Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей 350000 г. Краснодар,

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:[email protected]
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 6 класс
ответы и решения к работе № 1,
2012-2013 уч. год
Задание 1.
Девять одинаковых воробьев склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять
таких же воробьев склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. Сколько зёрнышек
склёвывает каждый воробей? Воробей может склевать только целое число
зёрнышек.
Решение
Поскольку 10 воробьёв склёвывают больше 1100 зёрнышек, то 9 воробьёв будут
склёвывать больше чем (1100 : 10)·9 = 990 зёрнышек. При этом известно, что 9
воробьёв склёвывают меньше чем 1001 зёрнышко. Единственное делящееся на 9
число в промежутке от 991 до 1000 — это 999. Значит, 9 воробьёв склёвывают 999
зёрнышек, а один — 111 зёрнышек.
Ответ
111 зёрнышек.
Задание 2.
Прочитайте по ломаной линии русскую народную пословицу. При этом линия не
должна пересекаться и заходить дважды в какой-либо квадрат.
Б
Е
А
.
Т
З
Д
У
Р
У
П
Р
А
Д
З
И
Н
Е
К
У
Ы
В
Б
Ы
Т
Е
Ш
Р
Я
Н
Ь
И
Ответ: Без труда не вытянешь и рыбку из пруда.
Задание 3.
Представьте число 203 в виде суммы нескольких положительных слагаемых так,
чтобы и произведение этих слагаемых было равно 203. (подсказка: разложить число
203 на множители).
Решение
Разложим число 203 на множители и получим: 203 = 7х29. Значит, в нашем случае
все остальные сомножители должны быть представлены единицами. Поскольку
сумма всех этих сомножителей также будет 203, то в произведении должно быть 203
- (7 + 29) = 167 единиц: 203 = 7х29х1х1х1…….х1= 7 + 29 + 1 + 1 +...+ 1.
Ответ
203 = 29×7×1×...×1 = 29 + 7 + 1 + ...+ 1 (единицы встречаются по 167 раз).
Задание 4.
Обозначим сумму трех последовательных натуральных чисел через a, а сумму
трех следующих за ними чисел — через b. Может ли произведение ab равняться
1111111111?
Решение
По условию число a равно a = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1), а число b
равно b = (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 3n + 12 = 3(n + 4). Каждое из записанных чисел
делится на 3, следовательно, произведение делится на 9, а число, записанное
десятью единицами, не делится на 9.
Ответ
ab не может быть равно 1111111111.
Задание 5.
а) Олег перемножил 7 подряд идущих чисел. Верно ли, что у него получилось
число,
оканчивающееся
на
ровно
один
ноль?
б) Саша решил перемножить первые 57 чисел: 1 * 2 * ... * 56 * 57. У него
получилось число, оканчивающееся на 12 нулей. Правильно ли он всё вычислил?
Решение
а) Нет. Например, число 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 604800 оканчивается на 2 нуля.
б) Нет. Заметим, что 10 = 2 * 5. Посчитаем, на какую максимальную степень
пятерки делится произведение первых 57 чисел: во-первых, каждое пятое число (5,
10, ..., 55) делится на 5; во-вторых, 25 и 50 делятся на 25 = 52. Всего получается 11 +
2 = 13 пятерок. Двоек же в рассматриваемом числе еще больше - по крайней мере 56
/ 2 = 28. Таким образом, наше число оканчивается ровно на 13 нулей.
Задание 6.
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа
остались на доске?
Решение
Пусть x — наименьшее из написанных чисел. Обозначим через (x + y)
вычеркнутое число (0 <y< 9). Тогда x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x
+ 6) + (x + 7) + (x + 8) + (x + 9) - (x + y) = 2002. Приведём подобные слагаемые: 10x +
45 - x - y = 2002, то есть 9x = 1957 + y. Отсюда 1957 + y делится на 9. Учитывая
условие 0 <y< 9, получаем, что y = 5. Значит, x = 1962 : 9 = 218.
Ответ
218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226 и 227.
Задание 7.
Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней
цифры в 5 раз. Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа.
Решение
При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5.
Если бы последняя цифра была 0, то все число было бы 0, а мы ищем натуральные
числа. Значит, последняя цифра была 5. А все число 25. Естественно, больше 25 это
число быть не может, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т.е. не может превышать
45.
Задание 8.
Попробуйте найти два числа, идущих подряд; у первого из них сумма цифр равна
8, а второе — делится на 8? Подумайте, что можно сказать о сумме цифр числа, если
сумма цифр предыдущего равна 8.
Решение
У второго числа сумма цифр, скорее всего, будет 9 (поскольку у предыдущего —
8). Попробуем искать среди чисел, одновременно кратных 9 (сумма цифр равна 9) и
8 (по условию), т.е. чисел, кратных 72. Первое же приходящее на ум такое число —
72 — годится, поскольку оно делится на 8, а у предыдущего — 71 — сумма цифр
равна 8. Итак, это числа 71 и 72.
Задание 9.
Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто
гусей!» Вожак стаи отвечает ему: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если бы нас было
столько, сколько есть, да еще столько, да еще полстолька, де еще четверть столька,
да ты, гусь, с нами, вот тогда нас было бы сто гусей, а так…» Сколько же гусей
было в стае?
Решение
Пусть «четверть столько» составляет одну часть, тогда «полстолько» — 2 части, а
«столько» — 4 части. Тогда «столько, сколько есть, да еще столько, да еще
полстолько, да еще четверть столько» — составит 4+4+2+1=11 частей, но это же
количество составляют 99 (т.е. 100 − 1) гусей. Значит, одна часть — 9 гусей, а всего
в стае было 4 части, т.е. 36 гусей.
Задание 10.
Найти две обыкновенные дроби — одну со знаменателем 8, другую со
знаменателем 13 такие, чтобы они не были равны, но разность между большей и
меньшей из них была как можно меньше.
Решение
Пусть первая дробь равна
меньшей из них равна
,, а вторая —
,. Тогда разность между большей и
,. В числителе полученной дроби стоит целое
положительное число. Поэтому она не может быть меньше
,. А быть равной
— может. Для этого нужно, чтобы числитель был равен единице. Это
выполняется, если, например, x = 3, y = 5 (или x = 5, y = 8).