Глава 4. Деформируемая среда. Пример 1

38
Глава 4. Деформируемая среда.
Пример 1
Концентрация напряжений в стальной детали.
1) Что необходимо определить?
В стальной детали три отверстия. В концевые отверстия продеты
втулки, через которые на деталь передается растягивающая
нагрузка. Определить максимальную нагрузку, которую выдержит
деталь.
2) Выбираем прямоугольную систему координат так, чтобы оси
совпадали с ребрами детали.
3) Какие механические величины необходимо найти?
Определение допустимой нагрузки – это задача прочности. Для
стали лучшие результаты дает теория максимальных касательных
напряжений (см. 10 главу Части 1). Для ее использования
необходимо найти напряженное состояние в самой нагруженной
точке, т.е. найти распределение напряжений в детали.
4) Выбор модели? Для определения напряжений необходимо
использовать модель непрерывной среды. Так как распределение
напряжений вокруг отверстий не можем считать равномерным,
следовательно не можем применить теорию стержней. Используем
модель непрерывной среды. Уравнения данной модели выведены в
Части 1 (см. &6.3.):
Уравнения равновесия   ij, j  0;  ij   ji ;
y
j
Физические свойства материала  i   i ( i );
 ij   ij (  ij );
Геометрические связи
 i  u i ,i ;
 ij  ui , j  u j,i .
x
5) Применение модели к задаче. Прежде всего уточним
z
уравнения физических свойств эластичного материала. На
бесконечно малый объем действуют 9 компонент тензора
напряжений.Три из них вызывют линейные деформации ij, а остальные 6 – угловые
деформации ij.
Линейные деформации. Если деформации малы и действует закон Гука (см. Части
1 &6.1.), тогда действие напряжений (xx, yy, zz) можем рассматривать как сумму от
действия каждого напряжения. На рисунке представлен случай, когда действует только
xx. Это напряжение вызывает деформацию xx в направлении оси x (см. Часть 1 &6.1.1):
 x xx 
 xx
.
E
39
В направлении напряжения xx деталь
удлиняется, а в перпендикулярных направлениях сужается. Величина сужения также
определяется
только
эксперементально.
Описать ее можно при помощи коэффицента
Пуассона . В этом случае поперечная
деформация s определяется как произведение
продольной деформации g на коэффицент
Пуассона 
(P4-1-1)
 s   g .
Для объема, представленного на рисунке
поперечная деформация будет
 x yy   x xx ;  x zz   x xx .
Таким образом через напряжение xx нашли
все три деформации.
y
dx
x
xx
dy
dz
z
Нетрудно заметить, что меняя только индексы, можем получить также деформации
от yy:
 y yy 
и zz:
 z zz 
 yy
E
; 
y
xx
  y yy ;  y zz   y zz ;
 zz
z
z
z
zz
;  xx    zz ;  yy    zz .
E
Если на кубик действуют сразу все три нормальных напряжения (xx, yy, zz), то
общую деформацию вдоль какой-либо из осей можем найти как сумму деформаций от
каждого из напряжений:
 xx  ( yy   zz )
 xx
 ( yy   zz ) 
;
E
E
 yy  ( xx   zz )
(P4-1-2)
 yy   x yy   y yy   z yy 
;
E
 zz  ( yy   xx )
 zz   x zz   y zz   z zz 
.
E
 xx   x xx   y xx   z xx 
Получили закон Гука в общем виде для случая нагружения в трех направлениях.
Угловые деформации могут появиться только от действия соответствующих
тангенциальных напряжений ij (i, j = x, y, z, i  j), т.е. имеем 6 соотношений (см. Часть 1
&6.1.2):
 ij 
 ij
G
.
(P4-1-3)
Сокращение числа неизвестных. Растягиваем плоскую деталь, т.е. размеры детали
в направлении оси z намного меньше размеров в двух других направлениях.
Приложенные силы действуют в направлении оси y и по оси z их можно принять
равномерно распределенными. Это означает, что у нас плоское напряженное состояние
(нет напряжений, у которых в индексе есть z, zz = xz = yz = 0). Хотя перемещение в
направлении оси z есть, оно не является независимым и определяется как поперечная
40
деформация при помощи коэффицента Пуассона. Таким образом система уравнений
выглядит следующим образом:
Уравнения равновесия
 xy  yy
 xx  xy

 0;

 0 ;  xy   yx ;
x
y
x
y
Физические свойства материала
 xx 
 xx   yy
E
Геометрические связи
 xx 
;  yy 
 yy   xx
E
;  xy 
 xy
G
;
u y
u y
u
u x
;  xy  x 
;  yy 
.
y
x
y
x
1) По контуру, изображенному целой линией напряжений нет
(xx = yy = xy = 0).
2) На пунктирных линиях заданы перемещения. Приняв, что
втулки гораздо тверже (закаленная сталь) материала детали,
не учитываем деформации втулок. Поэтому для верхнего
отверстия uy = , для нижнего uy = -. Второе условие на
пунктирном контуре ux = 0.
6) Граничные условия.
uy
.
7) Сетка конечных элементов. Счетную работу можем снизить, заметив, что задача
является симметричной отномительно вертикальной и горизонтальной осей. Поэтому
можем рассчитывать только одну четвертую часть детали. Это требует задания граничных
условий на осях симметрии:
- на вертикальной оси ux = 0 и xy = 0 (нет сдвига частей относительно друг друга);
- на горизонтальной оси uy = 0 и xy = 0 ( нет сдвига частей относительно друг друга).
Сетку конечных элементов выбираем неравномерную со сгущением у отверстий, т.к.
здесь может быть неравномерное распределение рассчитываемых функций (см. рис.).
8) Результаты расчета компьютерной программы. Компьютерная программа
высчитывает в каждом узле сетки все неизвестные величины: ux, uy, xx, yy, xy. Эту
информацию мы можем получить в удобном для нас виде. Посмотрим как
распределяются напряжения yy в двух характерных сечениях.
41
 maxyy=3
 yy=
В сечении, которое находится на достаточном
растоянии от отверстий (больше трех диаметров)
напряжения растяжения распределяются практически
равномерно yy = .
В сечении же где есть отверстие напряжения
распределяются существенно неравномерно. Наибольшее
значение в три раза превышает среднее.
9) Оценка прочности. Выделив из детали малый куб,
определяем напряженное состояние. На куб (квадрат в
плоской задаче) действуют напряжения xx, yy, xy.
yy
max
xx
xy
Выбираем теорию прочности. Для пластичных материалов лучше всего подходит теория
максимальных касательных напржений (см. Часть 1 &10.5.1.). В точках с наибольшими
напряжениями (край отверстия) необходимо произвести расчет при повернутом кубе.
Вести расчет при различных углах поворота и сравнивать необходимо до тех пор, пока не
найдем положение с наибольшим касательным напряжением max. Сравниваем это
напряжение с экспериментом,
учитывая, что в соответствии с этой теорией
прочности эквивалентное
напряжение растяжения

 e  2 max .
Эквивалентное напряжение показывает какой
точке на эксперементальной диаграмме
растяжения соответствует
напряженное
состояние самой нагруженной точки нашей
детали.
e

Пример 2
Почему для определения свойств материала производят растяжение стандартных
образцов в форме стержня?
1) Что необходимо определить? В качестве стандартных образцов для определения
свойств материала используют довольно длинные образцы с неизменным поперечным
сечением. При растяжении у них замеряют (см. Часть 1 &6.1.1.) удлиннение средней (с
неизменным поперечным сечением) части. Для определения величены напряжения силу
делят на площадь поперечного сечения, т.е. считают, что напряжения по поперечному
сечению распределяются равномерно. Выясним является ли данное предположение
правильным.
2) Выбор системы координат.
42
Рассмотрим образец длинной L с квадратным поперечным
сечением (длина стороны a). Прямоугольную систему координат
выбираем так, чтоб оси были параллельны ребрам образца. Начало
координат поместим в центр образца (на пересечениии осей
симметрии).
3) Какие механические величины необходимо найти? Если
предположение о том, что напряжения распределяются по площади
равномерно, верно, то система уравнений деформируемой упругой
среды должна удовлетворять решению
 yy 
F
 C  const ;  xx   yy  0 ;
S
 xy   xz   zy  0 .
y
(P4-2-1)
x
z
Решению необходимо также удовлетворять граничным условиям.
4) Какую модель выбираем. Система уравнений непрерывной
среды выведена в Части 1 (см. &6.3.). Уравнения свойств
материала в случае упругой деформируемой среды уточнены в
предыдущем примере (P4-1-2).
5) Применение модели к заданию.
Уравнения равновесия   ij, j  0 ;  ij   ji ;
j
удовлетворяют выражениям (P4-2-1), т.к. уравнения равновесия содержат только
производные напряжений по координатам, а (P4-2-1) производных не дают.
Физические свойства материала, определяемые уравнениями (P4-1-2), после подстановки
проверяемого решения (P4-2-1) принимают следующий вид:
 xx  
 yy
E

 xy 
C
;
E
 xy
G
0;
 yy 
 yy
 yz 
E
 yz
G

C
;
E
 0;
 zz  
 xz 
 yy
E

 xz
 0.
G
C
;
E
Геометрические связи дают возможность определить перемещения ui, зная деформации
 i  u i ,i ;  ij  u i , j  u j,i .
6) Граничные условия на четырех боковых поверхностях стержня задаются в
напряжениях:
a
нет приложенных внешних сил:
2
a
a
a
 xx ( , y, z )  0 ;  xy ( , y , z )  0 ;  xz ( , y, z )  0 .
2
2
2
a) на поверхности x 
В проверяемом решении все эти напряжения равны нулю, значит удовлетворяют
условиям.
a
нет приложенных внешних сил:
2
a
a
a
 xx (  , y , z )  0 ;  xy (  , y , z )  0 ;  xz (  , y, z )  0 .
2
2
2
b) на поверхности x  
Проверяемое решение удовлетворяет этим условиям.
43
a
нет приложенных внешних сил:
2
a
a
a
 zz ( x, y , )  0 ;  zy (x, y, )  0 ;  zx ( x, y , )  0 .
2
2
2
a
d) На поверхности z   нет приложенных внешних сил:
2
a
a
a
 zz ( x, y , )  0 ;  zy ( x, y , )  0 ;  zx ( x, y , )  0 .
2
2
2
c) на поверхности z 
Граничные условия на концевых поверхностях стержня определяются условно, т.к.
фактически (см. Часть 1 &6.1.1.) у образца за неизменной частью идет расширение, за
которое крепится захват разрывной машины.
Итак, на концах стержня для проверяемого решения
L
, z)  C ;
2
L
 yy ( x, , z )  C ;
2
 yy ( x,
L
, z)  0 ;
2
L
 yx (x, , z )  0 ;
2
 yx ( x,
L
, z)  0
2
L
 yz ( x, , z )  0 .
2
 yz ( x,
Обоснованность данного подхода подтверждает предыдущий пример, в котором
видели, что на достаточном расстоянии от концентраторов (в примере 1 от отверстий, в
данном примере от расширений) распределение напряжений выравнивается.
Вывод. Свойства материалов определяют растяжением стандартных образцов, т.к.
напряжения растяжения распределяются равномерно и других напряжений нет.
Пример 3
Почему для шлифовальных машин и точильных кругов определяют максимально
возможное чило оборотов?
1) Что необходимо определить? Точильные круги
изготавливают из абразивного материала со связующим
материалом керамического типа. Этот материал очень хрупкий.
r
Ограничение числа оборотов связано с прочностью круга. Для

определения прочности надо знать напряжения.
2) Выбор системы координат. Геометрия шлифовального круга
– это цилиндрическая поверхность. Поэтому удобней
использовать цилиндрическую систему координат. Учитывая,
что толщина круга b по сравнению с радиусом R невелика,
можем принять, что задача является плоской, т.е. напряжения не
являются функцией от z (ось, которая совпадает с осью
вращения). На плоскости данная система координат называется
полярной.
3) Какие величины «Механики» необходимо определить? Выделим из круга
элементарный куб. Так как работаем в полярной системе координат, то грани куба
создают координатные линии (часть круга, которая соответствует бесконечно малому
приращению угла d) и части радиуса (которые соответствуют изменению радиуса r на
величину dr). Так как задача осесимметричная, то при деформации куб симметрии не
теряет. Это означает, что нет сдвиговых напряжений r=0.
44
Наша задача – найти нормальные напряжения.
Так как сдвиговых напряжений нет, то
сократим число индексов при неизвестных
напряжениях: rrr и .
4) Какую модель выбираем?
Так как необходимо найти напряжения, то
использовать надо модель непрерывной
деформируемой среды. Особенность в том, что
выбрали
не
прямоугольную
систему
координат, а полярную. Поэтому не можем
использовать систему уравнений, полученную
в Части 1. Сохраняя отработанную в ней
методику, выведем уравнения в полярной
системе координат, учитывая, что задача
осесимметричная.
r

r 
 r
dr
r
r
d
r

dr
Уравнения равновесия. Так как задача осесимметричная, то нет различия, откуда начнем
отсчет угла . Примем, что начало совпадает с радиусом симметрии.
Так как нет касательных напряжений, значит нет уравнений моментов. Сумма всех
сил на ось, перпендикулярную радиусу, ничего нового не дает – напряжения  с двух
сторон должны быть равными.
Остается одно уравнение – сумма проекций всех сил на ось, параллельную
радиусу.
Вспомним,
что
в
случае
равномерного
вращения
появляется
2
центростремительное ускорение ar= r. Поэтому в сущности пишем уравнение
движения:
dm ar  (r 
r
d
dr )b(r  dr )d  r brd  2 bdr sin
r
2
( мало  sin(/2)/2). Выразив массу куба как произведение плотности  на объем куба
dm=brdrd, сократив все слагаемые на brdrd (объем куба) и отбросив бесконечно
малые величины высшего порядка, получаем:
2  
r r   
.

r
r
(P4-3-1)
Физические свойства материала определяются уравнениями
r 
 r   
E
:
 
    r
E
:
(P4-3-2)
Геометрические связи. То, что задача осесимметричная, позволяет сделать следующие
выводы: при деформации точильного круга точка может перемещатся только в
направлении радиуса - это перемещение и есть ur. Это означает, что длина окружности (на
которой находится точка) 2r увеличивается до 2(r+ur). Деформация  по сути есть
деформация окружности, т.е:
 
2(r  ur )  2r u r
 .
2r
r
(P4-3-3)
Вторая геометрическая связь не меняется по сравнению с прямоугольной системой
координат, т.к. ось остается прямой. Первую связь надо было выводить заново, т.к.
переменной координатой был угол.
45
r 
u r du r

;
r
dr
(P4-3-3)
Записывая это выражение, учитывали, что перемещение ur в осесимметричной задаче не
может быть функцией ни от z ни от , и поэтому частная производная по радиусу
одновременно является и полной производной.
5) Применение модели к заданию. Получили 5 уравнений (P4-3-1), (P4-3-2), (P4-3-3) с 5
неизвестными. У задания есть аналитическое решение.
Исключаем постепенно из системы неизвестные, оставляя только ur. Подставим
(P4-3-3) в (P4-3-2), исключив деформации. Получаем:
r 
E du r
ur
E
du r u r
;
(


)


(

 ) . (P4-3-4)

r
dr
r
1   2 dr
1  2
Остается подставить данное выражение в уравнение движения (P4-3-1), и получить
одно дифференциальное уравнение с одной неизвестной функцией ur=ur(r):
E
2r d 2ur 1 du r ur
,
где
.






1  2
dr 2 r dr r 2
Решение данного уравнения (проверьте подстановкой!)
1 82 3
ur  C1r  C2 
r .
r

6) Граничные условия. Для нахождения двух констант интегрирования необходимы два
граничных условия.
О перемещениях можем сказать только то, что в центре круга (r=0) перемещений
не будет, т.е. C2=0, иначе перемещение центра будет не ноль, а бесконечно большая
величина.
Второе граничное условие найдем, зная, что к внешней поверхности круга (r=R)
нет приложенных сил, т.е. r(R)=0.
Используя это, получим
82 R 2
C1  
(3  ) .

7) Допустимое число оборотов круга определяется из условия прочности. Так как
материал очень хрупкий, то шлифовальный круг трескается в том сечении и в той точке,
где действуют наибольшие напряжения растяжения.
Подставив найденные постоянные интегрирования в выражение перемещения, а
его в свою очередь в выражение напряжения, получаем
2
r 
( 3   )( R 2  r 2 ) ;
8
2
 2
 
[R ( 3  )  r 2 (1  3)] ;
8
Как видим, наибольшие напряжения (R0) при меньшем радиусе круга, т.е. на валу. Эти
напряжения должны быть меньше допустимых при растяжении  и допустимую
скорость вращения  получаем из условия прочности:

[]  [2 ] [R 2 ( 3   )  R 02 (1  3 )] .
8
46
Пример 4
Определение срока службы прокладки
1) Что необходимо определить?
На практике наблюдается явление, когда резиновая (или похожего материала)
прокладка после определенного срока службы (несколько лет) больше не держит давление
жидкости (или газа). Как определить время tk, через которое прокладка не будет держать
давление q?

0

q
q
t
tk
2) Выбор системы координат.
В данной задаче мы ищем не распределение напряжений, а изучаем, что
происходит со временем. Поэтому фиксируем начальный момент времени, когда
конструкция была собрана.
3) Какие механические величины необходимо найти?
В момент сборки прокладка была сжата на величину . Этому сжатию соответствует
начальное напряжение 0. Если мы на практике наблюдаем, что напряжения со временем
уменьшаются (происходит релаксация напряжений), то неизвестной является функция
(t).
4) Выбор модели.` Для расчета напряжений, соответствующих сжатию , используем
модель непрерывной среды. При кратковременных процессах нас удовлетворяет простая
зависимость между деформациями и перемещениями , в данном же случае нас
интересует процесс, длящийся годами, поэтому необходимо уточнить уравнения свойств
материала.
Если напряжение меняется во времени, значит материал в
 e  E  s  
течение долгого времени течет. У него кроме упругих
свойств  появляются также свойства вязкой жидкости
  ( ) . Уравнения модели, которые описывали бы оба
свойства, можно составить по разному. Изобразим
графически модели обоих свойств.
В дальнейших расчетах каждое свойство будем описывать
линейно. На следующем рисунке показано несколько
простейших комбинаций.
Число
возможных
вариантов


неограничено, но необходимо учитывать,

что со сложной моделью труднее
E1
работать,
т.к.
количество
эксперементально
определяемых
констант растет. Нельзя использовать

также модель с малым числом констант,
E2
т.к. она должна описывать основные
свойства системы при эксперименте.
c)
a)
b)
47
Так у модели a) напряжение со времинем может упасть до нуля (вязкий элемент
растягивается до бесконечности).
Примем, что эксперимент достаточно хорошо описывает трехэлементная модель c).
Связь между напряжением  и деформацией  получим, составляя три традиционные
группы уравнений:
Уравнения равновесия:

a) Общее напряжение  равняется напряжению в первом элементе1
=1;
(P4-4-1)

b) Сумма напряжений во втором 2 и третьем 3 элементах равняется
E1
общему напряжению
2  3   .
(P4-4-2)
Геометрические связи:

E2
Из рисунка видно, что имеются следующие зависимости
2  3 ,
  1   2 .
Уравнения свойств каждого элемента
 1  E1  1 ,
 2  E 2 2 ,
(P4-4-3)
σ3  ηε 3 .
(P4-4-4)
Получили систему 7 уравнений (P4-4-1), (P4-4-2), (P4-4-3) и (P4-4-4). Исключим из
них вспомогательные величины 1, 2, 3, 1, 2, 3. Остается одно уравнение,
связывающее  и  (Проверьте! Не забудьте, что  

E
  (1  2 )    E2
E1
E1
d
):
dt
(P4-4-5)
5) Применение модели к заданию.
В случае релаксации напряжений (t)=const, т.е.   0 . Уравнение (P4-4-5)
становится дифференциальным уравнением для нахождения (t):
E

  (1  2 )  E 2  .
E1
E1
Его решение
(t )  Ce
(
E1  E 2
)t


E1E 2
.
E1  E 2
Неизвестную константу интегрирования найдем из условия, что в начале нагружения
(0)= 0.
Срок службы прокладки tk найдем, зная, что прокладка начинает пропускать, когда
(tk)=q.
Пример 5
Ползучесть.
Ползучесть появляется в случае приложения неизменной нагрузки на деталь, материал
которой обладает вязкими свойствами. Ползучестью называют явление, когда при
неизменной нагрузке с течением времени меняются размеры детали.
48
Если изменение свойств материала во времени описывается при
помощи (P4-4-5), т.е. подходит трехэлементная модель, то учитывая, что
(t)=const, получаем дифференциальное уравнение для определения (t):
(1 

E2
)    E 2 .
E1
Постоянные интегрирования находим из условия, что известна
деформация в начальный момент времени (0)=0.
Пример 6
Расчет стены, подпирающей насыпь.
1) Что необходимо определить?
Основная задача – это расчет стены на
прочность (или определение ее размеров).
2) Выбор системы координат.
Насыпь
Если
стена
достаточно
длинная
(перпендикулярно рисунку), то задачу
можно считать плоской. Оси x, y
совмещаем с плоскостью рисунка. Чтобы
легче было учесть собственный вес, ось y
направим
вертикально,
а
ось
x
горизонтально. Начало отсчета можем
Основание
выбрать в любом месте.
3) Какие механические величины необходимо найти?
y
Задание придется решать в несколько этапов.
a) Определение давления насыпи на стену. Собственный
вес насыпи создает давление на поверхность x=a (на
рисунке обозначена пунктиром). Каменную стену по
сравнению с насыпью можем считать недеформируемой.
Насыпь
Это дает возможность расчитать насыпь отдельно.
b) Расчет прочности основания. Стена зарыта в
основание. Обычно она уплотнена в земле (в отличие от
насыпи). Считая стену твердым (недеформируемым)
телом, необходимо проверить, не опрокинет ли давление
a
насыпи стену
c) Расчет на прочность стены. Из первого и второго
этапов знаем силы (давление), которые действуют на стену (пунктирные
лини на рисунке). Для определения прочности необходимо найти
наибольшие напряжения в стене.
4) Какую модель выбираем? На каждом этапе мы расчитываем напряжения
для отдельной среды. Это означает, что придется использовать отдельные
модели.
a) Модель сыпучей среды (песок насыпи, песок основания) получим из
модели деформируемой среды (ее уравнения получены в Части 1 (см.
&6.3.)), уточнив уравнения свойств материала.
Стена
x
49
Уравнения равновесия
  ij, j  0;
ij   ji ;
j
Геометрические связи  i  u i , i ;
 ij  u i , j  u j, i ;
Физические свойства материала
-В сыпучей среде не может быть напряжений растяжения, она держится вместе
только если есть напряжения сжатия.
 xx  0 и  yy  0 .
-Между слоями сыпучего тела действует сухое трение (см. пример 3 из 2 части
данного конспекта) и возможно слипание. Слипание означает, что в случае, когда
касательные напряжения n в сечении с нормалью n меньше граничного значения *, то
сыпуее тело рассматривается как упругая среда, у которой
 xx  E xx ,
 xy  G xy ,
 yy  E yy .
Сухое трение появляется тогда, когда касательные напряжения превышают граничное
значение и определяются в этом случае по зависимости сухого трения
 xy  f xx  n .
Коэффициент трения f определяется из простого эксперимента – по углу, до которого
можно насыпать кучу. Тангенс этого угла и есть коэффициент трения.
Уравнения модели насыпи и основания одинаковы. Меняются только константы f,
* ,т.к. песок основания более утрамбованный.
b) Опорная стена сложена из камня. Для нее в полном объеме подходит модель
упругой деформируемой среды (см. 1 пример данной главы).
5) Применение модели к заданию.
a) В начале рассчитаем насыпь. Ее система
y
p=0
уравнений:
Уравнения равновесия
 xx  xy

 0;
x
y
 xy  yy

 g ;  xy   yx ;
x
y
ux=0
ux=0
=0
x
a
Физические свойства материала
 xx 
Геометрические связи
 xx   yy
E
 xx 
:  yy 
 yy   xx
E
:
 xy 
u y
u x
u
;  xy  u x  y ;
;  yy 
y
x
y
x
=f
uy=0
 xy
G
;
В сравнении с предыдущей записью изменили обозначение касательных напряжений с 
на , чтобы подчеркнуть особенности среды.
Разобьем насыпь на конечные элементы и рассчитаем с граничными условиями,
обозначенными на рисунке. Проверяем, не образуются ли поверхности (не только
параллельные координатной плоскости!), на которых касательные напряжения
превышают критическое значение. Если такие поверхности образуются, то задача делится
на отдельные части по полученным поверхностям скольжения. На этих новых
поверхностях (с нормалью n) граничные условия будут:
50
-
перемещения обеих частей перпендикулярно поверхности одинаковы;
Касательные напряжения равны  xy  f xx   n .
b) Используя ту же модель, рассчитываем основание.
c) Из первых двух частей получили напряжения на поверхностях соприкосновения с
опорной стеной. Опорную стену также считаем методом конечных элементов. В
результате получим напряжения, действующие в опорной стене.
d) Стена сложена из хрупкого материала. Поэтому необходимо искать такую точку и в
такой плоскости, где действует самое большое напряжение растяжения и оно не должно
превышать допустимого
 max  [] .
Пример 7
Безотходная технология в металлообработке.
1) Что необходимо определить?
Безотходная технология в металлообработке - это технология обработки без снятия
стружки. Необходимую форму детали получают пластической деформацией. Необходимо
определить, как расчитать величину остаточных деформаций в обработанной детали и
какова должна быть форма штампа (тело, которым обрабатывают).
У безотходной технологии много преимуществ:
а) экономия металла;
b) высокая точность;
c) гладкая поверхность (без микротрещин), что особенно важно для деталей,
работающих при нагрузках, переменных во времени.
2) Выбор системы координат.
В этом примере не рассматриваем конкретные детали (зубчатое колесо, шлицевой вал,
швейную иглу и т.д.), расчет которых необходимо проводить методом конечных
элементов, а рассматриваем учет свойств пластичного материала в модели. Поэтому не
выбираем какую-то конкретную систему координат.
3) Какие механические величины необходимо определить?
Необходимо найти величину остаточных деформаций.
4) Выбор модели.
Деформации можно рассчитать только при помощи модели непрерывной среды. Основная
задача – правильное описание свойств материала.
Пластически деформировать можно только те

материалы, у которых наблюдается явление
текучести. На рисунке показана диаграмма
B
растяжения – сжатия мягкого железа с
A
выраженным пределом текучести t. Если
t
пластичный материал нагружают сверх
предела текучести (до точки A) и
разгружают, то разгрузка идет по прямой
AC, параллельной прямой в начале диараммы,
после разгружения которой нет остаточных

C
деформаций. Как видим из рисунка,
p
остаточная
деформация
p
меньше
A
деформации A, до которой идет нагружение.
51
На практике используют апроксимацию
диаграммы напряжение – деформация.
Простейшая из них представлена на
следующем
рисунке.
Эксперементальная
кривая заменена двумя прямыми линиями.
Тогда свойства материала описываются
следующими зависимости:
  t
σ  σt
   E

B
A
t
(P4-7-1)
 σ  E2ε  (E - E2) ε p
p

C
A
5) Применение модели к заданию.
Описание свойств материала рассмотрели для простейшего случая – растяжение
стержня, когда действует только одно напряжение. Напряженное состояние реального
обьекта гораздо сложнее. Задание придется решать поэтапно.
Первый этап – материал по всему объему работает работает упруго. На этом
этапе модель и ее использование совпадает с примером 1 данной главы.
Дополнительно в этом примере необходимо выяснить, при какой нагрузке (или
деформации) перестает работать модель первого этапа. Используем идею использования
теорий прочности (см. Часть1 &10.4.), которая позволяет при помощи теории прочности
определить значение эквивалентного напряжения при одноосном растяжении
соответствующего реальному сложному напряженному состоянию. Когда критерий (напр.
потенциальная энергия формоизменения) достигает значения, которое соответствует
пределу текучести t при одноосном растяжении, тогда соответственно в материале со
сложным напряженным состоянием достигается предел текучести и необходимо
переходить к зависимости t  2+(E-E2)p.
Второй этап - часть материала в упругом состоянии, часть в пластичном.
Используя модель первого этапа, нашли первую точку (первый конечный элемент), в
котором достигнут предел текучести. Для этого элемента меняем уравнения,
описывающие свойства материала, и продолжаем увеличивать нагрузку до тех пор, пока
предел текучести не будет достигнут в следующем элементе. Ему меняем уравнения и т.д.
Третий этап – разгрузка. При достижении максимальной нагрузки заканчивается второй
этап. Последний этап – разгрузка – убрали рабочий инструент, которым выдавливали
нужную форму. На этом этапе за начальную геометрию необходимо брать деформируемое
состояние. Необходимо использовать модель упругого тела (как в примере 1),
разгрузочная линия параллельна упругому участку линии нагружения. Так как
происходит разгрузка, то начинаем расчет с силы, которая была в конце второго этапа, но
с обратным знаком. В результате получим деформированное состояние после снятия
нагрузки. Оно отличается от состояния при максимальной нагрузке (когда штамп
полностью вдавлен в материал). Это означает, что штамп необходимо проектировать так,
чтоб необходимые размеры детали получались после разгрузки.
Часто, если необходимо получить большие остаточные деформации, не удается
получить результат за одно нагружение – необходимые деформации (напряжения)
больше, чем необходимые для разрушения материала. Тогда необходимую общую
деформацию получают в результате многократного нагружения, каждый раз увеличивая
величину деформации. Однако здесь необходимо считаться с еще одним свойством
материала. Каждый следующий раз (если нагружаем за предел текучести) материал
52
упрочняется, т.е. текучесть материала начинается при бóльших значениях напряжения.
Снизить предел текучести можно нагревом материала, издавна кузнецы обрабатывали
металл, сильно его разогрев.
Вопросы для проверки
1) Как записываются уравнения свойств материала для стали, если напряжения действуют
в нескольких направлениях?
2) Что такое коэффициент Пуассона и как его определить?
3) Дайте пример оценки прочности стальной детали.
4) Как распределяются напряжения по поперечному сечению растянутого стержня, если в
стержне поперечное отверстие? Как найти это распределение?
5) Почему для определения свойств материала производят растяжение стандартных
образцов в форме стержня?
6) Как необходимо нагружать стержень, чтобы напряжения распределялись равномерно
по его поперечному сечению?
7) Запишите все уравнения непрерывной среды и граничные условия для эксперимента на
растяжение.
8) Почему для шлифовальных машин и точильных кругов определяют максимально
возможное чило оборотов?
9) Что называют осесимметричной задачей в механике непрерывной среды?
10) Выведите уравнения равновесия непрерывной среды для осесимметричной задачи в
полярной системе координат.
11) Выведите соотношения между деформациями и перемещениями для осесимметричной
задачи.
12) Как можно определить срок службы прокладки?
13) Что такое релаксация напряжений?
14) Какие модели можно использовать для описания релаксации напряжений?
15) Выведите уравнение, описывающее изменение свойств материала во времени.
16) Что такое ползучесть?
17) Какие модели можно использовать для описания ползучести?
18) Какие модели механики используются для расчета стены, подпирающей песочную
насыпь?
19) Как описываются свойства материала сыпучей среды?
20) Что такое пластичный материал?
21) Почему в последнее время в металлообработке доминирует обработка давлением, а не
резанием?
22) Как можно определить, не началась ли пластическая деформация в какой-либо точке
детали?
23) Как упрощают кривую напряжение – деформация для пластичного материала?
24) Почему форма штампа не соответствует форме готовой детали при обработке
давлением?
25) Когда пластичный материал упрочняется?
26) Почему при ковке деталь нагревают?
27) Почему деталь, заготовка которой значительно отличается от детали, деформируют в
несколько шагов, а не сразу до нужного состояния?