konstantsete kordajatega teist järku lineaarne homogeenne võrrand

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДУ n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
y n   a1 y n 1  ...a n 1 y   a n y  0
Общее решение ДУ: y  C1 y1  C 2 y 2  ...  C n y n ,
постоянные.
(*)
где C1, C2, ...,Cn произвольные
Если в уравнении (*) a1 , a2 , .., an постоянные, то общее решение данного ДУ находят также,
как и в случае ДУ II порядка.
1) Составляем характеристическое уравнение k n  a1 k n 1  a 2 k n  2  ...  a n  0 .
2) Находим корни характеристического уравнения k1 , k 2 , ..., k n .
3) По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения,
руководствуясь тем, что:
a) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение
e kx ;
b) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней   i
соответствуют два частных решения ex cos x и ex sin x ;
c) каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно
независимых частных решений
e kx , xekx , x 2 e kx ,..., x r 1e kx ;
d) каждой паре комплексных сопряженных корней   i кратности r соответствует
2r частных решений:
ex cos x, xex cos x, ..., x r 1ex cos x,
ex sin x, xex sin x, ..., x r 1ex sin x .
Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического
уравнения (то есть столько, каков порядок данного линейного ДУ)
4) Найдя n линейно независимых частных решений y1 , y 2 , ..., y n , строим общее
решение данного линейного уравнения: y  C1 y1  C 2 y 2  ...  Cn y n , где C1, C2, ...,Cn
произвольные постоянные.
УПРАЖНЕНИЯ. Решить дифференциальные уравнения:


1.
y   8 y  0
Ответ: y  C1e 2 x  e  x C2 cos 3x  C3 sin 3x
2.
y V  6 y IV  12 y   8 y   0
Ответ: y  C1  C 2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x  C5 x 2 e 2 x
3. y IV  8 y   16 y  0
Ответ: y  C1e 2 x  C 2 xe2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x
4. y IV  2 y   y  0
Ответ: y  C1 cos x  C2 x cos x  C3 sin x  C4 x sin x
1. Найти общее решение ДУ y   8 y  0 .
Решение:
Данное уравнение является линейным однородным ДУ третьего порядка с
постоянными коэффициентами.
k3 8  0
Напишем его характеристическое уравнение
и решим его:
k 3  23  0
⇒
k1  2
1) k  2  0
2) k 2  2k  4  0
⇒
k  2  k 2  2k  4  0
⇒
k 2  1  i 3 и k 2  1  i 3
По характеру корней характеристического уравнения определяем частные линейно
независимые решения (случай (a) и (b)):
y1  e 2 x ,
y 2  e  x cos 3 x и
y3  e  x sin 3x
Следовательно, общее решение запишем в виде:
y  C1e 2 x  C2 e  x cos 3x  C3e  x sin 3x
Ответ.
Общее решение ДУ:

y  C1e 2 x  e  x C2 cos 3x  C3 sin 3x

2. Найти общее решение ДУ y V  6 y IV  12 y   8 y   0 .
Решение:
Данное уравнение является линейным однородным ДУ пятого порядка с
постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
k 5  6k 4  12k 3  8k 2  0


k 2 k 3  6k 2  12k  8  0
k 2 k  2   0
3
откуда
k1  k 2  0
k3  k 4  k5  2
и
По характеру корней характеристического уравнения определяем частные линейно
независимые решения (случай (с)):
y1  e 0 x  1,
y 2  x,
y3  e 2 x ,
y 4  xe2 x ,
y5  x 2 e 2 x .
Общее решение: y  C1  C 2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x  C5 x 2 e 2 x
Ответ.
Общее решение ДУ: y  C1  C 2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x  C5 x 2 e 2 x .
3. Найти общее решение ДУ y IV  8 y  16 y  0 .
Решение:
Данное уравнение является линейным однородным ДУ четвёртого порядка с
постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение: k 4  8k 2  16  0
k
откуда
2

2

4 0
k1  k 2  2
и
k
2


4  k2 4  0
k 3  k 4  2
По характеру корней характеристического уравнения определяем частные линейно
независимые решения (случай (с)):
y1  e 2 x ,
Итак, общее решение:
Ответ.
y 3  e 2 x ,
y 2  xe2 x ,
y 4  xe2 x .
y  C1e 2 x  C 2 xe2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x
y  C1e 2 x  C 2 xe2 x  C3 e 2 x  C 4 xe2 x
Общее решение ДУ:
4. Найти общее решение ДУ y IV  2 y   y  0 .
Решение:
Данное уравнение является линейным однородным ДУ четвёртого порядка с
постоянными коэффициентами.
k 4  2k 2  1  0
Соответствующее характеристическое уравнение:
откуда
k
4
 2k 2  1  0

k
2
1  0
k1  k 2   1  i

2
и
k3  k 4    1  i
По характеру корней характеристического уравнения определяем частные линейно
независимые решения (случай (d)):
y1  cos x,
y 2  x cos x,
Тогда общее решение запишется в виде
Ответ.
Общее решение ДУ
y3  sin x,
y 4  x sin x .
y  C1 cos x  C2 x cos x  C3 sin x  C4 x sin x
y  C1 cos x  C2 x cos x  C3 sin x  C4 x sin x .