Теория линейных операторов - Основные образовательные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Тобольске
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_______________________ /Короткова Е.А../
__________ _____________ 201__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория линейных операторов»
Направление подготовки
02.03.01 «Математика и компьютерные науки»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль
«Вычислительные, программные, информационные системы и
компьютерные технологии»
(наименование программы)
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск 2011
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________________
Дисциплина:
_Теория линейных операторов______________________________
Учебный план: 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», профиль «Вычислительные, программные,
информационные системы и
компьютерные технологии»
Автор:
_Ярков Владимир Георгиевич ___________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
__Ярков Владимир Георгиевич, доцент, тел. 89026244222 _____________________________
_____________
_____________
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
дата
Рабочая программа дисциплины «Теория линейных операторов»/ Сост.
В.Г.Ярков. – Тобольск: ТГСПА им. Д.И. Менделеева, 2011. - 13 с.
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины по выбору цикла дисциплин
направления бакалаврам очной формы обучения по направлению подготовки 02.03.01
«Математика и компьютерные науки» в 8 семестре.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 02.03.01
«Математика и компьютерные науки», утвержденного приказом Министерства образования и
науки Российской Федерации от "___" ______ 200__ г. № ____.
Составитель ____________________ В.Г. Ярков
(подпись)
 Ярков В.Г., 2011
 ТГСПА им.
Д.И.Менделеева, 2011
Содержание
с.
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
5.
5.1.
6.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
8.
Цели и задачи освоения дисциплины …………………………………………………......……………….
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………………..............................................
Требования к результатам освоения содержания дисциплины.................................................................
Содержание и структура дисциплины (модуля)....………………………….............................................
Содержание разделов дисциплины.....................................................................................
Структура дисциплины........................................................................................................
Лабораторные работы……………………………………………………….......................
Практические занятия (семинары)....………………………………………......................
Курсовой проект (курсовая работа).....................................................................................
Самостоятельное изучение разделов дисциплины…………….………….......................
Образовательные технологии..............................................................................................
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации........
Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)......................……………….
Основная литература………………………………………………………….....................
Дополнительная литература………………………………………………….....................
Периодические издания.....……………………………………….…………......................
Интернет-ресурсы..................................................................................................................
Методические указания к лабораторным занятиям ……………………..………............
Методические указания к практическим занятиям ...........................................................
Программное обеспечение современных информационно-коммуникационных технологий ..............
Материально-техническое обеспечение дисциплины……………………......................
Лист согласования рабочей программы дисциплины…..…………………....................
Дополнения и изменения в рабочей программе дисциплины ……………....................
4
4
4
5
5
6
7
7
7
7
8
8
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12
13
ДН(М). В3. Теория линейных операторов
1. Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Теория линейных операторов» является изучение основных понятий
функционального анализа – линейный функционал, линейный оператор – как обобщения
понятия функции, отображения.
Задачи дисциплины:
 изучение основных структур математического анализа;
 изучение основных типов отображений в математике;
 изучение линейных функционалов и операторов;
 изучение аналогий и различий в свойствах операторов, заданных в конечномерных и
бесконечномерных пространствах;
 установление межпредметных связей между данной дисциплиной и ранее читаемыми
курсами линейной алгебры, математического анализа, геометрии;
 рассмотрение математических методов описания и изучения некоторых физических
процессов и явлений;
 применение методов теории линейных операторов для решения теоретических и
практических задач математики.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Теория линейных операторов изучается как дисциплина вариативной части цикла
дисциплин направления в 8-ом семестре. Согласно учебному плану общий объем часов по
дисциплине составляет 72 часа (2 зачетные единицы), из них 28 часов – аудиторные (лекции), 44
часов – самостоятельная работа. Итоговый контроль по дисциплине – зачет в 8-ом семестре.
Данная дисциплина имеет межпредметные связи с ранее читаемыми курсами
математического анализа, фундаментальной и компьютерной алгебры, аналитической
геометрии. Изучение теории линейных операторов даёт возможности их применения для
решения теоретических и прикладных задач математики, теоретической физики и других наук.
Теория линейных операторов стоит на стыке таких важных математических разделов как
линейная алгебра, математический анализ, геометрия.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки
(специальности):
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа,
комплексного
и
функционального
анализа,
алгебры,
аналитической
геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
Студент, изучивший дисциплину,
должен знать:
 содержание предмета, его методологию, связь с другими дисциплинами;
 определения, свойства и примеры рассматриваемых математических понятий;
 основные методы построения моделей прикладных задач, основные методы их
решения;
 смысл и формулировки основных типов задач теории линейных операторов;
должен уметь:
 определить тип задачи, подобрать соответствующие методы ее решения;
 построить математическую модель задачи, решить ее, интерпретировать ответ;
 проверить выполнимость определений и свойств рассматриваемых объектов;
 находить обратный оператор, левый обратный, правый обратный операторы;
 находить собственные значения, собственные векторы, спектр оператора;
должен владеть:
 навыками работы со специальной литературой;
 навыками математического моделирования;
 вычислительными навыками.
приобрести опыт деятельности:
 по исследованию основных свойств линейных операторов;
 по применению линейных операторов для решения математических задач.
4. Содержание и структура дисциплины
4.1 Содержание разделов дисциплины
№
Наименование
раздела
раздела
Содержание раздела
Форма текущего
контроля
1.
Метрические
пространства. Линейные
пространства.
Определение
и
основные
примеры
метрических
пространств.
Непрерывные
отображения
метрических
пространств.
Изометрия. Сходимость. Полные метрические
пространства.
Линейные
пространства.
Подпространства. Фактор - пространства.
Р, ДЗ
2.
Принцип сжимающих
отображений и его
применения.
Э
3.
Линейные функционалы
и линейные операторы.
4.
Непрерывность,
ограниченность и норма
оператора.
5.
Обратный оператор.
Отображения в метрических пространствах.
Сжимающие отображения. Неподвижная точка.
Принцип сжимающих отображений (теорема
Банаха). Простейшие применения принципа
сжимающих отображений. Условия Липшица.
Теоремы существования и единственности для
дифференциальных уравнений. Применения
принципа
сжимающих
отображений
к
интегральным уравнениям.
Определения линейного функционала и
линейного оператора. Представление линейных
функционалов в линейных, нормированных,
гильбертовых пространствах. Теорема Хана –
Банаха в нормированном пространстве и
некоторые
ее
следствия.
Линейные
функционалы
в
счетно-нормированном
пространстве.
Непрерывные
линейные
операторы.
Ограниченность и норма линейного оператора.
Критерий
ограниченности.
Последовательности линейных операторов.
Сильная и равномерная сходимости, связь
между ними.
Сумма
и произведение
операторов.
Обратимость, обратный оператор. Линейность
оператора, обратного к линейному. Критерий
ограниченности обратного оператора. Теорема
ДЗ
Р, ДЗ
Р, ДЗ
6.
Операторы в
гильбертовом
пространстве.
7.
Сопряженные операторы.
8.
Элементы спектральной
теории.
9.
Линейный
дифференциальный
оператор.
10.
Расширения
симметрического
оператора.
Банаха об обратном операторе. Левый
обратный и правый обратный операторы.
Геометрия гильбертова пространства. Базис и
размерность.
Операторы
проектирования.
Ортогональные разложения в гильбертовом
пространстве. Ограниченные и изометрические
операторы.
Матричное
представление
линейного
ограниченного
оператора
в
гильбертовом пространстве.
Сопряженные и самосопряженные операторы.
Описание
спектра
самосопряженного
оператора при помощи его спектральной
функции.
Собственные значения и собственные функции
линейного оператора. Спектральная функция.
Интегралы
по
спектральной
функции.
Основная спектральная теорема.
Линейные дифференциальные выражения.
Краевые условия. Однородная краевая задача.
Формула Лагранжа. Сопряженная краевая
задача. Задача обращения дифференциального
оператора. Построение функции Грина.
Обращение дифференциального оператора при
помощи функции Грина.
Дефектные подпространства симметрического
оператора. Преобразование Кэли. Формула фон
Неймана. Размерность по модулю. Индекс
дефекта.
Описание
симметрических
расширений
данного
симметрического
оператора.
ДЗ, К
Р, РГЗ
ДЗ
Р, ДЗ
ДЗ
4.2 Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы (72 часа) в 8-ом
семестре.
Вид работы
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Курсовой проект (КП), курсовая работа (КР)1
Расчетно-графическое задание (РГЗ)
Реферат (Р)
Эссе (Э)
Самостоятельное изучение разделов
Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала
учебников и учебных пособий, подготовка к лабораторным и практическим
занятиям, коллоквиумам, рубежному контролю и т.д.),
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Часы
72
28
28
44
10
8
6
10
10
зачёт
Разделы дисциплины, изучаемые в 8 семестре
Количество часов
№
раздела
2
Метрические пространства. Линейные пространства.
Принцип сжимающих отображений и его применения.
2
Линейные функционалы и линейные операторы.
3
Непрерывность, ограниченность и норма оператора.
4
Обратный оператор.
5
Операторы в гильбертовом пространстве.
6
Сопряженные операторы.
7
Элементы спектральной теории.
8
Линейный дифференциальный оператор.
9
Расширения симметрического оператора.
10
Л
ПЗ
ЛР
3
4
5
6
Внеауд.
работа
СР
7
6
2
-
-
4
6
2
-
4
8
2
-
-
4
8
4
-
-
4
8
4
8
4
-
-
4
6
2
-
-
4
8
4
8
2
6
2
6
72
28
44
Всего
1
1
Аудиторная
работа
Наименование разделов
ИТОГО
4
4
-
-
6
4.3 Лабораторные работы
Не предусмотрены.
4.4 Практические занятия (семинары)
Не предусмотрены.
4.5 Курсовой проект (курсовая работа)
Не предусмотрено.
4.6 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
раздела
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кол-во
часов
1
2
3
1
Примеры метрических и линейных пространств.
4
2
Применение принципа сжимающих отображений.
4
3
Представление линейных функционалов в линейных, нормированных,
гильбертовых пространствах.
4
4
Сильная и равномерная сходимости, связь между ними. Сумма и
произведение операторов.
4
5
Левый обратный и правый обратный операторы.Примеры
4
6
Геометрия гильбертова пространства. Базис и размерность.
Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.
4
7
Примеры сопряженных и самосопряженных операторов в
конечномерных пространствах. Решение примеров.
4
8
Спектральная функция. Интегралы по спектральной функции.
4
9
Краевые условия. Однородная краевая задача. Формула Лагранжа.
Сопряженная краевая задача.
6
10
Описание симметрических расширений данного симметрического
оператора.
4
5. Образовательные технологии
Лекционно-практические занятия.
Индивидуальные и групповые формы работы на занятиях.
Дифференцированный подход к обучающимся.
Балльно-рейтинговая форма проверки знаний.
5.1. Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных
занятиях
Вид
занятия
Используемые интерактивные
(Л, ПР,
образовательные технологии
ЛР)
ПР
Ролевая игра «Функция, функционал, оператор»
Л
Соревнование между командами: Исследование
свойств операторов сдвига влево (1-я команда) и
вправо (2-я команда).
Л
Деловая игра на тему «Спектр оператора»
Л, ПР Деловая игра «Кто хочет стать отличником?»
Всего
Количество
часов
2
2
2
4
10
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
Перечень вопросов к зачету
1. Определения и свойства линейного пространства, метрического пространства.
2. Сжимающие отображения в полных метрических пространствах. Теорема Банаха.
3. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.
1.
Определение линейного функционала. Представление линейных функционалов в
метрических пространствах.
2.Непрерывные линейные операторы. Ограниченность и норма линейного оператора. Критерий
ограниченности.
3. Обратный оператор. Линейность оператора, обратного к линейному.
7. Определение и примеры гильбертовы пространства. Матричное представление линейного
ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.
8. Собственные значения и собственные функции линейного оператора. Спектр оператора.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра самосопряженного оператора
при помощи его спектральной функции.
9. Спектральная функция. Интегралы по спектральной функции. Основная спектральная
теорема.
10. Сопряженные и самосопряженные операторы. Симметрические операторы.
11. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.
12. Линейное дифференциальное выражение и линейный дифференциальный оператор.
13. Обращение дифференциального оператора при помощи функции Грина.
14. Расширения симметрического оператора.
15. Дефектные подпространства симметрического оператора. Формула фон Неймана.
16. Симметрические дифференциальные операторы.
Примерная тематика рефератов
1. Сжимающие отображения в полных метрических пространствах. Принцип сжимающих
отображений.
2.Определение линейного функционала. Представление линейных функционалов в метрических
пространствах.
3.Элементы спектральной теории.
4. Сопряженные и самосопряженные операторы. Симметрические операторы.
5.Линейные дифференциальные операторы.
6.Расширения симметрических операторов.
7.Линейные операторы в гильбертовых пространствах.
Примерные задания для контрольных работ и расчётно-графических заданий
1. Проверить линейность оператора, заданного матрицей в конечномерном пространстве.
 2  1
а) 
  2 3  ;


1 0 0


б)  0 2 0  .
 0 0 3


2. Найти обратный оператор для оператора в конечномерном пространстве:
а)
 2  1  2


А 0
1 1 ;
1 2
2 

б)
 1  1  1


В   2 0
2 .
 1
1  1

3. Найти левый обратный и правый обратный оператор для операторов сдвига влево и вправо.
При каких условиях эти операторы имеют обратный оператор?
4. Найти собственные векторы и собственные значения (собственные функции) для заданных
операторов (в конечномерных и бесконечномерных пространствах). Определить размерность
собственного подпространства. Классифицировать точки спектра.
5. При каких условиях оператор, заданный матрицей в конечномерном пространстве, будет
самосопряженным?
6. Проверить ограниченность оператора. Найти норму оператора.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)
7.1. Основная литература
1.Канторович Л.В. Функциональный анализ. - М.: БХВ-Петербург: Невский диалект, 2004.
2.Порошкин А.Г. Функциональный анализ. - М.: Вузовская книга, 2004.
3.Рудин У. Функциональный анализ. - 2-е изд. - М.: Лань, 2005.
4.Садовничий В.А. Теория операторов: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2001.
5.Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - М.: Физматлит, 2003.
6. Шмелькин Д.А. Теория функций и функциональный анализ. – М.: СГУ, 2005.
7.2. Дополнительная литература
1.Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, т.
1,2. – Харьков: Вища школа, 1977.
2. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. Специальный курс. – М.: Просвещение, 1980.
3.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1989.
4.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969.
5.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Е.С. Задачи по функциональному анализу. – М.:
Мир, 1984.
7.3. Периодические издания
1. Квант.
2. Математика в школе.
3. Успехи математических наук.
7.4. Интернет-ресурсы
7.5. Методические рекомендации к лабораторным работам
Лабораторные работы не предусмотрены.
7.6. Методические рекомендации к практическим занятиям
Практические занятия не предусмотрены. Решение практических примеров чередуется с
теоретическим материалом по мере освоения дисциплины.
7.7.
Программное
обеспечение
современных
информационнокоммуникационных технологий
Среды программирования Delphi, Vbasic; математические пакеты MathCad, Mathematica;
табличный процессор Microsoft Excel.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Локальная сеть ТГСПА им. Д.И.Менделеева с доступом в интернет.
2. Оборудование: аудитории для обеспечения визуализации лекций и получения обратной связи
(интерактивные доски).
3. Лекционная аудитория новых информационных технологий
4. Компьютерная лаборатория:
Компьютер С1100/128/40Gb/3,5/Cd/LAN – 10 шт.
Philips 107E20 17 – 10 шт.
5. Мультимедиа проектор SAN40 PLC-400P – 1 шт.
6. Графопроектор «Пеленг-2400» (кодоскоп) – 1 шт.