Графы в играх и головоломках

Республиканская научно-практическая конференция для
учащихся
5-8 классов
«Ломоносовские чтения»
Секция: математика, информатика
“Графы в играх и головоломках”
ГАБДУЛЛИНА ЭНЗЕ
Актанышский р-н село Такталачук
МБОУ «Такталачукская СОШ », 6 класс
Научный руководитель: Гильфанова А.М.
Набережные Челны
2013
1
“Графы в играх и головоломках”
Цель.
1. Развитие интереса к математике, логического мышления, решая задачисказки, задачи-шутки.
2. Назад - в историю.
3. Понять, что теория графов широко применяется в жизни.
Оглавление.
Вводная часть.
3 стр.
Основная часть.
1. Как у меня появился интерес к этой работе.
3 стр.
2. Из истории возникновения теории графов.
4 стр.
3. Задачи, которые можно легко решить с помощью графов.
5-8 стр
4. Итог.
9стр
Список использованной литературы.
10 стр
5. Приложения
11-13 стр
2
Вводная часть.
Когда я училась в третьем классе, на уроке литературного чтения мы
читали рассказ на логическое рассуждение. Это был рассказ «Дед, волк, коза
и капуста» (задача о перевозчике). Дедушке было поручено перевезти через
реку волка, козу и капусту. Его маленькая лодка за 1 раз могла перевезти
только что-нибудь одно. Кроме того, нельзя было оставлять волка с козой, а
козу с капустой. Как он должен был поступить? Да, мы объясняли друг –
другу, как можно решить эту задачу. Но как любителя математики, мне не
давало покоя, как можно показать решение этой головоломки с точки зрения
математики. На математическом кружке я узнала, что есть теория графов, с
помощью которой можно решать очень много задач. И начала искать
материалы, чтобы больше узнать об этом.
Первая
работа по теории графов, принадлежащая
известному
швейцарскому математику Л.Эйлеру, появилась в 1736 году. В начале теория
графов казалось довольно незначительным разделом математики, так, как она
имела дело с математическими развлечениями и головоломками. Я
рассмотрела разные задачи-головоломки касающиеся теорию графов.
Вот
задача, которую в своё время решил Леонард Эйлер, носящая
название «Проблемы кёнигсбергских мостов». (рис.1) Одним из первых
результатов в теории графов явился критерий существования обхода всех
ребер графа без повторений, полученный Л. Эйлером при решении задачи о
Кенигсбергских мостах. Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта
1736 году: « Мне была предложена задача об острове, расположенном в
городе Кенигсберге и окруженном рекой Прегель, через которую перекинуто
7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их,
проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено,
что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что
это невозможно. Вопрос этот показался мне достойным внимания тем, что
3
для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное
искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное
на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех
задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой
обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не
может».[4] Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так:
рис.1
рис.2
Берега реки с островами во времена Эйлера связаны местами так, что на
рисунке 1. В головоломке требовалась найти маршрут, проходящий по всем
четырем участкам суши по одному разу. При этом через каждый из мостов
можно проходить только по одному разу, а конец и начало пути совпадают.
Л.Эйлер доказал, что маршрута, который бы отвечал условиям головоломки,
не существует, и разработал теорию решения такого рода головоломок.
Владея материалом вводной части курса «Знакомство с графами»[3],
нетрудно воспроизвести
идею рассуждения Л. Эйлера, для этого нужно
предварительно заменить рис.1 схемой, приведенной на рис.2, где острова и
берега изображаются точками. Схема рис 2 не
является, строго говоря,
графом, на ней имеются кратные ребра. Тем не менее, 1736 год, когда эта
головоломка была решена, принято считать годом рождения теории графов.
Схема такого вида называется графом. Она состоит из нескольких точек,
называемых вершинами, и из нескольких отрезков соединяющих эти точки,
называемых ребрами графа. Точки пересечения некоторых ребер не могут
4
являться его вершинами; это происходит потому, что граф изобразим на
плоскости, в пространстве было бы иначе.
Пользуясь графами можно отыскивать путь от одного места в другое.
Такие задачи можно рассматривать как род игры, и хотя это кажется
современно наивным развлечением, на самом деле в этом состоит главное
содержание многих головоломок и некоторых игр.
Вернемся к «задаче о перевозчике».
Перевозчику (П) было поручено перевезти через реку волка (В), козу (К)
капусту (к). Его маленькая лодка за 1 раз могла перевезти только что-нибудь
одно. Кроме того, нельзя было оставлять волка с козой, а козу с капустой.
Как он должен был поступить? (Приложение 1, где изображено с помощью
графов действия перевозчика в двух вариантах). Рассмотрим все возможные
здесь случаи.
В первый рейс очевидно, можно взять козу: при этом группа ПКВк в
исходный точке заменяется группой (Вк). Затем перевозчик возвращается
назад один: получаем (ПВк). Во второй рейс он может взять либо (В), либо
(к), оставляя соответственно (к) или (В). В обоих случаях он должен
перевезти (К) обратно, и в исходной точке окажутся (ПКВ) или (ПКк), что
допустимо. В следующую поездку он переводит (В) или (к), оставляя только
(К). Наконец, он возвращается один и переводит (К). Таким образом, в этом
случае допустимы лишь перемещения. Я это указала на схеме.
Схема показывает, что решение может быть получено двумя способами;
каждый из них определяется некоторой цепью, соединяющий начальное
положение (ПВКк) с конечным положением пусто. Таким же образом можно
решить ещё одну задачу. Задача о трёх миссионерах и о трёх людоедах. Они
остановились около речки. Но в лодку поместятся только двое. На берегах
должны оставаться одинаковое количество миссионеров и людоедов. Иначе
людоеды съедят миссионеров или миссионеры убьют людоеда.
Случай, где все миссионеры и людоеды умеют грести. ( Приложение 2)
5
Сначала переправляются (1л1м). (1м) остается, (1л) возвращается. Получим
(3л, 2м). Остаются (3л) и переправятся (2м). Потом возвращается
(1м) и
получим (3л, 1м). Дальше переправляются (2л) остаются (1л, 1м). Уже
возвращается (1л,1м) и получим (2л,2м). Далее переправятся (2м) и а том
берегу получим (3м, 1л). Возвращается (1л) и переправятся (2л). Оставшегося
последнего (1л) забирает (1м) и все окажутся все на том берегу. И хотя по
ходу рассуждения не очень уж понятно, решение задачи с помощью графов
ярко показывает, что ее решение имеет четыре различные способы.
А теперь усложним задачу: умеют грести только 1 людоед и один
миссионер. (Существует 2 варианта). (Приложение 3, * - те которые умеют
грести).
Сначала
переправляются
(1л*,1м).
(1м)
остается,
(1л*)
возвращается. Получим (2л, 2м,1л*). Остаются (2л,1л*) и переправятся
(1м,1м*). Потом возвращается
(1м*) и получим (2л,1л*,1м*). Дальше
переправляются (1л*,1м*) остаются (2л). Уже возвращается (1л*) и получим
(2л,1л*).
Далее переправятся
(1л,1л*) и
а
том берегу получим
(2м,1м*,1л,1л*). Возвращается (1м*) и забирает оставшегося последнего (1л)
Второе
решение
этой
задачи
решается
путем
аналогичного
рассуждения.
Оказывается, что существуют и
котором
указано
направления
ориентированные графы. Граф, на
каждого
его
ребра,
называется
ориентированным графом. И есть ряд задач, которых очень легко решить с
помощью
ориентированных
графов.
Рассмотрим
квадрат
(или
прямоугольник) АВСD. Как мы его можем начертить, чтобы получился
именно АВСD, а не АВDС, АDСВ и другие.
Я рассмотрела задачу кувшинами с двумя способами.
Некто имеет 3 кувшина с объемом А=12, В=7, С=4 литра. А наполнил
молоком, и надо разделить молоко на 2 равные части, переливая из одного
кувшина в другую, не используя другой посуды.
1 способ.
6
А=12
В=7
С=4
12
0
0
5
7
0
5
3
4
9
3
0
9
0
3
2
7
3
2
6
4
6
6
0
2 способ. Решение: А=12 наполним молоком и разделим его на 2 равные
части. (рис.3)
А2
А12 (3;4)
Аn=А22
4
7
О(0;0)
А21
5
рис.3
А1
Выходят из вершины О(0;0) ребра ОА1, и ОА2. Выходя из А1, можно
достигнуть А11(7,4), А12(3,4) выходя из вершин А2 - вершины А21,(4, 0), А22
Для переливания начала из вершины
А1,: (7;0), (3;4), (3;0), (0;3), (7;3), (6;4),
(6;0) итак, в седьмом ходу разделили молоко
из кувшина А=12 на 2 равные части (используя ориентированные графы).
Можно решить аналогичную задачу для кувшинов размера А=8, В=5, С=3.
Теория графов
связано со многими разделами математики, среди
которых есть и комбинаторика. В 5 классе мы рассматривали комбинаторные
задачи, которые можно решить с помощью графов.
7
Задача. Можно ли устроить такой тренировочный турнир, чтобы в нем
участвовали 8 команд, и каждая команда сыграла ровно 3 матча.
Решение.
Такой турнир устроить можно. Команды я обозначила
точками, а матчи - дугами. На
рис. 4 приведены 2 различных
примера соединения восьми точек дугами, удовлетворяющего условию
задачи.
●
●•
●
●
●•
●
●
●
●
●
●
●
●
●
рис 4.
●
●
У меня сестра учится в 10 классе. Я обратила внимание, что на уроках
химии широко применяются графы. Соединяя протоны и электроны можно
собирать молекулы. В школьных учебниках биологии, географии, химии (8-9
класс) широко применяются графы.
Вот ещё одна задача. Четыре футбольных команд:
А, В, С, D провели друг с другом 10 тренировочных матчей. Известно, что
команда А участвовала в 7 матчах В – в 8. Сколько сыграли друг с другом
команды С и D?
Решение: обозначим команды точками, а матчи между ними соединяющими
эти точки дугами.
1)
D●
●C
=>С и D сыграли
друг с другом 2 матча.
A●
●B
8
2) =>команды С и D не сыграли между собой ни одного матча
D●
●C
A ●
●B
3) =>команды С и D cыграли друг с другом 1 матч.
D●
●C
A●
●B
В ходе своей работы я поняла, что развитие математики послужило
сильным толчком к развитию теории графов. В конце XIX века графы
использовались при построении схем электрических цепей и молекулярных
схем. Теория графов находит применение в различных областях современной
математики и ее многочисленных приложений, в особенности это относится
к экономике. Мы на практике рисуем точки на бумаге, изображаем
населенные пункты, соединяем эти точки линиями. И такие схемы
встречаются всюду: магистральные и дорожные сети; сети инженерных
коммуникаций, электрические цепи, радиосхемы в физике и т.д. И то, что
Леонард Эйлер (1707-1783) - уроженец Швейцарии, который большую часть
своих научных дел написал в России, называл Россию своей второй
родиной, у меня вызывает гордость.
9
Литература:
1. Гусев В.А., Орлов А.В, Розенталь А.П. «Внеклассная работа по
математике в 6-8 классах». - М.: Просвещение, 1985.
2. Гутенмахер В.Л., Васильев Н.Б. « Введение комбинаторику».
3. Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. «Материалы к практическим
занятиям по курсу: Дискретная математика по теме: Алгоритмы
на графах». – М.: МГТУ, 1995
4. Оре О. « Графы и их применения». . – М.: Наука, 1980.
5. Смольяков Э.Р. « Введение в теоpию гpафов». М.: МГТУ, 1992
10