Ivantsov - Сибирский федеральный университет

УДК 537
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИИ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Иванцов Илья Дмитриевич
Научный руководитель д.ф.-м.н. Овчинников Сергей Геннадьевич
Сибирский федеральный университет
Точное решение модели Изинга в двумерном случае [1,2] сыграло важнейшую роль в
построении теории фазовых переходов, продемонстрировав резкое отличие от теории
Ландау. В данной работе рассматриваются уравнения, полученные методом двухвременной
функции Грина, что позволяет найти точные функции Грина для любой размерности и
получить соотношения на корреляционные функции без использования статистической
суммы. В случае модели Изинга бесконечная цепочка уравнений, связывающих между
собой функции Грина различного порядка, расцепляется естественным образом без
применения каких-либо приближений, что дает возможность найти точные соотношения для
корреляционных функций. Гамильтониан модели Изинга:
H 
1
J fg S fz S gz    S fz ,

2 fg
f
(1)
где S fz - проекция спина на узле f, J fg  J для ближайших соседей и равно нулю для всех
остальных, μ – внешнее поле. Тогда уравнение движения для функции Грина будет иметь
вид
E S f A S g


  fg S f A, S g 
S

f

A, H S g ,
(2)
где A – произвольный оператор, коммутирующий с H. Уравнения расцепляются за счет
соотношения
d
 ( f  n) 0 ,
(3)
n d
где  f   S fz  , δ – индекс ближайших соседей. Таким образом получается система из d+1
уравнений [3]. В матричном виде:
n
z m
 Tmn  f A  2 S f  f A
T  VPV 1
(4)
n
Pmm  th(    mJ )
Vmn  ( m) n
m  d ...d , n  0...2d .
(5)
Специальный вид матрицы T позволяет перейти к уравнениям на средние,
описывающие модель Изинга произвольной размерности, а зависимость от числа измерений
реализуется в соотношении (3):
2 S fz A  th(  (   J f )) A .
(6)
В одномерном случае соотношение (3) имеет вид  3f   f , за счет чего уравнение (6)
при отсутствии магнитного поля можно преобразовать к виду
2 S fz A  th( J )  f A ,
(7)
откуда получается известное выражение для коррелятора: 4 S fz S fz k  th k ( J / 2) .
В случае размерности d>1 представим оператор  f в виде суперпозиции операторов
Хаббарда
d
 f   n( X nf ,n  X f n,  n ) .
(8)
n 1
Рассмотрим систему без магнитного поля. В таком случае уравнение (6) можно
переписать в виде
d
2 S fz A   th( nJ ) ( X nf,n  X f n,  n ) A .
(9)
n 1
В пределе d   уравнение переходит в приближение среднего поля (A=1).
( X nf , n  X f n,  n )   (n  2d S fz ) ,
(10)
2 S fz  th( 2 Jd S fz ) ,
(11)
что соответствует уравнению для намагниченности в приближении среднего поля.
В двумерном случае уравнение (6) имеет вид ( Α  S fz  k )
2 S fz S fz  k  th( J )  f S fz  k  th( 2J )  2 th( J )  ( X 2f , 2  X f 2, 2 ) S fz  k .
(12)
Будем рассматривать корреляторы в пределе k   . В таком случае корреляторы
равны
S fz S fz  k ~ C (T ) exp(  (T )k ) ,
( X 2f , 2  X f 2, 2 ) S fz  k ~ C1 (T ) exp(  (T )k )
(13)
Определив вид функции C1 (T ) / C(T ) вблизи точки Tc уравнение (12) преобразуется к
уравнению на  . Решением такого уравнения будет:
 1

 1 ,
 a(T ) 
 (T )  arcch
a(T )  th( J )  C1(T ) / C(T )th( 2J )  2 th( J )
(14)
Найденная функция соответствует корреляционному радиусу вблизи Tc и пределе
k   . λ является обратным корреляционным радиусом, и значение Т, при котором λ=0
соответствует Tc , а разложив λ вблизи Tc найдем критический индекс ν. Полученное
значение критической температуры и критический индекс ν соответствуют известным
значения, полученным из точного решения, и равны:
Tc / J  2 / ln( 1  2 ) ,
  1.
(15)
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 14-12-00061.
Список публикаций:
[1] L. Onsager, Phys. Rev., Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition, 65(1944), 117-149.
[2] C. N. Yang, Phys. Rev., The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model,
85(1952), 808-816.
[3] М.П. Желифонов, ТМФ, 8, 401, 1971.