Актуальные проблемы математического анализа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Тобольске
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_______________________ /Короткова Е.А../
__________ _____________ 201__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Актуальные проблемы математического анализа »
Направление подготовки
44.04.01. «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль
«Математическое образование»
(наименование программы)
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
заочная
Тобольск 2013
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
______________________________________________________________________________
Дисциплина:
_Актуальные проблемы математического анализа______________________________
Учебный план: 44.04.01. «Педагогическое образование», профиль «Математическое образование»
Автор:
_Ярков Владимир Георгиевич ___________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
__Ярков Владимир Георгиевич, доцент, тел. 89026244222 _____________________________
_____________
_____________
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
дата
Содержание
с.
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
5.
5.1.
6.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
8.
Цели и задачи освоения дисциплины ………………………………………………….....
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......…………………………….....................
Требования к результатам освоения содержания дисциплины........................................
Содержание и структура дисциплины (модуля)....…………………………....................
Содержание разделов дисциплины.....................................................................................
Структура дисциплины........................................................................................................
Лабораторные работы……………………………………………………….......................
Практические занятия (семинары)....………………………………………......................
Курсовой проект (курсовая работа).....................................................................................
Самостоятельное изучение разделов дисциплины…………….………….......................
Образовательные технологии..............................................................................................
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации........
Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)......................……………….
Основная литература………………………………………………………….....................
Дополнительная литература………………………………………………….....................
Периодические издания.....……………………………………….…………......................
Интернет-ресурсы..................................................................................................................
Методические указания к лабораторным занятиям ……………………..………............
Методические указания к практическим занятиям ...........................................................
Программное обеспечение современных информационно-коммуникационных
технологий ..............
Материально-техническое обеспечение дисциплины……………………......................
Лист согласования рабочей программы дисциплины…..…………………....................
Дополнения и изменения в рабочей программе дисциплины ……………....................
4
4
4
5
5
6
7
8
8
8
9
9
9
11
11
11
11
11
11
11
11
11
13
14
Б1.В. ДВ.5. Актуальные проблемы математического анализа
1. Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Актуальные проблемы математического анализа» является
изучение основных понятий функционального анализа, в частности, теории линейных
операторов, спектральной теории, теории расширений.
Задачи дисциплины:
 изучение основных структур математического анализа;
 установление межпредметных связей между данной дисциплиной и ранее
читаемыми курсами линейной алгебры, математического анализа, геометрии;
 рассмотрение математических методов описания и изучения некоторых
физических процессов и явлений;
 применение методов теории линейных операторов для решения теоретических
и практических задач математики.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
«Актуальные проблемы математического анализа» изучаются как дисциплина
направления в 4-ом семестре. Согласно учебному плану общий объем часов по
дисциплине составляет 72 часа (2 зачетные единицы), из них 14 часов – аудиторные
(лекции – 4 часа, практические занятия – 10 часов), 54 часа – самостоятельная работа
студентов, 4 часа - контроль. Итоговый контроль по дисциплине – зачет в 4-ом семестре.
Данная дисциплина имеет межпредметные связи с ранее читаемыми курсами
математического анализа, функционального анализа, линейной алгебры, геометрии.
Данная дисциплина направлена на изучение основных свойств линейных операторов,
возможностей их применения для решения теоретических задач и прикладных задач
математики, теоретической физики и других наук.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки:
а) общих (ОК):
ОК-1 – способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу, способностью
совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень;
б) профессиональных (ПК):
ПК-5 – способностью анализировать результаты научных исследований, применять
их при решении конкретных научно-исследовательских задач в сфере науки и
образования, самостоятельно осуществлять научное исследование.
.
Студент, изучивший дисциплину,
должен знать:
 содержание предмета, его методологию, связь с другими дисциплинами;
 определения, свойства и примеры рассматриваемых математических понятий;
 основные методы построения моделей прикладных задач, основные методы их
решения;
 смысл и формулировки основных типов задач теории линейных операторов;
должен уметь:
 определить тип задачи, подобрать соответствующие методы ее решения;






построить математическую модель задачи, решить ее, интерпретировать ответ;
проверить выполнимость определений и свойств рассматриваемых объектов;
находить обратный оператор, левый обратный, правый обратный операторы;
находить собственные значения, собственные векторы, спектр оператора;
доказывать теоремы существования и единственности решений;
решать обратную задачу Штурма-Лиувилля;
должен владеть:
 навыками работы со специальной литературой;
 навыками математического моделирования;
 вычислительными навыками.
приобрести опыт деятельности:
 по исследованию основных свойств линейных операторов;
 по применению линейных операторов для решения математических задач.
4. Содержание и структура дисциплины
4.1 Содержание разделов дисциплины
№
Наименование
раздела
раздела
1.
Операторы в
гильбертовом
пространстве.
2.
Сопряженные
операторы.
Элементы
спектральной теории.
3.
4.
Линейный
дифференциальный
оператор.
5.
Расширения
симметрического
оператора.
Содержание раздела
Геометрия гильбертова пространства. Базис и размерность. Операторы
проектирования. Ортогональные разложения в гильбертовом
пространстве. Ограниченные и изометрические операторы. Матричное
представление линейного ограниченного оператора в гильбертовом
пространстве.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра
самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.
Собственные значения и собственные функции линейного оператора.
Спектральная функция. Интегралы по спектральной функции.
Основная спектральная теорема.
Линейные дифференциальные выражения. Краевые условия.
Однородная краевая задача. Формула Лагранжа. Сопряженная краевая
задача. Задача обращения дифференциального оператора. Построение
функции Грина. Обращение дифференциального оператора при
помощи функции Грина.
Дефектные
подпространства
симметрического
оператора.
Преобразование Кэли. Формула фон Неймана. Размерность по
модулю. Индекс дефекта. Описание симметрических расширений
данного симметрического оператора.
4.2 Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы (72 часа) в 4-ом
семестре.
Вид работы
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Часы
72
14
4
10
Вид работы
Часы
Самостоятельная работа:
Вид итогового контроля (зачет)
54
4
Разделы дисциплины, изучаемые в 4 семестре
Количество часов
№
раздела
2
Операторы в гильбертовом пространстве.
Сопряженные операторы.
2
Элементы спектральной теории.
3
Линейный дифференциальный оператор.
4
Расширения симметрического оператора.
5
Л
ПЗ
контроль
3
4
5
6
Внеауд.
работа
СР
7
12
-
2
-
10
12
-
2
-
10
12
2
2
12
2
2
-
12
10
-
2
4
12
72
4
10
4
54
Всего
1
1
Аудиторная
работа
Наименование разделов
ИТОГО
10
4.3 Лабораторные работы
Не предусмотрены.
4.4 Практические занятия (семинары)
№
№
занятия раздела
1
2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Тема
Кол-во
часов
3
4
Операторы в гильбертовом пространстве.
Сопряженные операторы.
Элементы спектральной теории.
Линейный дифференциальный оператор.
Расширения симметрического оператора.
2
2
2
2
2
4.5 Курсовой проект (курсовая работа)
Не предусмотрено.
4.6 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кол-во
раздела
часов
1
1
2
3
2
Операторы в гильбертовом пространстве.
Сопряженные операторы.
3
10
10
Элементы спектральной теории.
10
Линейный дифференциальный оператор.
4
5
12
Расширения симметрического оператора.
12
5. Образовательные технологии
Лекционно-практические занятия.
Индивидуальные и групповые формы работы на занятиях.
Дифференцированный подход к обучающимся.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
Перечень вопросов к зачету
1. Определения и свойства линейного пространства, метрического пространства.
2. Сжимающие отображения в полных метрических пространствах. Теорема Банаха.
3. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.
1.
Определение
линейного
функционала.
Представление
линейных
функционалов в метрических пространствах.
2.Непрерывные линейные операторы. Ограниченность и норма линейного оператора.
Критерий ограниченности.
3. Обратный оператор. Линейность оператора, обратного к линейному.
7. Определение и примеры гильбертовы пространства. Матричное представление
линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.
8.
Собственные значения и собственные функции линейного оператора. Спектр
оператора. Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра
самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.
9. Спектральная функция. Интегралы по спектральной функции. Основная спектральная
теорема.
10. Сопряженные и самосопряженные операторы. Симметрические операторы.
11. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной
функции.
12. Линейное дифференциальное выражение и линейный дифференциальный оператор.
13. Обращение дифференциального оператора при помощи функции Грина.
14. Расширения симметрического оператора.
15. Дефектные подпространства симметрического оператора. Формула фон Неймана.
16. Симметрические дифференциальные операторы.
Примерная тематика рефератов
1. Сжимающие отображения в полных метрических пространствах. Принцип сжимающих
отображений.
2.Определение линейного функционала. Представление линейных функционалов в
метрических пространствах.
3.Элементы спектральной теории.
4. Сопряженные и самосопряженные операторы. Симметрические операторы.
5.Линейные дифференциальные операторы.
6.Расширения симметрических операторов.
7.Линейные операторы в гильбертовых пространствах.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)
7.1. Основная литература
1.Канторович Л.В. Функциональный анализ. - М.: БХВ-Петербург: Невский диалект, 2004.
2.Порошкин А.Г. Функциональный анализ. - М.: Вузовская книга, 2004.
3.Рудин У. Функциональный анализ. - 2-е изд. - М.: Лань, 2005.
4.Садовничий В.А. Теория операторов: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2001.
5.Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - М.: Физматлит, 2003.
6. Шмелькин Д.А. Теория функций и функциональный анализ. – М.: СГУ, 2005.
7.2. Дополнительная литература
1.Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,
т. 1,2. – Харьков: Вища школа, 1977.
2. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. Специальный курс. – М.: Просвещение, 1980.
3.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М.: Наука, 1989.
4.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969.
5.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Е.С. Задачи по функциональному анализу. –
М.: Мир, 1984.
7.3. Периодические издания
1. Квант.
2. Математика в школе.
3. Успехи математических наук.
7.4. Интернет-ресурсы
7.5. Методические рекомендации к лабораторным работам
Лабораторные работы не предусмотрены.
7.6. Методические рекомендации к практическим занятиям
Практические занятия проводятся в объеме 10 часов. Решение практических
примеров основано на содержании теоретического материала, рассмотренного на
лекционных занятиях, и изученного самостоятельно. Целью практических занятий
является отработка умений и навыков по основным разделам теории линейных операторов
и функционального анализа. Рассматриваются линейные операторы, заданные в
конечномерных и бесконечномерных пространствах. В связи с этим актуальна связь
данной дисциплины с линейной алгеброй и математическим анализом. Рекомендуется
повторение соответствующих разделов данных дисциплин.
7.7.
Программное
обеспечение
современных
информационнокоммуникационных технологий
Среды программирования Delphi, Vbasic; математические пакеты MathCad,
Mathematica; табличный процессор Microsoft Excel.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Локальная сеть ТГСПА им. Д.И.Менделеева с доступом в интернет.
2. Оборудование: аудитории для обеспечения визуализации лекций и получения обратной
связи (интерактивные доски).
3. Лекционная аудитория новых информационных технологий
4. Компьютерная лаборатория:
Компьютер С1100/128/40Gb/3,5/Cd/LAN – 10 шт.
Philips 107E20 17 – 10 шт.
5. Мультимедиа проектор SAN40 PLC-400P – 1 шт.
6. Графопроектор «Пеленг-2400» (кодоскоп) – 1 шт.