задания функции. Область ее определения,
множество значений функции. График функции. Возрастание (убывание)
функции, периодичность, четность, нечетность. Достаточные условия возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции.
Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное
условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Определение и основные свойства функций: линейной (𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏),
𝑘
квадратичной (𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐), степенной (𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ; 𝑦 = ), показа𝑥
𝑥
тельной (𝑦 = 𝑎 , 𝑎 > 0), логарифмической (𝑦 = log 𝑎 𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0),
тригонометрических (𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑦 = tg 𝑥, 𝑦 = ctg 𝑥), арифметического корня (𝑦 = √𝑥).
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители, теорема Виета.
Свойства числовых неравенств. Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.
Системы уравнений и неравенств. Решения системы уравнений, неравенств. Решение уравнений и неравенств с параметрами.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и
суммы n первых членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и
суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Решение уравнений вида: sin 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1; cos 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1; tg 𝑥 =
𝑎, 𝑎 ∈ ℝ; ctg 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того
же аргумента. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух аргументов
(формулы). Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы приведения. Преобразование в произведение сумм тригонометрических функций вида: sin 𝑥 ± sin 𝑦; cos 𝑥 ± cos 𝑦; tg 𝑥 ± tg 𝑦. Преобразование произведений вида sin 𝑥 ∙ cos 𝑦; sin 𝑥 ∙ sin 𝑦; cos 𝑥 ∙ cos 𝑦 в сумму. Формула вспомогательного аргумента.
Производные функций 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑦 = tg 𝑥, 𝑦 = ctg 𝑥, 𝑦 = 𝑎 𝑥 ,
𝑦 = 𝑥 𝑛 , 𝑦 = ln 𝑥.
Геометрия
Треугольник. Его основные свойства. Соотношения между сторонами в
треугольнике. Площадь треугольника. Признаки равенства треугольников.
Признаки подобия треугольников.
Четырехугольники и их свойства. Площади четырехугольников.
Свойства вписанных и описанных многоугольников.
Многогранники и их свойства. Объемы многогранников.
Основные формулы и теоремы
Арифметика, алгебра и начала анализа
Свойства функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 и ее график.
𝑘
Свойства функции 𝑦 = и ее график.
𝑥
Свойства функции 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 и ее график.
Свойства корней квадратного трехчлена, его разложение на линейные
множители.
Свойства числовых неравенств.
Логарифм произведения, степени, частного.
Определение и свойства функции 𝑦 = sin 𝑥 и ее график.
Определение и свойства функции 𝑦 = cos 𝑥 и ее график.
Определение и свойства функции 𝑦 = tg 𝑥 и ее график.
Определение и свойства функции 𝑦 = ctg 𝑥 и ее график.
Решение уравнений вида: sin 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1; cos 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1; tg 𝑥 =
𝑎, 𝑎 ∈ ℝ; ctg 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ.
Формулы приведения.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того
же аргумента.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Производная суммы двух функций.
Геометрия
Теорема Пифагора.
Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Теорема о трех перпендикулярах.
Требования к абитуриенту
На экзамене по математике поступающий должен продемонстрировать
умение:
 выполнять действия над числами и числовыми выражениями;
 преобразовывать буквенные выражения;
 производить операции над векторами(сложение, умножение на
число, скалярное произведение);
 переводить одни единицы измерения в другие;
 сравнивать числа и находить их приближенные значения;
 проводить операции над тождествами и неравенствами для буквенных выражений;
 решать уравнения, неравенства, системы и исследовать их решения;
 исследовать функции;
 строить графики функций и множества точек на координатной
плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
 пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессии;
 пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения;
 находить величины углов, длин, площадей, объемов;
 составлять уравнения, неравенства и находить значения величин,
исходя из условия задачи;

излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.
Литература
1. Гусев, В.А. Математика [Текст]: справочные материалы / В.А. Гусев,
А.Г. Мордкович. – М.: Дрофа, – 2010.
2. Иванов, А.А. Математика [Текст]: пособие для поступающих в вузы
/ А.А. Иванов, А.П. Иванов. – Пермь, – 2001.
3. Иванов, А.П. Математика [Текст]: тесты и контрольные работы по
математике: учебное пособие / А.П. Иванов. – Пермь, 2008.
4. Иванов, А.П. Тематические тесты по математике для подготовки к
вступительным экзаменам в ВУЗ [Текст]: учебное пособие / А.П. Иванов,
В.М. Кондаков. – Пермь, 2008.
5. Крамор, Б.С. Повторяем и систематизируем курс алгебры и начал
анализа. [Текст] / Б.С. Крамор. – М.: Просвещение, – 2009.
6. Крамор, Б.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. [Текст] / Б.С. Крамор. – М.: Просвещение, – 2009.
7. Мельников, И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах [Текст] / И.И. Мельников, И.Н. Сергеев. – М., – 2007.
8. Мерзляк, А.Г. Алгебраический тренажер [Текст]: пособие для
школьников и абитуриентов / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. –
Харьков, – 2012.
9. Потапов, М.К. Алгебра и анализ элементарных функций [Текст] /
М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. – М., – 2009.
10. Райхмист, Р.Б. Задачник по математике для учащихся средней
школы и поступающих в вузы (с решениями и ответами) [Текст]: учебное пособие / Р.Б Райхмист. – М., – 2008.
11. Сканави, М.И. Сборник конкурсных задач по математике для
поступающих во втузы [Текст]: учебное пособие: в 2 т. / М.И. Сканави; под
ред. М.И. Сканави. – М., – 2012.
12. Ткачук, В.В. Математика – абитуриенту [Текст]: в 2 т. /. В.В.
Ткачук. – М., – 2010.
13. Черкасов, О.Ю. Математика для поступающих в серьезные вузы
[Текст] / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – М.: Московский Лицей, – 2007.