A 

y=a уравнение регрессии.
Таблица 1
x
y
1
1.35
2
1.09
3
6.46
4
3.15
5
5.80
A 
 y  60.87  6.87  const
n
6
7.20
7
8.07
8
8.12
9
8.97
10
10.66
10
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение
коэффициента регрессии=0.
Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента.
*
y a
0
 6 .88
n

2

y

i 1

y i  y ti

2
n m 1
 1.35  6.88   109
.  6 .88  6 .46  6 .88   3.15  6 .88

2

2
y
2
2
9

5 .8  6 .88  7 .2  6 .88   8 .07  6 .88   8 .12  6 .88

2
2
2
9
 8.97  6.88   10.66  6.88

2
9
 a  b 
2
11
O
Ta

O
a
0
a

2
y
 0 .1  11.23  1.12;
ao
2

2

2

101.08
 11.23
9
 1.06
6 .88
 6 .49
1.06
o
k  9 ; q  0 .05 ; tg  2.262
6 ,49  tg  к-т является значимым и нулевую гипотезу отвергаем.
График 1
1
y  a a x
0
1
- уравнение регрессии
Таблица 2
x
y
1
1.35
A


2
1.09
x x
t

1
3
6.46
x
t
4
3.15
5
5.80
6
7.20
7
8.07
8
8.12
9
8.97
10
10.66
y
Запишем матрицу X
11
12
13
14
x

1111111111
12345678910

15

16
10 :55
55 :385
17
18
19
x
T
x
x y
T


110
1

10 :55 :1:0
55 :385 :0 :1

1:55 :0 .1:0
0 :82.5 : 5 .5 :1
68 .8
416 .49
Система нормальных уравнений.
T
x x A  x
T

y

10a  55a
55a  385a
O
O
10 :55 :68 .8
55 :385 :416 .49
a
a
y
0
  0 .37
1
 1.12

1:5 .5 :6 .88
0 :82.5 :92.67

1

68 .8
416 .49
1
1:0 : 0 .37
0 :1:1.12
  0 .37  1.12x
2
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Для проверки нулевой гипотезы используется критерий Стьюдента..
T
b

a
;a g  b  
ag
g
2
*
g
 0 .47 ;0 .01
ig
n

ig
y 
2

 yi
i1
y*i

2
y
2
n m 1
*
;y 
i
*
y
y
y
y
y
n
 a  x  a  a  i ;i
g0
i
i
o
 1.10
i
*
  0 .37  1.12* 1  0 .75 ; y6   0 .37  1.12* 6  6 .35
1
*
*
  0 .37  1.12* 2  1.87 ; y7   0 .37  1.12* 7  7 .47
2
*
*
3
  0 .37  1.12* 3  2.99 ; y8   0 .37  1.12* 8  8 .59
*
*
*
*
  0 .37  1.12* 4  4 .11; y9   0 .37  1.12* 9  9 .71
4
  0 .37  1.12* 5  5 .23; y10   0 .37  1.12  10  10 .83
5
1.35  0 .75  1.09  1.87   6 .46  2.99   3.15  4 .11

2
y
2
2
2
5 .8  5 .33  7 .2  6 .35  8 .07 7 .47   8 .12  8 .59

2
2
2
2

2

8 .97  9 .71  10 .66  10 .83  16 ,13 

2,02
2
2
8
  1,42
 a  b  y
 a  b  y
н
2
11
0
2
22
1
Ta
Ta
Ta

0

1
1
a
0
a
a
 0 .47  2.02  0 .95 ;
2
 0 .01  2.02  0 .0202;

 0 .37
  0 .38
0 .97

1.12
8
0 .14
a0
 0 .97
a1
 0 .14
0
0
a
2
1
 8  tg  2.31; п ри k  8 ; g  0 .05 
3
Коэффициент ai является значимости, т.к. не попал в интервал.
Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
y  a a x
0
i
 
y  y 
n
Q 
1
Q
2
i 1

y*i  y i
2
*
i
2
n
i
i 1
; yi  6 .88
 16 .13
075
.  16 .13   1.87  16 .13   2.99  16 .13 
  4 .11 16 .13   5 .23  16 .13  6 .35  16 .13 
 7 .47  16 .13   8 .59  16 .13   971
.  16 .13 
  10 .83  16 .13  1189 .62
Q
2

1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m 1
n m 1  8
q  0 .05
f  5 .32
Q 1189 .65


 1189 .65
S
m
1
Q
16.13

 2.02
S 
n m 1
8
q
1
1
2
2
Критерий Фишера.
S  1189 .62 
588 .92
S
2.02
F  f отсюда линия регрессии адекватна отраксает исходную
F

1
2
q
информацию, гипотеза о равенстве мат. Ожиданий отвергается.
Проверка адекватности модели по коэффициенту
детерминации или множественная корреляция.
4
n
D 1



i 1
n


y i  y*i


 yi  y
i 1
D  0.9  0.95
2
2

1
16 .13 
0.99
1189 .62
 регрессионная модель адекватна
Коэффициент множественной корреляции:
R

D  0.995
y  a a x a x
0
1
2
2
Таблица 3
x
y
1
1.35
2
1.09
3
6.46
4
3.15
5
5.80
6
7.2
7
8.07
8
8.12
9
8.97
10
10.66
Приведем квадратное уравнение к линейной форме:
2
x  x ; x2  x
y  a a x a x
1
*
0
A

1
1
 xT  x 
2
1
2
T
x
y
Запишем матрицу X.
1:1:1
1:2:4
1:3:9
1:4 :16
x

1:5 :25
1:6 :36
1:7 :49
1:8 :64
1:9 :81
1:10 :100
Составим матрицу Фишера.
5
1:2:1
1:2:4
1:3:9
1:4 :19
1:1:1:1:1:1:1:1:1:1
T
x x
 1:2:3:4 :5 :6 :7 :8 :9 :10

1:4 :9 :16 :25 :36 :49 :72:81:100
10 :55 :385
1:5 :25
 55 :385 :3025
1:6 :36
385 :3025 :25333
1:7 :49
1:8 :64
1:9 :72
1:10 :100
1.35
1.09
6 .46
3.15
1:1:1:1:1:1:1:1:1:1
x y
T
 1:2:3:4 :5 :6 :7 :8 :9 :10

1:4 :9 :16 :25 :36 :49 :64 :72:81:100
5 .8
68 .8
 416 .49
7 .2
3278 .8
80 .7
8 .12
8 .97
10 .66
Система нормальных уравнений.
10 a  55 a  385 a
55 a  385 a  3025 a
385 a  3025 a  25333a
0
x x A x y
T
T

1
0
68 .8
2
2
0
 416 .49
2
1
3278 .8
2
Решим ее методом Гаусса.
10 :55 :385 :68 .8
1:5 .5 :38 .5 :6 .88
 0 :82.5 :907 .5 :38 .09
55 :385 :3025 :416 .49
385 :3025 :25333:3278 .8
0 :907 .5 :10510 .5 :630
1:0 : 22:4 .34
 0 :1:11:0 .46
0 :0 :528 :211
1:0 :0 :13.13
 0 :1:1:3.94
0 :0 :1:0 .4
Уравнение регрессии имеет вид:
*
y  13.13  3.94x  0.4x
1
2
Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Для проверки нулевой гипотезы используем критерий Стьюдента.
T

a
g
a
 a  b  y
2
*
g
ig
2
g
6
b
b
b
11
22
33

1.39
 0 .24
 0 .002

x ti  x

1
10 :55 :385 :1:0 :0
 55 :385 :3025 :0 :1:0
 0 :1:11: 0 .07 :0 .01:0

y 


 y i  y*i
i 1
i
0 :907 .5 :10510 .5 : 38 .5 :0 :1
 0 :1:0 : 0 .53:0 .24 : 0 .02
0 :0 :1:0 .04 : 0 .02:0 .002
2
n m  1
n
y a x
*

1:0 :0 :1.39 : 0 .53:0 .04
0 :0 :528 :22: 11:1
2
 0 :82.5 :907 .5 : 5 .5 :1:0
385 :3025 :25333:0 :0 :1
1:0 : 22:0 .47 : 0 .07 :0
n
1:5 .5 :38 .5 :0 .1:0 :0
i 1
i
i
*
y  a  a  i  a  i ; i  1,10
y  13.13  3.94  0 .4  17 .47
i
2
o
1
2
*
1
*
y  13.13  3.94  2  0 .4  4  22.53
y  13.13  3.94  3  0 .4  9  28 .55
2
*
3
*
y  13.13  3.94  4  0 .4  16  35 .29
y  13.13  3.94  5  0 .4  25  42.83
4
*
5
*
y  13.13  3.94  6  0 .4  36  51.17
y  13.13  3.94 7  0 .4  49  60 .31
6
*
7
*
y  13.13  3.94  8  0 .4  64 70 .25
y  13.13  3.94  9  0 .4  81  80 .99
8
*
9
*
y
10
 13 .13  3 .94  10  0 .4  100  92 .53
7
 1.35  17 .47    109
.  22.53  6 .46  28 .55   3.19  35 .29

2
y
2
2
2
7
 5.8  42.8  7 .2 51.17    8.07  60.31   8.1270.25

7
 8.97  80.99   10.66  92.5  24.023 

3.431
7
7
2
2
2
2
2

2
  1.85
 a  2.18
 a  1.39  3.431 477
.
 a  0.24  3.43 0.82  a  0 .91
 a  0.002 3.43 0.007  a  0 .08
q  0 .05
k 7
tg  2.236
13.13
 6 .02 tg
Ta 
2.18
3.94
 4 .33 tg
Ta 
0.91
0.4
 5  tg
Ta 
0.08
Коэффициенты a ; a ; a значимые коэффициенты.
y
2
0
0
2
1
1
2
2
0
1
3
0
1
2
Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
y a a x a x
o
n
1
1

y*i 
i
y*i
Q1 

Q2 
y  
i1
yi

2

2
2
2
; y  6 .88
24 .02
8
2

17 .47  6 .88   22.53 6 .88   28 .55 6 .88 
  35 .29  6 .88   42.83  6 .88  51.17  6 .88 
 60 .31 6 .88  70 .25  6 .88  80 .99  6 .88 
 92.53  6 .88  5459 .63
Q
2

1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m 2
n m  17
q  0 .05
f
477
.
5459 .63 
S 
2729 .82
2
24 .02
S  7  3.43
S
F  S  795 .86  f гипотеза о равенстве математического
g

1
2
1
q
2
ожидания отвергается.
Проверка адекватности модели по коэффициенту
детерминации или множественной корреляции.
Коэффициент детерминации :
D
1 


y i  y*i
y  y 
i
D  0 .9

2
2
1 
i
24 .02 
5459 .63 0 .999  1
- регрессионная модель адекватна.
Коэффициент множественной корреляции
k 1
Таблица 4
x
1
2
3
y
0,75
1,87
2,99
4
5
6
7
8
9
10
4,11 5,23 6,35 7,47 8,59 9,71 10,83
9
График 2
12
10
8
Y
6
4
2
0
1
2
3
кв
4
5
6
7
8
9
10
X
Таблица 5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
16.57
20.81
25.85
31.69
38.3
45.8
54
63.05
72.9
83.53
2
3
5
6
7
9
10
График 3
90
80
70
60
Y
50
40
30
20
10
0
1
4
8
X
10
Использование регрессионной модели
y a a x
o
1
для прогнозирования изменения показателя
x  11
y
*
y

a  x

 0 .37  1.12  11 11.95  12
ix
ii
j
ig
Оценка точности прогноза.
y
 a  a  2 k ka  x

*
11
ka ka
o
y
y
y
2
2
o
o
x x 
T

1
a
1
1
  y2 
11
2.02

  0 .07   0 .14
0 .95  0 .0202  20 .14  11  1.45
 2.02  2.10  4 .12
 2.03

*
11
2
пол
пол
Построим доверительный интервал для заданного уровня надежности.
УСС  n 1 10  1 9
g  0 .05
tg  2.262
*
y
лев

*
y
п р ав
*
y

11
 tg   y*  12  2.262  2.03 7 .41
ПОЛ
*
y
11
 tg   y*  12  2 .262  2.03  16 .59
ПОЛ
11
С вероятностью 0,05 этот интервал покрывает истинное значение
прогноза y 11  0 .35
График 4
16
14
12
10
8
Y
6
4
2
0
-2
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
x  12
y i   0 .37  1.12  12  13.07
*
2
12
Оценка точности периода.
y
y
y
0 .95  0 .0202  2  0 .14  12  2.12
 2 .02  4 .5  6 .25
 2 .5

*
i2
2
пал
пал
Построим доверительный интервал.
*
y
лве
*
y
пр
 13.07  2.262  2.5 7 .42
 13.07  2.262  2.5  1873
.
График 5
120
100
80
60
Y
40
20
0
-20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
13