Структура практического занятия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА города СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД
Редакция № 3
Учебно-методические мате- от ______.2015
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
риалы по дисциплине
г.
«Экономико-математическое взамен ред. №2
моделирование»
от 11.09.2014
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Экономико-математическое моделирование»
для специальностей «5В070300» — «Информационные системы»
«5В050800» – «Учет и аудит»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
2015
Страница 2 из 56
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Содержание
1 Глоссарий
2 Лекции
3 Практические и лабораторные занятия
4 Курсовая работа
5 Самостоятельная работа обучающихся
Страница 3 из 56
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 4 из 56
1 ГЛОССАРИЙ
В настоящем УММ использованы следующие термины с соответствующими
определениями:
Базисное решение — допустимое решение задачи линейного программирования, находящееся в вершине области допустимых решений.
Допустимый план — решение, удовлетворяющее системе ограничений, но не
обязательно оптимальное.
Динамическое программирование — метод решения задач, в которых процесс
нахождения решения является многоэтапным.
Игра – это действие или формальный конфликт, в которой имеются, два
участника, каждый из которых стремиться к достижению собственной цели.
Игрок — участник игровой модели.
Итерация — этап реализации алгоритма, отличающийся от его других этапов
(кроме начального и конечного) лишь значениями переменных величин, но не составом процедур обработки информации.
Коэффициенты линейных ограничений — нормы расхода ресурсов.
Линейное программирование (ЛП)— методы решения задач, в которых ограничения и целевая функция линейны.
Модель — условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования.
Ограничение — неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов.
Оптимальное решение — вариант, для которого принятый критерий принимает наилучшее значение.
Переменная — величина, принимающая различные значения.
Платежная матрица — прямоугольная таблица, в которую сводятся возможные исходы игры.
Правила игры — допустимые действия каждого из игроков, направленные на
достижение некоторых целей.
Симплекс-метод — метод решения задач линейного программирования.
Стратегия — система правил, однозначно определяющих поведение игрока на
каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Теория игр занимается методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска, вырабатывает рекомендации для различного поведения игроков в
конфликтной ситуации.
Транспортная задача — задача о наиболее экономном плане перевозок однородного груза из пункта отправления заданной мощностью в пункт назначения с заданным спросом.
Ход игрока — выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами
действий.
Целевая функция — критерий оптимизации, признак, характеризующий качество принимаемого решения (максимум прибыли, минимум затрат).
Экономико-математические методы — название комплекса экономических и
математических научных дисциплин, введенное академиком В. С. Немчиновым в
начале 60-х годов.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 5 из 56
Экономико-математическая модель — это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.
Экономико-математическое моделирование — процесс построения экономико-математической модели.
2 ЛЕКЦИИ
Модуль 1. Введение в экономико-математическое моделирование.
Лекция 1.
Тема: Введение в экономико-математическое моделирование. Три формы
записи задач линейного программирования
План лекции:
1. Основные понятия моделирования.
2. Основные типы моделей.
3. Формулировка задачи линейного программирования.
4. Общая форма записи задач ЛП.
5. Стандартная форма записи задач ЛП.
6. Основная (каноническая) форма записи задач ЛП.
7. Переход от одной формы записи к другой.
Основным понятием курса является понятие математической модели. В настоящее время в литературе насчитывается несколько десятков определений понятия
"модель", отличающихся друг от друга. В общем случае слово модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой,
эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц
и т.д.
Модель – условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо
позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.
Процесс построения экономико-математической модели называют экономико-математическим моделированием. Естественно, моделирование и построение
математической модели экономического объекта позволяют свести экономический
анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.
Построение экономической модели.
1. Формулируется предмет и цели исследования.
2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или
функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются
наиболее важные качественные характеристики. Этих элементов.
3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 6 из 56
4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик
экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым, формулируется математическая модель.
5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.
Существуют следующие типы моделей:
1. Модели линейного программирования.
2. Модели нелинейного программирования.
3. Модели динамического программирования.
4. Модели целочисленного программирования.
5. Стохастические модели (задачи, имеющие случайные элементы).
6. Модели теории игр.
7. Модели теории массового обслуживания.
8. Модели управления запасами.
9. Модели сетевого планирования и управления.
Общая и основная задача линейного программирования
Рассмотренный пример позволяет сформулировать общую задачу линейного
программирования.
n
F ( x)  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j  max( или  min)
(1)
j 1
Система ограничений:
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
n
 21 1
22 2
2n n
2


 a ij x j  b i (i  1, k )
..........
..........
..........
..........
........
j1


a k1 x 1  a k 2 x 2  ...  a kn x n  b k
a( k 1)1 x1  a( k 1) 2 x2  ...  a( k 1) n xn  b( k 1)

n
a( k  2 )1 x1  a( k  2 ) 2 x2  ...  a( k  2 ) n xn  b( k  2 )

aij x j  bi (i  (k  1), m)


j 1
..................................................................
a x  a x  ...  a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
x j  0 j  1, n


(2)
(3)
(4)
Определение 1 Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (1) при условиях (2)-(4), где a ij , b i и c j - есть постоянные величины.
Определение 2 Функция (1) называется целевой функцией задачи (1)-(4), а
условия (2), (3), (4) – ограничением данной задачи.
Определение 3 Стандартной задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (1) при выполнении условий (2) и (4).
Определение 4 Канонической (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимально-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 7 из 56
го) значения функции (1) при выполнении условий (3) и (4).
Определение 5 Совокупность чисел X  ( x 1 , x 2 ,, x n ) , удовлетворяющие
условиям ограничения задачи (2) и (4), называется допустимым решением или планом (или же базисным решением).
Определение 6 План X *  ( x 1* , x *2 ,, x *n ) , при котором целевая функция задачи
(1) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным
планом.
Теорема 1: Всякому решению (a1 , a 2 ,..., a n ) неравенства
(5)
ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi
соответствует определенное решение (a1 , a 2 ,..., a n ; a ni ) уравнения
(6)
ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  xni  bi
в котором x n i  0
(7)
и, наоборот, каждому решению (a1 , a2 ,..., an ; ani ) уравнения (6) и неравенства (7)
соответствует определенное решение (a1 , a2 ,..., an ) неравенства (5).
Различия между тремя формами записи задач линейного программирования
(ЗЛП) представим в таблице:
Общая форма ЗЛП
Стандартная форма
Основная (каноничеЗЛП
ская) форма ЗЛП
Целевая функция
Max, Min
Max, Min
Max
Система ограничений
=
, , , ≤, ≥
, , ≤, ≥
Условие неотрицательности
Некоторые переменные
Все переменные неотВсе переменные неотмогут быть неотрицательрицательны
рицательны
ны
Три формы записи ЗЛП эквивалентны в том смысле, что задачу записанную в
одной из форм можно перевести в другую. Для этого нужно уметь:
1. Переходить от задачи на Max к задаче на Min. Для этого необходимо Целевую функцию умножить на (-1).
Например:
F  2 x1  4 x 2  6 x3  max
 F  2 x1  4 x 2  6 x3  min
2. Переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям. При
этом необходимо включить в ограничения-неравенства дополнительные
переменные, которые считаем неотрицательными. Причем, если ограничение имеет знак ≤ переменная включается со знаком «+», а если ≥ - со знаком «—».
Например:
2 x1  7 x 2  14
2 x1  7 x 2  x3  14
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 8 из 56
 x1  4 x 2  3x 4  18
 x1  4 x 2  3x 4  x5  18
3. Переходить к задаче, где все переменные неотрицательны. Пусть на переменную xi не накладывается условие неотрицательности, тогда ее заменяют
двумя новыми – неотрицательными уi и yi+1. Причем xi=уi - yi+1.
F  x1  5 x2  max
 x1  x 2  12
3x1  6 x 2  18
Например: 
x2  0
Решение:
x1=y1 - y2
x2=y3
F  y1  y 2  5 y 3  max
 y1  y 2  y 3  12

3 y1  3 y 2  6 y 3  18
y1 , y 2 , y 3  0
Вопросы для самоконтроля:
1. Что понимают под математической моделью задачи?
2. Что называется математической моделью экономической задачи и как она
строится?
3. Сформулируйте общую задачу линейного программирования.
4. Какие виды ограничений могут содержаться в ЗЛП?
5. Общая форма записи ЗЛП.
6. Стандартная форма записи ЗЛП.
7. Основная (каноническая) форма записи ЗЛП.
8. Как перейти от неравенств к уравнениям?
9. Какие переменные называются дополнительными и какой коэффициент соответствует им в линейной функции ЗЛП?
10.Как перейти от функции, стремящейся к максимуму на минимум?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 9 из 56
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 1. Введение в экономико-математическое моделирование.
Лекция 2.
Тема: Графический метод решения задач линейного программирования
План лекции:
1. Область применения графического метода.
2. Алгоритм нахождения решения задачи линейного программирования графическим методом.
3. Возможные случаи при решении задач графическим методом.
Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования. Если система ограничений задачи линейного программирования задана в виде системы линейных неравенств с двумя переменными или в
виде системы линейных уравнений, в которой число переменных на два превышает
число уравнений, то такие задачи могут быть решены графически. Указанные ограничения свидетельствуют о том, что графический метод решения имеет очень узкие
рамки применения, поэтому о нем нельзя говорить как об основном методе решения
задач линейного программирования.
Однако для выработки наглядных представлений о задачах линейного программирования графический метод представляет определенный интерес.
Графическим методом можно решить следующие задачи:
1. Задачу, записанную в стандартной форме, с числом переменных 2.
2. Задачу, записанную в канонической (основной) форме, удовлетворяющей
условию n – r ≤ 2, где n – количество переменных в системе, а r - количество уравнений в системе ограничений.
3. Задачу, записанную в общей форме, но после приведения к основной, удовлетворяющей условию n – r ≤ 2.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве,
т.е. ограничения содержат две переменные.
Найти максимальное (минимальное) значение функции
F ( x)  c1 x1  c2 x2  max(min)
при ограничениях:
a11 x1  a12 x2  b1
a x  a x  b
 21 1
22 2
2
 ai1 x1  ai 2 x2  bi

............................
am1 x1  am 2 x2  bm
x1  0, x2  0
Алгоритм нахождения решения задачи линейного программирования графическим методом
1. На плоскости x1Ox2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
2. ai1 x1  ai 2 x2  bi  x1  0, x2 
Страница 10 из 56
bi
b
, x2  0, x1  i
ai 2
ai1
3. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
4. Находят многоугольник решений.
5. Стоят вектор С  (c1 , c 2 ) , который указывает направление возрастания целевой функции.
6. Строят прямую c1x1  c 2 x 2  h , проходящую через многоугольник решений.
7. Передвигают прямую c1x1  c 2 x 2  h в направлении вектора С , в результате чего находят либо точку (точки), в которой целевая функция принимает
максимальное значение или против направления вектора С и находят точку (точки), в которой функция принимает минимальное значение, либо
устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.
8. Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
При решении задачи графическим методом могут встретиться следующие
случаи:
1. Максимальное и минимальное значения находятся в одной точке.
Fmax ( A)  Fmin ( A)
2. Максимальным (минимальным) значением является отрезок.
Fmax (CD), Fmin ( AE)
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 11 из 56
3. Пустое множество, когда система неравенств несовместима (нет решений).
4. Максимальным значением функции является положительная область допустимых решений.
Fmax  
5. Максимальным значением функции является положительная область допустимых решений, а минимальным – отрицательная.
Fmax  , Fmin  
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 12 из 56
Вопросы для самоконтроля:
1. В каких случаях применим графический метод решения ЗЛП?
2. Что называется допустимым решением и областью допустимых решений
(ОДР) задачи математического программирования.
3. В чем заключается геометрическая интерпретация задачи ЛП?
4. Каковы основные этапы графического метода решения ЗЛП?
5. Что называется оптимальным решением задачи ЛП?
6. Какие случаи возможны при решении задачи ЛП?
7. В какой точке многогранника решений линейная функция задачи ЛП достигает своего оптимального значения?
8. Как определить по рисунку, имеет ЗЛП решение или ее оптимум находится
в ?
9. От чего зависит наличие оптимального решения, если ОДР неограниченный многоугольник?
10.Каким будет оптимальное решение, если ОДР — пустое множество?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования и теория двойственности
Лекция 3, 4.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 13 из 56
Тема: Симплексный метод решения задач линейного программирования
План лекции:
1. Применимость симплекс-метода.
2. Алгоритм симплексного метода.
3. Построение опорного плана.
4. Признаки оптимальности.
5. Существование единственного и несуществующего решения.
Симплексный метод—это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки
(базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит
 умение находить начальный опорный план;
 наличие признака оптимальности опорного плана;
 умение переходить к нехудшему опорному плану.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в
вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за
вершиной, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплексметод.
Симплекс- это выпуклый многогранник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство
на два полупространства). Например, линия бюджетных ограничений делит блага на
доступные и недоступные.
Геометрическим образом опорного решения является координаты угловой
(или крайней) точки области допустимых решений (ОДР) данной системы ограничений.
У неограниченной ОДР тоже могут быть опорные точки.
Для поиска оптимального решения задачи ЛП, согласно теории ЛП, достаточно проверить на оптимальность только угловые точки ОДР.
Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев зацикливания.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 14 из 56
Задачу возможно решить симплекс-методом если:
− задача записана в основной форме;
− правая часть уравнений неотрицательная;
− среди векторов единичных столько, сколько уравнений в системе.
Алгоритм симплексного метода.
Первый этап. Строится исходная модель. Далее исходная матрица условий
преобразуется в приведенную основную форму, которая среди всех других форм
выделяется тем, что:
а) правые части условий (свободные члены bi) являются величинами неотрицательными;
б) сами условия являются равенствами;
в) матрица условий содержит полную единичную подматрицу.
Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются
на -1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые обычно обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.
Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое
начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную
подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.
Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется
при помощи специальных оценок j по формуле j   Cб  Pj  c j . Значение целевой
функции находятся в столбце Р0 по формуле F   Cб  P0 . Если все оценки j положительны или равны нулю, то имеющееся базисное решение оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции меньше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.
Признаки оптимальности.
Теорема. Пусть исходная задача решается на максимум. Если для некоторого
опорного плана все оценки  i ( j  1, n ) неотрицательны, то такой план оптимален.
Теорема. Если исходная задача решается на минимум и для некоторого опорного плана все оценки  i ( j  1, n ) неположительные, то такой план оптимален.
Четвертый этап. Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в
оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно.
Это определяется по наименьшему отрицательному значению оценки j.
Столбец симплексной таблицы с этим номером на данной итерации называется разрешающим столбцом.
Далее, если хотя бы один элемент разрешающего столбца аij строго положителен, то отыскивается разрешающая строка (в противном случае задача не имеет оптимального решения).
Для отыскания разрешающей строки все свободные члены (ресурсы) делятся
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 15 из 56
на соответствующие элементы разрешающего столбца (норма расхода ресурса на
единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется разрешающей. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации.
Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении разрешающих
столбца и строки, называется разрешающим элементом.
Затем все элементы разрешающей строки (включая свободный член) делятся
на разрешающий элемент. В результате этой операции разрешающий элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы разрешающего столбца стали бы равны нулю, т.е. разрешающий столбец должен стать единичным.
Пересчет новой таблицы выполняем по правилу прямоугольника (треугольника) или методом Жордана-Гаусса.
Расчет по правилу «прямоугольника» производится по следующей формуле:
a ' ik  aik 
I–я
Стр
ока
Q–
я
Стр
ока
a qk  aip
a qp
К-й
столбец
p–й
столбец
aik
aip
aqp
aqk
Пятый этап. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность
(см. третий этап). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются. В противном
случае необходимо найти новое базисное решение (четвертый этап) и т.д.
Пример решения ЗЛП симплексным методом
Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции х1 и х2 (табл. 1).
Таблица 1.
Вид продукНорма расхода ресурса на единицу
Прибыль на единицу изции
прибыли
делия
А
В
1
5
8
7
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
2
Объем ресурса
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
20
4
20
36
Страница 16 из 56
3
1. Построим ОМ
ограничение по ресурсу А;
ограничение по ресурсу В.
2. Преобразуем задачу в основную (каноническую) форму. Для этого достаточно ввести дополнительные переменные x3 и x4. В результате неравенства преобразуются в строгие равенства:
Построим исходную симплексную таблицу и найдем начальное базисное решение. Им будет пара значений дополнительных переменных, которым соответствует единичная подматрица
и
Базисные переменные
Свободные члены (план)
x1
x2
x3
x4
x3
20
5
2
1
0
x4
36
8
4
0
1
j
-7
-3
0
0
1-я итерация. Находим разрешающий столбец и разрешающую строку:
max (-7, –3)=-7
Разрешающий элемент равняется 5.
Базисные переменные
x1
Свободные члены (план)
4
x1
1
x2
0,4
x4
4
0
0,8
j
28
0
0,2
x3
0,2
1,6
x4
0
1,4
0
1
2-я итерация. Найденное базисное решение не является оптимальным, так как
среди  j есть один отрицательный элемент. Находим разрешающий столбец и разрешающую строку:
Разрешающий столбец х2
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Базисные переменные
x1
x2
j
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 17 из 56
Свободные члены (план)
x1
x2
x3
x4
2
5
29
1
0
0
0
1
0
1
-2
1
-0,50
1,25
0,25
Найденное решение оптимально, так как все специальные оценки целевой
функции  j равны нулю или отрицательны F(x)=29; x1=2; x2=5.
Вопросы для самоконтроля:
1. В чем заключается идея симплекс-метода?
2. В каком виде должна быть записана модель задачи ЛП для решения ее
симплекс методом?
3. Как построить первое базисное решение? В каком случае оно будет опорным решением задачи ЛП?
4. Из каких этапов состоит переход от одного опорного решения к другому?
5. Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план
не является оптимальным?
6. Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?
7. Какой элемент называется разрешающим?
8. Что является критерием оптимальности решения задачи ЛП в симплексметоде?
9. Как определяется текущее значение целевой функции из таблицы?
10.Сформулируйте последовательность этапов практической реализации алгоритма симплекс-метода при решении ЗЛП.
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования и теория двойственности
Лекция 5, 6.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 18 из 56
Тема: Метод искусственного базиса решения ЗЛП
План лекции:
1. Применимость метода.
2. Составление расширенной задачи.
3. Существование единственного и несуществующего решения.
4. Алгоритм решения задачи ЛП методом искусственного базиса.
Метод искусственного базиса применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи ЛП, записанной в канонической форме.
Метод искусственного базиса заключается в применении правил симплексметода к так называемой М-задаче.
Если система ограничений имеет вид

n
j1
a ij x j  b i ,
bi  0
(i  1,.., m)
Сведём её к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных x n 1  0
(i  1,.., m) из левых частей неравенств системы. Получим систему

n
j1
a ij x j  x n 1  b i ,
bi  0
(i  1,..., m)
Система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные x n 1 входят в левую часть (при b i  0 ) с коэффициентами, равными
;...;
0;  b1 ;b 2 ;...;b m ) не является
–1. Поэтому, вообще говоря, базисный план x o  (0

n
допустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные  i , которые не имеют никакого экономического
смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода. В целевую функцию переменные  i , вводят с коэффициентом М в случае решения задачи
на минимум и с коэффициентом -М для задачи на максимум, где М - большое положительное число. В этом случае даже небольшое ненулевое значение искусственной
переменной будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции.
Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных. Полученная задача называется расширенной (М-задачей), соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.
Пусть исходная ЗЛП имеет вид
n
max(min) Z   j1 c j x j
(1)

n
j1
a ij x j  b i ,
xj  0
bi  0
(i  1,.., m)
(2)
( j  1,.., n )
(3)
причём ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. Мзадача запишется так:
n
m
max(min) Z   j1 c j x j  ()i 1 M i
(4)

n
j1
a ij x j  i  b i ,
(i  1,.., m)
(5)
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
xj  0
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 19 из 56
( j  1, n ) ,  i  0 , (i  1,.., m)
(6)
Задача (4)-(6) имеет предпочтительный план. Её начальный опорный план
имеет вид
x o  (0
;0
;...;
0;b1 ; b 2 ;...; b m )



n
Если некоторые из уравнений (2) имеют предпочтительный вид, то в них не
следует вводить искусственные переменные.
Теорема. Если в оптимальном плане
x  ( x 1 ; x 2 ;...; x n ; 1 ;  2 ;...;  m )
(7)
М-задачи (4)-(6) все искусственные переменные i  0 (i  1, . m
. ,) , то план
x  (x1 ; x 2 ;...; x n ) является оптимальным планом исходной задачи (1)-(3).
Для того чтобы решить задачу с ограничениями, не имеющими предпочтительного вида, вводят искусственный базис и решают расширенную М-задачу, которая имеет начальный опорный план x o  (0
;0
;...;
0;b1 ; b 2 ;...; b m )



n
При применении к этой задаче симплекс-метода оценки j будут зависеть от
«буквы М». Для сравнения оценок нужно помнить, что М—достаточно большое положительное число, поэтому из базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные.
В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы
вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение Мзадачи содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная
задача также неразрешима.
Если в результате применения симплексного метода к расширенной задаче
получен оптимальный план, в котором все искусственные переменные  i  0 , то его
первые n компоненты дают оптимальный план исходной задачи.
Теорема. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных
переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т.
е. ее условия несовместны.
Вопросы для самоконтроля:
1. В каком случае для решения задачи ЛП используется метод искусственного
базиса? В чем суть этой модификации симплекс-метода?
2. Как строится М-задача?
3. Какая переменная называется искусственной, когда она вводится и какой
коэффициент соответствует ей в линейной функции?
4. Что такое М?
5. Как решается М-задача?
6. Как по решению М-задачи определяется решение исходной задачи? Назовите возможные случаи.
7. Когда оптимальный план расширенной задачи является оптимальным планом исходной задачи?
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 20 из 56
8. Как определяется вектор, подлежащий включению в базис при использовании искусственного базиса?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования и теория двойственности
Лекция 7.
Тема: Двойственные задачи линейного программирования. Построение
двойственных задач.
План лекции:
1. Понятие двойственности.
2. Правила построения двойственной задачи к исходной.
3. Симметрична, несимметричная и смешанная пара двойственных задач.
Понятие двойственности
С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первая задача называется прямой или исходной. Многие задачи программирования первоначально ставятся в виде исходных или
двойственных задач, поэтому говорят о паре взаимно двойственных задач линейного
программирования. Пара симметричных двойственных задач ЛП имеет следующий
вид:
прямая задача двойственная задача
Рассмотренная пара взаимно двойственных задач может быть экономически
интерпретирована, например, так.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 21 из 56
Прямая задача: сколько и какой продукции xi (i  1, n) надо произвести,
чтобы при заданных стоимостях единицы продукции ci (i  1, n) , объемах имеющихся ресурсов bj, (j = 1, m) и нормах расходов aij максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов уj, чтобы при заданных bj, сi , и aij минимизировать общую оценку затрат на
все ресурсы?
Сформулируем правила построения модели любой из задач данной пары, если
другая модель известна. Приведем порядок построения двойственной задачи к произвольной задаче ЛП.
Для построения двойственной задачи необходимо пользоваться следующими
правилами:
1) если прямая задача решается на максимум, двойственная - на минимум, и
наоборот;
2) в задаче на максимум ограничения-неравенства имеют смысл ≤, а в задаче
минимизации - смысл ≥;
3) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;
4) матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы
системы ограничений задачи транспонированием;
5) свободные члены системы ограничений задачи являются коэффициентами
при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи, и наоборот;
6) если на переменную прямой задачи наложено условие не отрицательности,
то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение-равенство;
7) если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на
соответствующую переменную двойственной задачи условие не отрицательности не
налагается.
Исходная задача
Двойственная задача
n
1.
a
k 1
ik
x k  ai 0 ,
i  1,..., l
yi  0,
ik
x k  ai 0 ,
i  l  1,..., m
yi  произвольные,
n
2.
a
k 1
3. xn  0,
k  1,..., s,
sn
m
a
i 1
4. xk  произвольные,
k  s  1,..., n
i 1
n
5. F   c k x k  max
k 1
i  l  1,..., m
ik
yi  ck ,
k  1,..., s
ik
yi  ck ,
k  s  1,..., n
m
a
i  1,..., l
m
Z   a i 0 y i  min
i 1
Понятие двойственности рассмотрим на примере задачи оптимального использования сырья. Пусть на предприятии решили рационально использовать отхо-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 22 из 56
ды основного производства. В плановом периоде появились отходы сырья m видов в
объемах b i единиц (i  1,..., m) . Из этих отходов, учитывая специализацию предприятия, можно наладить выпуск n видов неосновной продукции. Обозначим через a ij
норму расхода сырья i-го вида на единицу j-й ( j  1,..., n ) продукции, c j - цена реализации единицы j-й продукции (реализация обеспечена). Неизвестные величины задачи: x j — объемы выпуска j-й продукции, обеспечивающие предприятию максимум выручки.
Математическая модель задачи:
(1)
max Z  c1 x1  c 2 x 2  ...  c n x n
a 11x 1  a 12 x 2  a 1n x n  b1

a 21x 1  a 22 x 2  a 2 n x n  b 2 

......................................... 
a m1 x 1  a m 2 x 2  a mn x n  b m 
x j  0 ( j  1, n )
(2)
(3)
Предположим далее, что с самого начала при изучении вопроса об использовании отходов основного производства на предприятии появилась возможность реализации их некоторой организации. Необходимо установить прикидочные оценки
(цены) на эти отходы. Обозначим их y1 , y 2 ,..., y m .
Оценки должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и организации:
1) общую стоимость отходов сырья покупающая организация стремится минимизировать;
2) предприятие согласно уступить отходы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить,
организовав собственное производство.
Эти требования формализуются в виде следующей ЗЛП.
Требование 1 покупающей организации – минимизация покупки:
(4)
min f  b1 y1  b 2 y 2  ...  b m y m
Требование 2 предприятия, реализующего отходы сырья, можно сформулировать в виде системы ограничений. Предприятие откажется от выпуска каждой единицы продукции первого вида, если a11y1  a12 y 2  ...  a m1 y m  c1 , где левая часть означает выручку за сырьё идущее на единицу продукции первого вида; правая – её цену.
Аналогичные рассуждения логично провести в отношении выпуска продукции
каждого вида. Поэтому требование предприятия, реализующего отходы сырья, можно формализовать в виде сл. системы ограничений:
a 11 y1  a 12 y 2  ...  a m1 y m  c1 
a 12 y1  a 22 y 2  ...  a m 2 y m  c 2 

.............................................. 
a 1n y1  a 2 n y 2  ...  a mn y m  c n 
(5)
По смыслу задачи оценки не должны быть отрицательными:
(6)
y1  0, y 2  0,..., y m  0
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 23 из 56
Переменные y i (i  1,..., m) называют двойственными оценками или объективно
обусловленными оценками.
Задачи (1)-(3) и (4)-(6) называют парой взаимно двойственных ЗПЛ.
Теорема. Для любых допустимых планов x  (x1 ,..., x n ) и y  ( y1 ,..., y m ) прямой и
двойственной ЗЛП справедливо неравенство z( x )  f ( y) , т.е.
n
m
j1 c j x j  i1 b i y i (7) – основное неравенство теории двойственности.
Вопросы для самоконтроля:
1. Запишите математические модели пары двойственных задач.
2. Дайте экономическую интерпретацию пары двойственных задач.
3. Сформулируйте правила построения двойственной задачи к исходной.
4. В чем заключается сущность двойственности в линейном программировании?
5. Пусть исходная задача состоит в оптимальном использовании ресурсов.
Дайте экономическую интерпретацию двойственной задачи.
6. Какие задачи ЛП относятся к несимметричным и симметричным, в чем их
отличие?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 2. Симплексный метод решения задач линейного программирования и теория двойственности
Лекция 8.
Тема: Основные теоремы двойственности. Экономическая интерпретация
двойственных задач.
План лекции:
1. Первая теорема двойственности.
2. Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости).
3. Третья теорема двойственности (теорема об оценках).
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 24 из 56
Двойственная задача ЛП может быть сформулирована следующим образом:
найти переменные yi (i=1, 2, ..., m), при которых целевая функция была бы минимальной
не нарушая ограничений
Данная задача называется двойственной (симметричной) по отношению к
прямой задаче, записанной в основной форме. Однако правильным будет и обратное
утверждение, так как обе задачи равноправны. Компоненты решения двойственной
задачи называются объективно обусловленными оценками.
Прямая и обратная задачи ЛП связаны между собой теоремами двойственности.
Первая теорема двойственности. Если обе задачи имеют допустимые решения,
то они имеют и оптимальное решение, причем значение целевых функций у них будет одинаково
или
Если же хотя бы одна из задач не имеет допустимого решения, то ни одна из
них не имеет оптимального решения.
Следствие основной теоремы
Пусть дана пара взаимодвойственных задач ЛП. Тогда справедливы следующие три и только три утверждения:
1. Если одна из пары задач имеет оптимальное решение, то и другая задача
обязательно имеет оптимальное решение (без доказательства).
Zmax=min
2. Если одна из пары задач не имеет решения по причине неограниченности
целевой функции, то другая задача тоже не имеет оптимальных решений,
но по причине пустоты ОДР.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 25 из 56
3. Если одна из задач не имеет оптимального решения по причине пустоты
ОДР, то другая задача: либо не имеет оптимального решения тоже по причине пустоты ОДР; либо по причине неограниченности.
Следствие основной теоремы
Пусть дана пара взаимодвойственных задач. Тогда допустимое решение
x 0  x10 ,..., x0 ,..., x n0  и допустимое решение u 0  u10 ,..., ui0 ,..., u m0  является оптимальным
решением тогда и только тогда, когда значение целевых функций, расчитанных на
этих допустимых решениях, совпадают.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск
продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с
суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти планы
были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов
являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции
и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки, обладают тем свойством, что
они гарантируют рентабельность оптимального плана, т. е. равенство общей оценки
продукции и ресурсов, и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы.
Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Для
того чтобы векторы и были оптимальными решениями соответственно прямой и
двойственной задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия:
(1)
(2)
Условия (1), (2) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них
следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального
плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента
оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение
в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.
Следствие 1. Пусть оптимальное значение некоторой переменной двойственной задачи строго положительно
Тогда из условия (1) получим
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 26 из 56
или
Экономический смысл данных выражений можно интерпретировать в следующей редакции. Если объективно обусловленная оценка некоторого ресурса больше
нуля (строго положительна), то этот ресурс полностью (без остатка) расходуется в
процессе выполнения оптимального плана.
Следствие 2. Пусть для оптимального значения некоторой переменной xi прямой задачи выполняется условие строгого неравенства
Тогда, основываясь на том же первом условии (1), можно заключить, что yi=0.
Экономически это означает, что если в оптимальном плане какой-то ресурс
используется не полностью, то его объективно обусловленная оценка обязательно
равна нулю.
Теорема (об оценках). Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования, точнее
z( x  )
 yi
bi
(i  1, m)
(3)
Выясним экономическое содержание третьей теоремы двойственности. Для
этого в последнем выражении дифференциалы заменим приращениями. Получим 
z(х*) = уj* bj, при  bj = 1 имеем  z(х*) = уj. Отсюда двойственная оценка численно
равна изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурсу на
единицу. Двойственные оценки уj, часто называются скрытыми, теневыми или маргинальными оценками ресурсов.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте первую теорему двойственности и докажите ее.
2. Сформулируйте вторую теорему двойственности и докажите ее.
3. Сформулируйте третью теорему двойственности.
4. Объясните экономическую интерпретацию первой теоремы двойственности.
5. Объясните экономическую интерпретацию второй теоремы двойственности.
6. В чем заключается экономический смысл двойственных оценок?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 27 из 56
246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 3. Транспортная задача
Лекция 9, 10.
Тема: Транспортная задача. Нахождение опорного плана транспортной
задачи.
План лекции:
 Построение модели транспортной задачи.
 Открытая и закрытая модель транспортной задачи.
 Переход от открытой модели к закрытой.
 Нахождение опорного плана методом северо-западного угла.
 Нахождение опорного плана методом наименьшего элемента.
 Нахождение опорного плана методом аппроксимации Фогеля.
Построение модели транспортной задачи
Задача о размещении (транспортная задача) – это ТЗ, в которой работы и
ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут
быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи
(ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах
по предприятиям-потребителям.
Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного
плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна
объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.
Исходные параметры модели ТЗ
1) n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения.
2) a i – запас продукции в пункте отправления A i ( i  1, n ) [ед. прод.].
3) b j – спрос на продукцию в пункте назначения B j ( j  1, m ) [ед. прод.].
4) cij – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления A i в пункт назначения B j [ден. ед./ед. прод.].
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 28 из 56
Искомые параметры модели ТЗ
1) x ij – количество продукции, перевозимой из пункта отправления A i в
пункт назначения B j [ед. прод.].
2) F(x) – транспортные расходы на перевозку всей продукции [ден. ед.].
1.
2.
3.
4.
5.
Этапы построения модели
Определение переменных.
Проверка сбалансированности задачи.
Построение сбалансированной транспортной матрицы.
Задание ЦФ.
Задание ограничений.
Транспортная модель
n m
LX     cij xij  min ;
i 1 j1
m
  x ij  a i , i  1, n,
 j1
(
n
1

  x ij  b j , j  1, m,
i 1
x  0 i  1, n; j  1, m .
 ij


ЦФ представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех
перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в
любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели
ТЗ является транспортная матрица (табл. 1).Таблица 1

Пункты отправления, Ai
А1
Общий вид транспортной матрицы
Пункты потребления, B j
An
В2
В1
c11 ,
c21
…
cn1
… Bm
c12
…
c1m
c22
…
c2 m
…
…
…
cn 2
…
cnm
[руб./ед. прод.]
А2
…

Запасы, ед.
прод.
a1
a2
…
an
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Потребность
ед. прод.
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
b1
Страница 29 из 56
… bm
b2
n
m
i 1
j 1
 ai   b j
Из модели 1 следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.
n
ai 
i 1
m
b j .
(
2
j 1
Если (2) выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае – несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный
(реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.
n
m
i 1
j1
bф   a i   b j .
Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим
дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:
m
n
j1
i 1
aф   b j   ai .
Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы c ф , величина которых обычно приравнивается к нулю cф  0 . Но в некоторых ситуациях величину
фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина c ф может быть
любым положительным числом.
Нахождение опорного плана.
Первоначальный опорный план ТЗ возможно найти несколькими методами:
1.
Метод северо-западного угла.
Согласно этому методу загрузка клеток (распределение объемов пунктов отправления по пунктам назначения) начинается с верхней левой клетки («северозападная» часть таблицы) и продолжается вниз и вправо (по диагонали).
При составлении опорного плана методом северо-западного угла стоимость
перевозки единицы груза не учитывается, поэтому построенный план далек от оптимального.
2. Метод минимального элемента (минимальной стоимости).
Суть метода заключается в том, что из всех тарифов матрицы С выбирают
наименьший и соответствующую клетку заполняют максимально возможным числом. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику,
запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо строку и столбец,
если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 30 из 56
Из оставшихся тарифов снова выбирают наименьший, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
3. Метод аппроксимации Фогеля.
Суть метода в следующем:
a) для каждой строки и каждого столбца находят разницу между двумя минимальными тарифами матрицы С, которую записывают в дополнительных
строках и столбцах таблицы;
b) из полученных разниц выбирают максимальную и в этой строке или столбце
заполняют клетку с наименьшим тарифом максимально возможным количеством груза;
c) исключают из рассмотрения либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо строку и
столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя;
d) из оставшихся тарифов снова находят разницу между двумя минимальными
тарифами (см. пункт b)
Процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. Недостатком данного метода, по сравнению с остальными, является его трудоемкость.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и
напишите ее математическую модель.
2. Какая модель транспортной задачи называется открытой?
3. Какая модель транспортной задачи называется закрытой?
4. Как перейти от открытой модели транспортной задачи к закрытой?
5. Какие существуют методы построения первоначального опорного плана?
6. Опишите достоинства и недостатки методов определения опорного плана.
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 31 из 56
Модуль 3. Транспортная задача
Лекция 11, 12.
Тема: Нахождение оптимального плана транспортной задачи. Метода потенциалов. Транспортная задача с усложнениями в постановке.
План лекции:
1. Алгоритм метода потенциалов.
2. Улучшение неоптимального плана перевозок (циклы перераспределения)
3. ТЗ с усложнения в постановке: Запрещение перевозок.
4. ТЗ с усложнения в постановке: Доставка определенного количества груза.
5. ТЗ с усложнения в постановке: Перевозка не менее заданного количества
груза.
6. ТЗ с усложнения в постановке: Перевозка не более заданного количества
груза.
Алгоритм метода потенциалов.
1. Проверяем наличие заполненных клеток в опорном распределении перевозок. Их должно быть n+m-1, где n—количество потребителей, m— количество поставщиков. Если это условие выполняется, переходят к нахождению потенциалов,
иначе опорный план считают вырожденным и устраняют это вводя нулевые перевозки. Клетки, в которые введены нулевые перевозки, называются фиктивно занятыми.
2. Для заполненных клеток находят числа, называемые потенциалами. Для
строк потенциалы обозначим через i, а для столбцов j. Первое значение потенциала берется равным нулю, остальные находятся по формуле: i + j + cij = 0
3. Находим оценки свободных клеток по формуле: ij = i + j + cij. Если все
оценки ij неотрицательны, то найден оптимальный план транспортной задачи. Если
среди оценок свободных клеток есть хотя бы одна отрицательная, то опорное распределение не является оптимальным и должно быть улучшено.
4. Улучшаем неоптимальный план перевозок по правилу пересчета по циклу.
Для этого из всех отрицательных оценок свободных клеток выбирают наименьшее
(максимальное по модулю) и строят для этой клетки цикл.
Цикл—это замкнутая ломаная, все звенья которой параллельны строкам и
столбцам таблицы, а вершины находятся в заполненных клетках, кроме одной, для
которой и строится цикл. Цикл для каждой клетки можно построить единственным
образом.
Затем вершинам цикла присваиваются знаки «+» и «-» поочередно, начиная со
свободной, которой присваивается знак «+». Очевидно, что число вершин будет
четным.
Например, циклы могут быть следующими:
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 32 из 56
5. Затем поставки перераспределяются. Величина перераспределяемой поставки определяется как наименьшая из величин поставок в вершинах со знаком «-»,
и на эту величину увеличиваются поставки в вершинах со знаком «+» и уменьшаются поставки в вершинах со знаком «-». Это правило гарантирует, что в вершинах
цикла не появится отрицательных поставок, начальная выбранная клетка окажется
занятой, в то время как одна из занятых клеток при этом освободится. Если величина перераспределяемой поставки равна поставкам не в одной, а в нескольких вершинах цикла со знаком «-», то освобождается только одна клетка, обычно с
наибольшим тарифом перевозки, а все другие такие клетки остаются занятыми с нулевой поставкой.
6. Перераспределенные поставки вносятся в новую таблицу, причем те поставки, которые не участвовали в пересчете, переносятся в таблицу автоматически.
Далее находят потенциалы для нового перераспределения (см. пункт 2) и т.д.
Транспортные задачи, в базисном плане перевозок которых имеют место клетки с нулевой поставкой (или в процессе итераций), называются вырожденными, как
в нашей задаче. В случае вырожденной транспортной задачи существует опасность
зацикливания, т.е. бесконечного повторения итераций (бесконечного перебора одних и тех же базисных комбинаций занятых клеток). Как правило, в практических
задачах транспортного типа зацикливание не встречается. При отсутствии вырождения метод потенциалов конечен и приводит к оптимальному плану перевозок за
определенное число шагов.
Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Рассмотрим четыре типа задач с дополнительными условиями (ограничениями
по пропускной способности):
1. Возможны случаи, когда из пункта Аi в пункт Bj, в силу каких-то определенных причин, невозможно осуществить перевозки. Этот случай называют блокировкой перевозки. В этом случае соответствующий тариф cij заменяют тарифом М
(М—какое-то большое число). Затем находят опорный план одним из известных методов.
2. Возможны варианты, когда из пункта Аi в пункт Bj, в силу каких-то определенных причин, нужно перевести только определенное количество груза Х. В этом
случае при нахождении опорного плана в соответствующую клетку вносят это количество груза Х и затем блокируют данную клетку тарифом М.
3. Возможны варианты, когда из пункта Аi в пункт Bj, в силу каких-то определенных причин, нужно перевести не менее определенного количества груза Х. В
этом случае при нахождении опорного плана в соответствующую клетку вносят поставку Х и далее считают эту клетку пустой. Таким образом, появляется возможность дополнить эту клетку еще каким-то количеством груза. Другой вариант этого
условия — сократить запасы Аi поставщика и потребности Bj потребителя на количество груза Х и далее распределять груз. При подсчете транспортных затрат нужно
помнить, что груз в эту клетку завезен.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 33 из 56
4. Бывают случаи, когда из пункта Аi в пункт Bj, в силу каких-то определенных причин, нужно перевести не более определенного количества груза Х. Тогда
потребности Bj потребителя делят на две части: Х и Bj-Х. Тарифы в том и другом
столбце будут такими, как в исходном столбце Bj кроме одной клетки в новом
столбце Х, на которую вводится дополнительное условие. В этой клетке тариф заменяется на большое число М.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сколько занятых клеток в транспортной таблице соответствует опорному
плану перевозок? Чем это обусловлено?
2. Что такое цикл, цикл пересчета?
3. Как перейти от одного опорного плана к другому?
4. Как формулируется критерий оптимальности при решении транспортной
задачи методом потенциалов?
5. Опишите алгоритм метода потенциалов.
6. Опишите возможные варианты ограничений по пропускной способности в
транспортных задачах.
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и
моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000.246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.- ("Краткий
курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник / А.Д.
Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 4. Теория игр и динамическое программирование
Лекция 13, 14.
Тема: Теория игр.
План лекции:
1. Основные понятия теории игр.
2. Классификация игр.
3. Нахождение верхней и нижней цены игры. Седловая точка.
4. Геометрическая интерпретация игровых задач.
5. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в ко-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 34 из 56
торых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого
действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера.
Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы
научно обоснованные методы. Построением математических моделей конфликтных
ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.
Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия. Примером игр является ситуация, где с одной стороны, имеется один покупатель, с другой – продавец. Примером служат
обычные игры: салонные, спортивные, карточные и другие. Именно с анализа подобных игр начиналась математическая теория игр.
В итоге, всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта,
т.е. описывать:
a) множество заинтересованных сторон (игроки).
b) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями
или ходами.
c) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для
каждого из игроков.
В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий,
доступных каждому игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию
выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией
организует свое поведение.
Основные понятия теории игр
Ситуация называют конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы
которых полностью или частично противоположны.
Игра – это действие или формальный конфликт, в которой имеются, два
участника, каждый из которых стремиться к достижению собственной цели.
Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторых целей, называются правилами игры.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий
называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход –
это сознательный выбор из возможных действий (например, ход в шахматной игре).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды).
Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих
поведение игрока на каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение для них оптимальной стратегии.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого
игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один
из игроков должен получить максимальный выигрыш, когда второй придерживается
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 35 из 56
своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.
Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении
игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому
из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Количественная оценка результатов игры называется платежом.
Классификация игр
Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином
принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша,
по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в
ход игры.
В игре может участвовать любое конечное число игроков: различают игры с
двумя, тремя и более участниками. Игра называется парной, если в ней участвуют
два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Весь материал,
представленный в теории оптимизации, можно рассматривать как теорию игр с одним игроком. В принципе, возможны также игры с бесконечным числом игроков.
Согласно другому принципу классификации – по количеству стратегий –
различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают
конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют
два возможных хода – они могут выбрать "орел" или "решку"). Сами стратегии в
конечных играх нередко называются чистыми стратегиями. Соответственно, в
бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий – так, в
ситуации продавец – покупатель каждый из игроков может называть любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.
Третий способ классификации игр – по свойствам функции выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт
между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко – типичные примеры антагонистических игр. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с
постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями
имеется множество игр с нулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.
В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками (в зависимости от взаимоотношений между участниками) различают кооперативные (коалиционные) и некооперативные (бескоалиционные) игры. Игра называется кооперативной, если до начала игроки образуют коалиции и принимают
взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 36 из 56
коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.
По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные и другие. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются
матрицей, в биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей.
По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется
после нескольких ходов) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов).
В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной
и неполной информацией.
Пусть имеется два игрока. Один выбирает i -ую стратегию из m возможных
стратегий, а второй (не зная выбора первого) - j -ую стратегию из n возможных. В
результате первый игрок выигрывает величину aij , а второй проигрывает эту величину.
 a11 a12 

a22 
a
A  aij
  21
m n

 

a
 m 2 am2 
Матрица A , элементами
 
a1n 

a2n 
 

amn 
которой являются выигрыши, соответствующие
стратегиям первого и второго игрокам, называется платежной матрицей или матрицей игры. Строка матрицы A соответствует стратегии первого игрока, а столбец –
стратегии второго игрока.
Игра, определяемая матрицей A , имеющая m строк и n столбцов, называется
конечной игрой размерностью m n .
Задача, каждого из игроков – найти наилучшую стратегию игры, при этом
предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все,
чтобы получить наибольший доход.


i  j

Величина   max min aij  - гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, - называется нижней ценой игры или максимин, а соответствующая ей стратегия – максимальной.
Величина   min max aij  называется верхней ценой игры или минимакс, а соj
 i

ответствующая ей стратегия – минимальной.
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то он
гарантирован, что в любом случае проигрывает не больше  .
Для матричной игры справедливо неравенство    , т.е. нижняя цена игры не
превосходит верхней цены игры.
Если    , то такая игра называется игрой с седловой точкой. Если     v ,
то число v называется ценой игры.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 37 из 56
Если же существует только седловая точка, то решение игры сводится к определению максимина или минимакса.
Если игра, заданная матрицей не имеет седловой точки, то для нахождения ее
решения используются смешанные стратегии.
Вектор, каждый, из компонентов которого показывает относительную частоту
использования игроком соответствующей стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.
m
U  u1 ,u 2 , ,u m , ui  0;  ui  1
i 1
n
Z  z1 , z 2 , , z n , z j  0;  z j  1
j 1
Если u*i - оптимальная стратегия первого игрока, а z*j оптимальная стратегия
m n
второго игрока, то цена игры определяется: v    aij u*i z*j .
i 1 j 1
Определение цены и стратегии – цель задачи.
Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.
Для того чтобы число v было ценой игры, а u*i и z*j были оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно следующие условия:
m
 u*i aij  v
i 1
n
 z*i aij  v
j 1
Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v , если второй игрок не выходит за
пределы своих активных стратегий.
При решении игры m x n следует:
a)
проверить, не содержит ли матрица седловой точки;
b)
если седловой точки нет, то нужно сравнить между собой элементы
строк и столбцов для исключения дублирующих и доминирующих стратегий;
c)
рассмотреть возможность разбиения матрицы на подматрицы для замены некоторых групп чистых стратегий смешанными.
Геометрическая интерпретация игровых задач
Решит игру, заданную матрицей
 2 5

A  
 6 4
Решение:
На плоскости UOZ вводится система координат OZ и OU. На оси OU откладывается отрезок единичной длины А1А2, каждой точке которого ставится в соответствие некоторая смешанная стратегия U=(u1, u2)=(u1, 1-u1) (рис. 1).
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 38 из 56
Z
6
В1’
4
В2’
1
А2
U
В2
М
5
2
В1
0
A1
u10
u20
В точках А1, А2 восстанавливаются перпендикуляры, на которых откладываются выигрыши игроков. Соединяем между собой точки и получаем прямые, расстояния от которых до оси OU определяет средний выигрыш при любом сочетании
соответствующих стратегий.
Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB2’ определяют
минимальный выигрыш игрока А при применении им любых смешанных стратегий.
Эта минимальная величина  min aij  является максимальной в точке М  max min aij  .
j
j


 i

0
Следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия u  u ,u 2 , а ее ор0
0
1
дината равна цене игры v. Координаты точки М находятся как координаты точки
пересечения прямых В1В1’ и В2В2’:
2u10  6u 20  v
 0
0
5u1  4u 2  v
 u0  u0  1
2
 1
Решение этих уравнений: u10  2 5 ; u 20  3 5; v  22,5 .
Аналогично определяется оптимальная стратегия для игрока В:
0
z1  1 5 ;
z 20  4 5; v  22,5 .
Решение игры — смешанные стратегии u *  2 5 ; 3 5 , z *  15 ; 4 5 , v  22,5 .




Обобщая решение игровых задач размерностью 2 х n и m х 2, можно выделить
этапы:
1)
строят прямые, соответствующие стратегиям первого (второго) игрока;
2)
определяют верхнюю (нижнюю) границу выигрыша;
3)
находят две стратегии первого (второго) игрока, которым соответствуют
две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой;
4)
определяют цену игры и оптимальные стратегии.
Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования
Пусть задана платежная матрица игры
 a11

a
А   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _________ 2015 г.
Страница 39 из 56
Оптимальные стратегии U*=(u1*,…, um*) и Z*=(z1*,…, zn*) могут быть определены путем решения симметричной пары двойственных задач линейного программирования:
минимизировать
F  x1  x2  ...  xm
максимизировать
при условиях
Z  y1  y 2  ...  y n
a11 x1  a 21 x 2  ...  a m1 x m  1
a x  a x  ...  a x  1
 12 1
22 2
m2 m

.............................................
a1n x1  a 2 n x 2  ...  a mn x m  1
x1 , x 2 ,..., x m  0
при условиях
a11 y1  a12 y 2  ...  a1n x n  1
a y  a y  ...  a y  1
 21 1
22 2
2n n

.............................................
a m1 y1  a m 2 y 2  ...  a mn y n  1
y1 , y 2 ,..., y n  0
Решив эти задачи, найдем ui* и zk* и v из соотношений:
v
1
1

;
Fmin Z max
u i*  vxi
и
z k*  vyk ,
Где i=1,…,m; k=1,…,n.
Итак, решение игры с использованием методов линейного программирования включает этапы:
1)
составляют пару двойственных задач, эквивалентных данной игре;
2)
определяют оптимальные планы двойственных задач;
3)
находят решение игры по соотношениям между планами, оптимальными стратегиями и ценой игры.
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте основные понятия теории игр.
2. Приведите примеры экономических задач, которые могут быть решены методами теории игр.
3. Какие парные задачи называются матричными? Приведите пример построения платежной матрицы.
4. Как определить нижнюю и верхнюю цену матричной игры и какое соотношение существует между ними?
5. Какие существуют методы упрощения игр?
6. Геометрические методы решения игр с матрицами 2 х n и m х 2 и их
применение.
7. На чем основана связь матричной игры и задачи линейного программирования?
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов
и моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ",
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 40 из 56
2000.- 246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.("Краткий курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник /
А.Д. Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред.
В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Модуль 4. Теория игр и динамическое программирование
Лекция 15.
Тема: Динамическое программирование
План лекции:
1. Основные понятия динамического программирования.
2. Принцип оптимальности Беллмана.
3. Идеи метода динамического программирования.
Основные понятия и обозначения
Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.
Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются
средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от
вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями: каждому из них выделяется какая-то доля
средств.
Ставится вопрос: как в начале каждого года распределять имеющиеся
средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий
за N лет был максимальным?
Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделение каких-то
средств каждому из предприятий в начале года.
УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в
будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла
выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это по-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 41 из 56
мешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге
надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные
ошибки.
В формализме решения задач методом динамического программирования
будут использоваться следующие обозначения:
N – число шагов.
x k  ( x1k , x 2 k ,...., x nk ) – вектор, описывающий состояние системы на k-м шаге.
x 0 – начальное состояние, т. е. состояние на 1-м шаге.
x N – конечное состояние, т. е. состояние на последнем шаге.
Xk – область допустимых состояний на k-ом шаге.
u  (u1k , u 2 k ,..., u mk ) – вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xk-1 в состояние xk.
Uk – область допустимых УВ на k-ом шаге.
Wk – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.
S – общий выигрыш за N шагов.
u *  (u1* , u 2* ,..., u N* )
– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за
N шагов.
Sk+1( x k ) – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого
состояния x k в конечное состояние x 0 при оптимальной стратегии управления
начиная с (k+1)-го шага.
S1( x 0 ) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе
системы из начального состояния x 0 в конечное x N при реализации оптималь*
ной стратегии управления u . Очевидно, что S = S1( x 0 ), если x 0 – фиксировано.
Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.
Условие отсутствия последействия. Состояние x k , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния x k 1 и выбранного УВ u k и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние x k 1 , то есть
x k  f k ( x k 1 , u k ).
Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состояния x k 1 и выбранного УВ u k , то есть
Wk  Wk ( x k 1 , u k ).
Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов
вычисляется по формуле
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 42 из 56
N
S   Wk ( x k 1 , u k ).
k 1
*
Определение. Оптимальной стратегией управления u называется сово-
купность УВ u1 , u 2 ,..., u N , то есть u  (u1 , u 2 ,..., u N ) , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния x 0 в конечное x N и
при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.
Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип
оптимальности Беллмана.
Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системы xi 1  X i 1 перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ
u i U i на этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.
В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий  1 ,  2 ,...,  m выделяются соu1i , u 2i ,..., u mi . совокупность этих значений можно счиответственно средства:
тать управлением на i-м шаге, то есть ui  (u1i , u 2i ,..., u mi ) . Управление u процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то
есть u  (u1 , u 2 ,..., u N ) .
Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления u оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления u1 , u 2 ,..., u N , чтобы величина S
обратилась в максимум?
Поставленная задача является задачей оптимального управления, а
управление, при котором показатель S достигает максимума, называется опти*
*
*
*
*
*
*
*
мальным. Оптимальное управление u многошаговым процессом состоит из
совокупности оптимальных шаговых управлений:
u *  (u1* , u 2* ,..., u N* )
Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управ*
ление на каждом шаге u i (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем
*
процессом u .
Идеи метода динамического программирования
На каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент
состояния. Этот принцип выбора управления, называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.
Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем,
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 43 из 56
что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не "условное", а действительно оптимальное
управление на каждом шаге.
Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального состояния. В результате этого управления
после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и т. д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление
процессом, приводящее к максимально возможному выигрышу.
Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:
первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся УОУ на
каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с данного и до конца процесса;
второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.
Можно сказать, что процедура построения оптимального управления методом динамического программирования распадается на две стадии: предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате
предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага.
Вопросы для самоконтроля:
1. Приведите пример какой-либо задачи решаемой методом динамического программирования (ДП).
2. Составить ее математическую модель. Является ли эта модель моделью ЛП?
3. В чем состоит принцип оптимальности Беллмана?
4. Запишите основные рекуррентные соотношения Беллмана (функциональные уравнения).
5. Опишите этапы решения задачи методом динамического программирования.
Рекомендуемая литература:
1 Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов
и моделей: учеб.-практ. пособие / Н.Б. Кобелев.- М.: ЗАО "Финстатинформ",
2000.- 246с.
2 Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике: учеб. пособие / П. Конюховский.- СПб.: изд-во "Питер", 2000.- 208с.("Краткий курс").
3 Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в эко-
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 44 из 56
номическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000
4 Сапарбаев А.Д. Экономико- математические методы и модели: учебник /
А.Д. Сапарбаев А.Т. Макулова.- Алматы: Бастау, 2007.- 227 с.
5 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под ред.
В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
1.
3 ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
Структура практического занятия:
При решении практических заданий используется следующая литература:
1. Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию. — М.: «Высшая школа», 2005.
2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В. В, Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и
др.; Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Практическое занятие 1, 2.
Тема: Введение в экономико-математическое моделирование. Три
формы записи задач линейного программирования.
Цель занятия
Научиться:
 составлять математические модели простейших экономических задач;
 определять, в какой форме записана задача ЛП;
 переходить от одной формы записи задач ЛП к другой.
Задания: {1} стр. 41 № 47
{2} стр. 66 № 4
Практическое занятие 3, 4.
Тема: Графический метод решения задач линейного программирования
Цель занятия:
Научиться:
 строить график и определять область допустимых значений функции;
 находить оптимальное решение задачи или отсутствие решения, из-за
неограниченности целевой функции, графическим методом;
 решать задачи ЛП, записанные в стандартной, общей и основной форме.
Задания: {1}стр. 50 № 63 (1, 2, 4, 9 10)
Практическое занятие 5, 6, 7, 8.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 45 из 56
Тема: Симплексный метод решения ЗЛП
Цель занятия:
Научиться:
 определять какую задачу ЛП можно решить симплекс-методом;
 составлять опорное решение;
 составлять симплекс-таблицу и решать ее;
 находить существующее или несуществующее оптимальное решение.
Задания: {1} стр. 65 № 88 (3, 4, 5)
{2} стр. 66 № 4
Практическое занятие 9, 10, 11, 12.
Тема: Метод искусственного базиса решения ЗЛП
Цель занятия:
Научиться:
 определять какую задачу ЛП можно решить методом искусственного
базиса;
 составлять расширенную задачу к исходной;
 находить существующее или несуществующее оптимальное решение.
Задания: {1} стр. 65 № 88 (1, 2, 9)
Практическое занятие 13, 14.
Тема: Двойственные задачи линейного программирования. Построение двойственных задач.
Цель занятия:
Научиться:
 составлять двойственную задачу к исходной;
 определять симметричную, несимметричную и смешанную пару двойственных задач;
Задания: {1} стр. 71 № 93
Практическое занятие 15, 16.
Тема: Основные теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных задач.
Цель занятия:
Научиться:
 находить решение пары двойственных задач по решению одной из них
графическим методом;
 находить решение пары двойственных задач по решению одной из них
симплексным методом;
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 46 из 56
Задания: {1} стр. 72 № 94(1, 2), стр. 77 № 103 (1), стр. 80 № 109
Практическое занятие 17, 18, 19, 20.
Тема: Транспортная задача. Нахождение опорного плана транспортной задачи
Цель занятия:
Научиться:
 составлять модель транспортной задачи;
 определять открытая или закрытая модель транспортной задачи;
 находить опорный план методом северо-западного угла;
 находить опорный план методом наименьшего элемента;
 находить опорный план методом аппроксимации Фогеля.
Задания: {1} стр. 89 № 120, стр. 104 № 145
Практическое занятие 21, 22, 23, 24.
Тема: Нахождение оптимального плана транспортной задачи метода
потенциалов. Транспортная задача с усложнениями в постановке.
Цель занятия:
Научиться:
 находить оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов;
 переходить от одного неоптимального распределения груза к другому
(циклы перераспределения);
 решать транспортную задачу с ограничениями по пропускной способности.
Задания: {1} стр. 89 № 120(1, 2), стр. 104 № 145 (1, 2), стр. 116 № 159 (1).
Практическое занятие 25, 26, 27, 28.
Тема: Теория игр.
Цель занятия:
Научиться:
 составлять и упрощать платежную матрицу;
 определять верхнюю и нижнюю цену игры и седловую точку;
 решать задачу, заданную матрицей (2 х 2), (2 х n) и (m х 2) графическим методом;
 сводить задачу теории игр к задаче ЛП и решать ее.
Задания: {1} стр. 172 № 260, стр. 174 № 261, стр. 178 № 267 (1, 2, 6, 7)
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 47 из 56
Практическое занятие 29, 30.
Тема: Динамическое программирование
Цель занятия:
Научиться:
 решать задачу распределения ресурсов;
Задача: Определить распределение 100 тыс. тенге между четырьмя предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции был максимальным.
g 3 x 
g 2 x 
Сумма (тыс.
g1  x 
g 4 x 
тенге)
20
12
14
11
16
40
28
26
24
21
60
39
40
43
36
80
47
51
51
49
100
69
68
68
72
4. КУРСОВАЯ РАБОТА
Курсовая работа по данной дисциплине не предусмотрена
5 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩЕГОСЯ
5.1 Методические рекомендации по организацию самостоятельной работы обучающегося
Самостоятельная работа подразделяется на два вида – на самостоятельную работу, которая выполняется под руководством преподавателя (СРОП), и
на ту часть, которая выполняется обучающимся полностью самостоятельно
(СРО).
В ходе СРОП проводятся консультации по наиболее сложным вопросам
учебной программы, выполнению домашних заданий, курсовых работ и других
видов СРО.
Самостоятельная работа обучающегося (СРО) – это решение задач по
пройденным темам, которые выполняются в тетради и высылаются в виде файлов (фотографий).
В ходе самостоятельной работы обучающийся должен:
 освоить теоретический материал по изучаемой теме;
 закрепить знание теоретического материала практическим путем, использую соответствующее программное обеспечение.
Контроль самостоятельной работы может проходить в форме:
 презентации выполненной работы;
 доклада по самостоятельно изученной теме;
 устный экспресс-опрос на аудиторных занятиях или во время проведения СРОП.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 48 из 56
Обучающийся, не предоставивший результаты своей самостоятельной
работы, не сможет набрать необходимые баллы (≥ 50%) и к итоговой аттестации не допускается.
Самостоятельно изученный материал выносится на итоговый контроль
наряду с материалом, освоенным с помощью преподавателя.
Примечание: За несвоевременно сданные СРО в электронном журнале
оценки выставляются со штрафными санкциями – минус 40% от набранных
баллов.
5.2 Перечень тем рефератов для дополнительного освоения к экзамену:
1 Классификация экономико-математических методов и моделей.
2 Анализ моделей на чувствительность на основе графического метода.
3 Теоремы, лежащие в основе симплекс-метода.
4 Понятие о проблеме вырождения.
5 Нахождение неотрицательного базисного решения системы линейных уравнений методом искусственного базиса.
6 Двойственный симплекс-метод, его алгоритм.
7 Метод дифференциальных рент нахождения оптимального плана
транспортной задачи.
8 Метод отсекающих плоскостей (метод Гомори).
9 Назначение и области применения сетевого планирования и управления.
10 Принципы использования моделей теории игр в экономических задачах в условиях неопределенности (игры с природой).
11 Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры.
12 Задача о замене оборудования.
5.3 Перечень вопросов для подготовки к экзамену
Тестовые вопросы на экзамен (пример)
1 Что такое базисное решение экономической задачи?
A. данные, используемые для решения задач
B. одно из допустимых решений, находящихся в вариантах области допустимых решений
C. это окончательное решение задачи
D. нулевое решение
E одно из решений, находящихся вне области допустимых решений
2 В задаче об оптимальном распределении ресурсов коэффициент xj целеn
вой функции Z   c j x j - это
j 1
A. прибыль от реализации продукции j – го вида
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 49 из 56
B. прибыль от реализации 1 единицы продукции j– го вида
C. количество продукции j – го вида
D. расход сырья для производства продукции j – го вида
E. расход продукта j – го вида
3 Если ограничение задано со знаком «≥», то дополнительная переменная
вводится в это ограничение с коэффициентом
A. 1
B. -1
C. 0
D. М
E. -M
4 Каким точкам соответствует max целевой функции F, если область допустимых значений соответствует неограниченной области АВСDЕ, а вектор С
составлен из коэффициентов целевой функции
A. Fmax= + 
B. Fmax= F(D)
C. Fmax= - 
D. Fmax= F(А)
E. Fmax=F(C)
5 Если в разрешающей строке имеется нулевой элемент, то в соответствующем столбце после очередной итерации решения ЗЛП все элементы
A будут равны нулю
B. будут равны единице
C. поменяют знак на противоположный
D. останутся без изменения
E. поменяют свои значения
6 Указать базисное решение задачи
Z(x) = 8x2 + 7x4 + x6  max
 x1 - 2x 2 - 3x 4 - 2x 6 = 12

4x 2 + x 3 - 4x 4 - 3x 6 = 12
5x + 5x + x + x = 25
4
5
6
 2
x j  0( j  1,6)
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 50 из 56
A. X0 = (12; 0; 12; 0; 25; 0)
B. X0 = (12; 12; 25; 0; 0; 0)
C. X0 = (12; 12; 0; 25; 0; 0)
D. X0 = (12; 0; 0; 12; 25; 0)
E. X0 = (0; 0; 12; 12; 25; 0)
7 Укажите базисные переменные в данной задаче линейного программирования
5 x1  3x 2  x 4  5
Max Z= 6x1-2x2+x3 3x1  x2  x3  6 , x j  0( j  1,5)
x  2x  x  7
2
5
 1
A. x1, x2 , x4
B. x2 , x3 , x4
C. x 4 , x3 , x5
D. x4 , x5 , x6
E. x3 , x5 , x6
8 При решении задачи линейного программирования симплекс-методом
был получен следующий результат. В каком количестве необходимо включить
в план производства продукт Х3 для получения максимальной выручки?
A. 45
B. 37,5
C. не производить
D. 35
E. 225
9 При решении ЗЛП методом искусственного базиса первоначальный
опорный план содержит
A. только дополнительные переменные
B. только свободные переменные
C. искусственные и дополнительные переменные
D. дополнительные и свободные переменные
E. только искусственные переменные
10 Если исходная ЗЛП имеет вид Z=CX (min), AX=B, X>=0, то ограничения несимметричной двойственной задачи имеют вид
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 51 из 56
A. YA<=C, Y<=0
B. YA>=C, Y произвольные
C. YA<=B, X>=0
D. YA>=B, Y произвольные
E. YA<=C, Y произвольные
11 В симметричной паре двойственных ЗЛП условие неотрицательности
A. накладывается только на исходные переменные
B. накладываются только на двойственные переменные
C. накладывается и на исходные, и на двойственные переменные
D. не накладывается
E. накладывается либо на исходные, либо на двойственные переменные
12 Составить целевую функцию двойственной задачи, если исходная задача имеет вид
F ( x)  x1  2 x 2  3x3  max
8 x1  5 x 2  2 x 3  6

6 x1  4 x 2  8 x 3  17
5 x  3 x  3 x  7
2
3
 1
x1 , x 2 , x 3  0
A. Z ( y)  8 y1  5 y 2  2 y 3  min
В. Z ( y)  6 y1  4 y 2  6 y3  max
С. Z ( y)  6 y1  17 y 2  7 y 3  min
D. Z ( y)  15 y1  4 y 2  3 y3  min
E. Z ( y)  4 y1  3 y 2  3 y3  max
13 Модель транспортной задачи закрытая, если
A. ∑ ai > ∑ bj
B. ∑ ai = ∑ bj
C. ∑ ai ≥ ∑ bj
D. ∑ ai ≤ ∑ bj
E. ∑ ai < ∑ bj
14 Транспортная задача будет закрытой, если…
A. a = 40, b = 20
B. a = 40, b = 30
C. a = 40, b = 10
D. a = 40, b = 40
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 52 из 56
E. a = 10, b = 40
15 Построить опорный план перевозок по методу "северо-западного угла"
0
0 
 70 0


A.  0 120 70 0 
0
0 80 120 

0
0 
 30 0


B.  40 120 30 0 
0
0 120 130 

0 
 30 90 0


C.  0 30 130 0 
0 0
130 

0
0 
 30 0


D.  40 30 130 0 
 0 0 120 130 


0 
 30 40 0


E.  0 30 130 30 
 0 0 120 130 


16 Графическое решение не допускается для матричной игры, платежная
матрица которой имеет размерность …
A. 2х2
B. 2хn
C. mxn
D. mx2
E. допустимо для всех случаев
 11  5 

P  

1
3

 равна … , если опти17 Цена игры с платежной матрицей
1 4
X * ; 
5 5.
мальная смешанная стратегия игрока А имеет вид
7

5
A.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 53 из 56
B.   12
C.   6
D.
 
E.  
9
5
9
5
10

2
P
1

5

18 Для матричной игры
1

7
1

8  верно утверждение …
A. стратегия А2 доминирует стратегию А3
B. стратегия А3 доминирует стратегию А2
C. стратегия А1 доминирует стратегию А2
D. стратегия А2 доминирует стратегию А1
E. нет доминирующих стратегий
19 Укажите номер доминируемой (заведомо невыгодной) стратегии у иг 1 6 9 8 2

P  
7
5
4
3
6

 …
рока В, если игра задана матрицей
A. стратегия В1
B. стратегия В2
C. стратегия В3
D. стратегия В4
E. стратегия В5
 7 4 10 6


3 8 4 7

20 Как решить игру?
 12 9 3 5


 10 5 8 9
A. она имеет седловую точку
B. определение максимального элемента матрицы дает ответ задачи
C. она упрощается путем исключения невыгодных стратегий
D. она не упрощается и ее нужно свести к задаче линейного программирования
E. она не имеет решения
21 Какая платежная матрица имеет седловую точку
 1 0

P  

2
4


A.
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 54 из 56
 4  2

P  
3
8


B.
  3 5

P  
4
7


C.
 2 1 

P  
0

2


D.
E. все имеют
22 Игрок А может назвать число 1 (стратегия А1) или 2 (стратегия А2).
Игрок В может назвать число 3 (стратегия В1) или 4 (стратегия В2). Если сумма
названных чисел четная, то выигрывает игрок А. Если сумма чисел нечетная, то
выигрывает игрок В. Выигрыш равен сумме названных чисел. Платежная матрица игры имеет вид:
4
5 

A. P  
 5  6
 4 5 

P  
6

7


B.
 4  5

P  
 6 7 
C.
 4  5

P  

5
6


D.
 2  5

E. P  
 5 4 
23 Что называется верхней ценой игры?
A. гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В
  max min aij
i 1, m
j 1, n
B. гарантированный выигрыш игрока В   min max aij
j 1, n
C.   min aij
j 1, n
D.   max aij
i 1, m
24 Целью теории игр является определение
A. верхней и нижней цен игры
B. среднего выигрыша
C. оптимальных стратегий для каждого игрока
D. седловой точки платежной матрицы
E. среднего проигрыша
i 1, m
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 55 из 56
 6 9
 .
25 Найти цену игры, заданной матрицей A  
12
7


A. =15
B. 6    9
C. 7    9
D.=19
E. =13
1 4 6 5


26 Определите верхнюю цену игры  5 6 3 9 
 7 3 5 4


А. =1
B. =4
C. =5
D. =9
E. =6
 3 6 1 4


27 Определите нижнюю цену игры  5 3 6 2 
1 4 3 5


А.  =6
B.  =1
C.  =2
D.  =4
E.  =3
4

6
28 Как решить следующую игру? 
9

7
1 0 4

2 3 4
3 5 6

5 3 4
A. не имеет решения
B. она имеет седловую точку
C. она упрощается путем исключения невыгодных стратегий
D. она не упрощается и ее нужно свести к задаче линейного программирования
E. определение максимального элемента матрицы дает ответ задачи
29 Если U=(u1,u2,…,um) смешанная стратегия первого игрока, то чему
равна
m
 ui ?
i 1
УМКД 042-18-12.1.97/03-2015
Ред. № 3 от _______ 2015 г.
Страница 56 из 56
A. 0
B. 1
C. 2
D.3
E. 4
30 Распределятся сумма капитальных вложений S=400 млн. тенге между
3 предприятиями. Зависимость прироста выпуска продукции от объема капиталовложений приведена в таблице
Как разделят предприятия 100 млн. тенге?
A. Х= (100; 0; 0)
B. Х= (0; 0; 100)
C. Х= (50; 50; 0)
D. Х= (0; 100; 0)
E. Х= (0; 50; 50)