1_03

1.3. Точное решение модели Изинга
Точные решения в одномерной и
двумерной моделях Изинга. Отсутствие
фазового перехода в одномерном случае
Одномерная модель Изинга
 В низкоразмерной ситуации в приближении ближайших соседей
удается точно рассчитать статистические свойства модели Изинга
и исследовать проблему фазового перехода в ней
 Рассмотрим
цепочку из N спинов, замкнутую в кольцо.
Гамильтониан системы при учете взаимодействия только между
ближайшими соседями:
2
Одномерная модель Изинга
 Любую термодинамическую величину можно выразить через
статистическую сумму или ее термодинамические производные.
Например, средний магнитный момент можно представить как
производную логарифма статсуммы по магнитному полю:
3
Статистическая сумма
 Представим статистическую сумму следующим образом, имея
ввиду полный перебор возможных мгновенных реализаций
расположений спинов в цепочке:
 Удобно перебирать состояния системы не по отдельным узлам, а
по парам. Введем матрицу
4
Статистическая сумма
 Матрица описывает все возможные состояния пары узлов j, j+1.
Условно можно также записать:
 Статистическая
сумма
произведений матриц:
5
имеет
вид суммы
большого
числа
Статистическая сумма
 Из свойства
 получаем
 На главных диагоналях при перемножении матриц собираются все
возможные реализации расположений спинов:
6
Статистическая сумма
 След матрицы не меняется при ее преобразовании к другому
представлению. Если матрицу P представить в диагональном виде,
то
 Решая секулярное уравнение
 получаем
 В пределе больших N
7
Намагниченность
 Точный результат для намагниченности:
 В
отсутствие взаимодействия (V=0) из получаем обычное
выражение для намагниченности системы невзаимодействующих
спинов:
 В пределе слабого поля:
 Намагниченность не имеет особенностей ни по взаимодействию,
ни по полю, исчезает при выключении поля, т.е. проявляет явные
парамагнитные свойства. Фазового перехода нет.
8
Двумерная модель Изинга
 В 1944 г. Онзагером было предложено точное решение задачи о
фазовом переходе в модели Изинга на двумерной квадратной
решетке. Основной вывод – существует переход в ферромагнитное
состояние
 Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодическими
граничными условиями и N узлами, каждый из которых имеет
единичный спин. В этом случае гамильтониан Изинга в
приближении ближайших соседей и в отсутствии внешнего поля
на такой решетке имеет вид:
 Нумерация узлов – по координатам решетки, x=ka, y=la, a – период
решетки
9
Статистическая сумма
 Статистическая сумма:
 Используя тождества
 получаем
10
Статистическая сумма
 Каждому
члену полинома можно однозначно поставить в
соответствие совокупность линий (графиков), соединяющих
некоторые пары соседних узлов решетки
11
Статистическая сумма
 Статистическая сумма может быть представлена в виде
 gr – число замкнутых графиков, составленных из четного числа
связей
 Онзагер разработал способ перебора графиков из суммы с
помощью специальной их классификации по длине связей r и
использовал подход “блуждающей” шаг за шагом по решетке
точки с вероятностью перехода, определяемой специальной
матрицей перехода.
 Окончательное точное выражение для статистической суммы
имеет вид:
12
Свободная энергия
 Свободная энергия двумерной модели Изинга:
 Перейдем от суммирования к интегрированию:
 Исследуем свободную энергию вблизи критической температуры
и рассчитаем критическую температуру
13
Критическая температура
 Функция F(T) имеет особую точку при том значении x, при котором
аргумент логарифма под знаком интеграла может обратиться в
нуль. Этот аргумент минимален при
 Выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль,
при
 Соответствующая температура Tc и является точкой фазового
перехода. Таким образом, в двумерной модели Изинга
наблюдается фазовый переход парамагнетик-ферромагнетик при
конечной температуре.
 Результат теории среднего поля:
14
Критическая температура
 Вблизи критической температуры зависимость свободной энергии
непрерывна, а теплоемкость расходится логарифмически
 После разложения аргумента логарифма вблизи его минимума
имеем:
 Расчитывая это выражение при t→0 получаем:
15