Раздел III. Аналитическая геометрия на плоскости. Тема 6

Раздел III. Аналитическая геометрия на плоскости.
Тема 6. Прямая на плоскости.
Занятие 21. Общее уравнение прямой.
Лекция 13.
Основные вопросы.
1. Понятие об уравнении линии на плоскости, уравнение окружности.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
3. Общее уравнение прямой.
4. Уравнение прямой в отрезках.
Введение.
Аналитическая геометрия – это область математики, рассматривающая изучение геометрических задач средствами алгебры на основе метода
координат (координатного метода). В нем ведущую роль играют вычисления,
построения же имеют вспомогательное значение. Создание координатного
метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков. Систематическое развитие этот метод получил в первой половине 17 века в работах П.Ферма (1601-1655) и Р.Декарта (1596-1650). При этом они рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был применен впервые
российским ученым Л.Эйлером (1707-1783).
1. Понятие об уравнении линии на плоскости: уравнение
окружности.
1.1. Полярная система координат, ее связь с декартовой системой
координат.
Помимо декартовой системы координат на плоскости при решении многих задач применяется полярная система координат.
Эта система определяется заданием некоторой точки 0, называемой
полюсом ; исходящей из этой точки полупрямой 0Р, называемой полярной
осью , и единицы масштаба.
Если совместить начало координат известной декартовой системы
координат, а полярную ось – с осью абсцисс, то в дальнейшем, возможно
легко установить связь между этими системами координат (рис. 6.1).
у
3
М
2
ρ
1
у
φ
0
1
2
3
4
5
6
7
х,Р
х
Рис. 6.1. Полярная и декартова система координат.
Если положение точки М на плоскости в декартовой системе координат
определяется абсциссой х и ординатой у , то в полярной системе координат
– расстоянием 0М = ρ , называемым полярным радиусом и углом φ - полярным углом точки М . Числа ρ и φ называются полярными координатами
точки М , их записывают как М(ρ, φ).
Полярные координаты однозначно определяют точку на плоскости, а
каждой точке плоскости соответствует бесконечное множество пар чисел ρ и
φ . В этих парах ρ одно и тоже, а полярные углы φ отличаются друг от друга
на значение, кратное 2π . Значение полярного угла, удовлетворяющие условию       называются главными значениями .
Связь декартовых координат с полярными согласно рис.6.1 такова:
  x 2  y 2
 x   cos

(1)
и наоборот
(2)


y
y


sin


  arctg
x

Итак, при помощи известных систем координат устанавливается взаимно-однозначное соответствие между геометрическими образами – точками и алгебраическими объектами – числами .
Установлено, что каждой точке плоскости (пространства R2 ) в декартовых и полярных координатах соответствует пара действительных чисел, взятых в определенном порядке, и, обратно, каждой паре действительных чисел
соответствует единственная точка плоскости.
Следующим этапом является установление взаимно-однозначного соответствия между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными х
и у или ρ и φ . Эта связь позволит изучение геометрических свойств линий
свести к изучению аналитических свойств соответствующих им уравнений.
1.2. Уравнение линии на плоскости.
В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как множество точек, обладающих определенным свойством, общим для всех ее точек.
Определение 1. Уравнение F  x, y   0 (неявная форма) или Y  f  x 
(явная форма) называется уравнением линии в декартовых координатах, если ему удовлетворяют координаты х и у любой точки линии и не удовлетворяют
координаты каждой точки, не лежащей на ней.
Определение 2. Уравнение F (  ,  )  0 или   f   называется уравнением линии в полярных координатах, если ему
удовлетворяют полярные координаты ρ и φ любой
точки этой линии и не удовлетворяют координаты
точек не лежащих на ней.
Иногда при задании уравнения линии оказываются более удобным выразить координаты х и у точек линии через некоторую вспомогательную
величину t , называемую параметром .
Определение 3. Уравнениями линии на плоскости в параметрической
форме называется система уравнений, задающая
координаты любой точки как функции параметра t
 x   t 

 y   t 
Параметрами могут быть время, угол и любая другая величина,
характеризующая положение точки на линии.
1.3. Уравнение окружности.
В аналитической геометрии рассматриваются две задачи:
1) Составление по заданным геометрическим свойствам линии ее уравнения.
2) Установление геометрических свойств линии по данному уравнению
линии.
Рассмотрим эти задачи применительно к окружности.
Определение 4.
Окружностью называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
На основании свойства, указанного в определении, выведем уравнение
окружности.
Пусть точка С(а,в) – центр окружности, R – ее радиус, а А(х,у) –
произвольная ее точка с текущими координатами х , у (рис.6.1). Расстояние
произвольной точки окружности до центра, являющееся радиусом (d=R) , как
модуль вектора ÑÀ , выражается так : R   х  а    у  в 
2
 х  а
2
  у  в   R2
2
2
откуда
(3)
у1
у
R
А(х,у)
в
С(а,в)
х1
M
R
0
а
Рис. 6.1. Окружность и ее параметры.
х
Таким образом, координаты х , у любой точки А окружности удовлетворяют уравнению (3). Верно и обратное – любая точка А , координаты х и у
которой удовлетворяют уравнению (3) принадлежит окружности, так как ее
расстояние от С равно R .
Уравнение (3) называется нормальным уравнением окружности. Если
центр окружности совпадает с началом координат (а = в = 0) , т.е. С(0,0) то
уравнение (3) примет вид
(4)
х2  у 2  R2
Этот простейший вид уравнения окружности называется каноническим .
Составим уравнение окружности в параметрической форме. Пусть центр
окружности находится в начале координат, а ее радиус равен R (рис. 6.1).
Положение произвольной точки М на окружности будем характеризовать
углом t , который образует радиус 0М = R с положительной полуосью 0х .
Координаты точки М будут
 x  R  cos t
(5)

y

R

sin
t

Система этих уравнений и является уравнением окружности в параметрической форме.
Пример. Составить уравнение окружности в полярных координатах, если она проходит через полюс, ее центр С на полярной оси и
радиус R .
Решение.
Построим окружность согласно условию (рис. 6.2) и
рассмотрим произвольную точку М(ρ,φ) этой окружности
М(ρ,φ)
ρ
0
φ
С
А
ρ
Рис. 6.2. К уравнению окружности в полярных координатах.
Из прямоугольного треугольника 0МА имеем
0 М  0 А  cos 
или
  2 R cos 
(6)
 
Легко убедиться, что полярные координаты точек 0 0,  и А(2R ,0) удов 2
летворяют уравнению (6).
Замечание 1. Если центр окружности помещен в полюсе, то ее уравнение имеет вид
ρ=R
(7)
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
Пусть требуется составить уравнение прямой ℓ , проходящей через точку М0 (х0 ,у0) и перпендикулярной к вектору n  А, В (рис. 6.3). Вектор n
называется нормальным вектором или нормальной прямой .
ℓ
у
Ì  À, Â
ℓ1
М0
α2
r0
r
М
α1
0
х
Рис.6.3. К выводу уравнения прямой, заданной точкой и нормалью.
Возьмем на прямой произвольную точку М(х,у).
Обозначим через r ее радиус-вектор, а через r0
- радиус-вектор точки
М0 (х0 ,у0) . Тогда вектор M 0 M  r  r0 имеет координаты х  х0 , у  у0 . Так
r  r0  , то их скалярное прокак вектор перпендикулярен и к вектору
изведение равно нулю, т.е. M 0 M  N  0, или n   r  r0   0
(8)
Это равенство – уравнение прямой на плоскости в векторной форме .
Выражая скалярное произведение векторов n и r  r0 через их координаты, мы получим уравнение прямой в координатной форме (в случае ее
задания точкой М (х0 ,у0) и нормалью n  А, В прямой ) :
(9)
А  х  х0   В  у  у0   0
3. Общее уравнение прямой.
Раскрывая скобки в левой части равенства (9) и обозначив С = -Ах0 -Ву0
получим уравнение вида
Ах + Ву + С = 0
(10)
которое называется общим уравнением прямой на плоскости (коэффициент А
и В не должны одновременно равны нулю).
Таким образом, в декартовых координатах каждая прямая определяется
уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени
определяет прямую (при условии, что А2+В2≠0) .
Частные случаи расположения прямой относительно прямоугольной
системы координат 0ху (рис. 6.4)
(х=а)
Ах+С=0
у
Ву+С=0
(у+в)
х
0
Х=0
У=0
Ах
+В
у=
0
Рис. 6.4. Частные случаи расположения прямой.
1. С  0, А  0, В  0 . Прямая, определяемая уравнением Ах  Ву  0
проходит через начало координат.
2. А  0, В  0, С  0 . Прямая, определяемая уравнением Ву  С  0
С
В
(или у  в, где в   ), параллельна оси 0х .
3. В  0, А  0, С  0 . Прямая, определяемая уравнением Ах  С  0
Ñ
(или õ  à, ãäå à   ), параллельна оси 0у .
À
4.
5.
А0.
Прямая, определяемая уравнением
х  0, поскольку А  0 ), совпадает с осью 0у .
Ах  0 (или
А  С  0, В  0 .
Ву  0 (или
В  С  0,
Прямая, определяемая уравнением
у  0, так как В  0 ), совпадает с осью 0х .
4. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть прямая, заданная общим уравнением
Ах  Ву  С  0 ,
(10а) не
проходит через начало координат (С ≠ 0) и пересекает ось 0х в точке М(а,0) и
ось 0у в точке N(0,в), т.е. прямая отсекает на осях координат отрезки 0М = а
и 0N = в (рис. 6.5)
у
N(0,в)
в
М(а,0)
х
0
а
Рис. 6.5. К выводу уравнения прямой в отрезках.
Точки М и N принадлежат данной прямой, поэтому их координаты
удовлетворяют уравнению (10 а). Следовательно, А  а  С  0 и В  в  С  0 ,
с
а
с
. Подставив полученные значения А и В в уравне-ние
в
С
С
(10а) , получим  х  у  С  0 . Разделив полученное уравнение на С,
А
В
откуда А   , В  
имеем
х у
 1
а в
(11)
где а и в с точностью до знака равны отрезкам, которые прямая отсекает на
осях координат (рис. 6.5).
Уравнение прямой в виде (11) называется уравнением прямой в отрезках
Замечание 2. Для преобразования общего уравнения прямой к уравнению в отрезках надо:
а) в общем уравнении положить у = 0 и определить х как абсциссу
точки М пересечения прямой с осью 0х ;
б) затем в общем уравнении положить х = 0 и определить ординату у
точки N пересечения прямой с осью 0у .
Определив х = а и у = в легко построить заданную прямую.
Пример 2. Даны две точки : М (2,3) и N (-1,0) . Составить общее
уравнение прямой, проходящей через точку N перпендикулярно вектору MN - преобразовать его в уравнение в отрезках и построить график искомой прямой.
Решение. 1) Прямая задана точкой N (-1,0) и нормалью n  MN   3,3
2) В этом случае уравнение прямой в координатной форме имеет вид
А  х  х0   В  у  у0   0 или -3(х+1)-3(у-0)=0 .
3) Общее уравнение искомой прямой 3х+3у+3=0 или х+у+1=0 .
4) Уравнение прямой в отрезках
х
у

 1.
1 1
Выводы : Итак, то, что в алгебре называют неопределенным уравнением с двумя переменными, в аналитической геометрии представляет определенную геометрическую фигуру – прямую или кривую линию. Однако следует отметить, что например, уравнению х2+у2+1=0 не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости; уравнение х2+у2=0 определяет одну точку
(начало координат).
Прямая линия в прямоугольной системе координат однозначно определяется алгебраическим уравнением первой степени относительно текущим координат х и у .
Для построения прямой достаточно отметить две ее точки – обычно эти
точки пересечения прямой с осями координат.
В случаях одной точки пересечения надо найти еще одну – две точки.