Полное решение одного из вариантов Альсейтов Амангельды Гумарович, Преподаватель математики, директор

Полное решение одного из вариантов
ЕНТ по математике - II (задачи №№10-17)
Альсейтов Амангельды Гумарович,
Преподаватель математики, директор
образовательного центра «Альсейтов»
Задача №10. В порядке возрастания расположены числа под номером:
1. cos(25 / 9) ; sin( 4 / 5) ; cos(4 / 9) ; cos(5 / 9) .
2. sin 4 ; cos( / 9) ; cos(2 / 9) ; cos(5 / 9) .
3. cos(25 / 9) ; cos(4 / 9) ; cos(3 / 9) ; sin( 4 / 5) .
A) 1.
B) 2.
C) 1 и 2.
D) 3.
E) 2 и 3.
Решение. 1. cos(25 / 9)  cos(2 
7
7
)  cos
 0 ; sin( 4 / 5)  0 ;
9
9
cos(4 / 9)  0 ; cos(5 / 9)  cos(5 / 9)  0 , следовательно, эти
числа расположены не в порядке возрастания.
2. sin 4  0 ; cos( / 9)  cos(2 / 9)  cos(5 / 9) , следовательно, эти
числа расположены не в порядке возрастания.
3. cos(25 / 9)  cos(2 
sin( 4 / 5)  sin(
7
7
)  cos
 0 ; cos(4 / 9) ; cos(3 / 9) ;
9
9
 3
3 4 3 3
 )  cos .


, эти углы
2 10
10
9
9 10
принадлежат первой четверти, и в первой четверти косинус
убывает, следовательно, cos(25 / 9)  cos(4 / 9)  cos(3 / 9) 
 sin( 4 / 5) .
Ответ. 3.
D).
Задача
Найти
№11.
наибольший
корень
уравнения
cos x 
1
,
2
принадлежпщее отрезку 700 ; 1050   .
A) 780°.
B) 1030°.
C) 1020°.
D) 800°.
E) 1050°.
Решение. x  

3
 2n  60  360n , n  Z ;
1) n  2 : x  780  700; 1050  – из первой серии;
2) n  3 : x  1020  700; 1050  – из второй серии.
Наибольшее из них x  1020 .
Ответ. 1020°.
C).
Задача №12. Арифметическая прогрессия 6, 8, 10, ... и геометрическая
прогрессия 1, 2, 4, ... имеют по 61 члену. Сколько одинаковых членов в
обеих прогрессиях?
A) 6.
B) 4.
C) 5.
D) 7.
E) 3.
Решение. a1  6 , d  2 , a61  a1  60 d  126 и членами арифметической
прогрессии являются все четные числа между 6 и 126 включительно: 6,
8, 10, ..., 126;
b1  1 , q  2 , b61  b1q60  260 и членами геометрической прогрессии
являются числа, являющиеся степенями двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
128, ... . Общие им члены четыре: 8, 16, 32, 64.
Ответ. 4.
B).
Задача №13. Написать уравнение касательной к графику функции

y  2 cos3x  1, проведенной в точке M 0 ( ;  1) .
3
A) y  1 .
B) y  1 .
C) y  2 х 
D) y  2 х 
E) y  3х 

3

3

3
Решение. x0 
.
.
.


; y( x0 )  y( )  2 cos  1  1 , в начем случае можно
3
3
было не вычислять этот значение, т.к. оно дано в условиях задачи (в
общем
случае
задается
абсцисса
точки
касания,
а ординату
необходимо вычислять).
Находим производную данной функции: y  6 sin 3 x ;

y( x0 )  y( )  6 sin   0 .
3
Уравнение касательной: y  y0  y ( x0 )  ( x  x0 ) .
Подставим данные и вычисленные значения в последнюю формулу:
y  1 .
Ответ. y  1 .
Задача №14. Найти:
B).
а) все критические точки;
б) точки минимума и максимума
функции y  
x 3
 .
3 x
A) а) x1  3 , x2  0 , x3  3 ; б) xmax  x1 , xmin  x2 ,
B) а)
.
; б) нет точек минимума и максимума.
C) а)
; б)
,
D) а)
,
E) а)
,
,
; б)
,
; б)
,
Решение. Сначала отметим, что точка
.
.
.
не принадлежит области
определения данной функции.
а)
б)
– критические точки.
,
f ´(x)
f(x)
-
+
↓ -3
-
↓ 3
– точка минимума,
↓
– точка максимума.
, x 2  3 ; б) xmin  x1 , xm ax  x 2 .
Ответ. а)
C).
Задача №15. Найти период функции:
.
A) 2.
B) 2π.
C) 4.
D) π.
E) π/2.
Решение. Область определения функции вся числовая прямая,
т.к.
,а
.
.
, т.е. период
функции
.
Ответ. 2π.
B).
Задача №16. При каком значений точки
,
лежат
,
на одной прямой?
A) 0.
B) 1.
C) 5.
D) 7.
E) −7.
Решение. 1-способ. Уравнение прямой, проходящей через две данные
точки
плоскости
и
.
:
. По условиям задачи точка
Откуда
принадлежит этой
прямой, следовательно, его координаты должны удовлетворять
уравнению
:
.
2-способ. Пусть
уравнение искомой прямой. Точки
,
принадлежат этой прямой, следовательно, их координаты
должны удовлетворять уравнению:
. Из системы:
. Тогда искомое уравнение прямой
,
. Точка
должна принадлежать этой прямой, следовательно, его координаты
должны удовлетворять уравнению:
3-способ. Для того, чтобы точки
, откуда
,
,
.
принадлежали
одной прямой, необходимо и достаточно коллинеарность векторов
и
. Координаты вектора, заданного координатами своих концов,
определяются как разности соответствующих координат конца и
начала:
и
. Если
два вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты
пропорциональны:
Ответ.
.
. Откуда
и
.
Е).
Задача №17. Вычислить площадь треугольника со сторонами 13 см, 14
см и 15 см.
A) 42 см2.
B) 84 см2.
C) 36 см2.
D) 56 см2.
E) 72 см2.
Решение. Полупериметр треугольника
Герона площадь треугольника (
. По формуле
):
.
Ответ. 84 см2.
B).
Список использованной литературы
1. Сборник тестовых заданий по математике // Учебно-методическое
пособие для поступающих в Высшие учебные заведения. – Алматы:
Национальный центр государственных стандартов образования и
тестирования, 2000. – 465 с.
2. Математика – 2009 // Сборник тестов. Учебно-методическое пособие
по математике. – Астана: РГКП «Национальный центр тестирования»,
2009. – 272 с.
3. Альсейтов А.Г. Математика: Краткий справочник (сборник формул).
– Уральск: 2014. -96 с.
4. Альсейтов А.Г. Математика абитуриенту: Тестовые варианты для
подготовки к Единому национальному тестированию. – Уральск: 2012. 296 с.
г.Уральск, Республика Казахстан.