Задание на лето для 11 БМ

Летнее задание для 11бм класса.
ЗАДАНИЯ ВЫПОЛНЯЮТСЯ В ОТДЕЛЬНОЙ ТЕТРАДИ.
На эл.почту высылаются только ответы. Тетради сдаются 1 сентября.
Задание № 1. СРОК СДАЧИ
25 ИЮНЯ

log8 3 5

3
1.
Найдите значение выражения: а) 8
2.
Решить систему уравнений: а) 
3.
Решить неравенство: а) log 1 7 x  4   1


б) cos 2 arcsin
2

5
в) cosarctg3  arcctg 2

4  11x  y  48,
 25 x 2  6 xy  5 y 2  5 x  2,
б)

11x  4 y  27.

 x  y  5;
x
б) x 
x 2  x  12
2
x
4.
в) tg 2  sin 2  3  4  x  4 x  0
Решить уравнение: а) 3  2 x 3  2 ч  4  4 б) 2 log 3 x  log 3 2 x 2  2 x  3
5.
Решить уравнение:
2
2


8x  4  4 x  5  1




 x   cos  2 x   1  0
4

4

3 sin( 2 x  3)  4 cos( 2 x  3)  5
6. Решить уравнение: а) sin 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x б) 2 cos 2 
в) 1  2 sin x  2 cos 2 x
г)
а) Все боковые ребра пирамиды равны 10, а радиус окружности, описанной около ее основания, равен 8.
Найти высоту пирамиды.
б) В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник, АВС с катетами АС = b и ВС = а. Все
боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45. Найти длины боковых ребер
пирамиды.
8.
Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости треугольника АМС, а прямая ВК перпендикулярна к прямой
АС. Точка К середина отрезка АС . Докажите, что треугольник АМС – равнобедренный и укажите его
равные углы.
7.
Прямая МС перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. ВС=МС=3; АС= 3 . Найдите угол между
прямыми ВМ и МА и плоскостью треугольника.
10. В треугольник АВС вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника в точках А1 (ВС),
В1 (АС) и С1 (АВ). Прямая МО перпендикулярна к плоскости треугольника АВС.
Докажите, что: а) МС1 перпендикулярна АВ;
б) ОВ1 – проекция наклонной МВ1 на плоскость АВС;
в) МС1 – проекция наклонной ОС1 на плоскость АВМ;
г) Высота ОН треугольника МОВ1 является расстоянием от точки О до
плоскости МАС.
11. О пересечения диагоналей квадрата АВСD. РО перпендикулярно к плоскости АВС; М – середина
стороны ВС. Докажите, что:
а/ прямая АМ является проекцией наклонной ОМ на
плоскость РВС;
б/ перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость АВР пересечет медиану
РР1 треугольника АВР.
12. В трапеции ABCD стороны ВС и AD  основания, причём ВС:AD=1:2. Прямая СМ, параллельная AB
отсекает от трапеции треугольник CMD, площадь которого равна 7 см2. Найдите площадь трапеции.
13. Биссектриса А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К и продолжение стороны CD в
точке М. Известно, что ВК:КС=3:1 и СМ=2 см. Найдите периметр параллелограмма.
14. Две окружности имеют общий центр, а их радиусы 6 см и 12 см. Определите (а) хорду большей окружности,
касающейся меньшей окружности; (б) в каком отношении эта хорда делит длину большей окружности.
15. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 12 см. Определите (а) наименьшую диагональ
этого шестиугольника; (б) площадь шестиугольника.
16. Около треугольника с углами 400, 600, 800 описана окружность. Определите углы треугольника, вершины
которого совпадают со срединами меньших дуг, стягиваемых сторонами данного треугольника.
9.
Задание № 2 СРОК СДАЧИ
25 ИЮЛЯ
1. Найдите корень уравнения: log 7 x  6  2
2. Вычислите: log 6 144  log 6 4
3. Вычислите значение выражения 
1
tg  3 , если cos  
6
4. Решить уравнение: 2  4  2  1  0
5. Решить уравнение: 2 log 0,5 x  log 0,5 2x 2  x
х 1
1
 3

и    ;2 
5
 2

х 1
2 х 3
1
lg 2 x  lg x  4
4
6. Решить неравенство: а)  
б) x 2  2x  4  x  3 в)
1
lg x  1
2
3
7. Решить уравнение а) cos  2 x   sin x и указать корни, принадлежащие промежутку
 2



 2 ; 2  , б) 1  sin 2x  cos x  sin x в) sin x  cos x  sin 2x  cos 2x


г) 3 cos x  2 cos x  5 sin x  3sin x.
8. Решить уравнение: 3 cos 2 x  sin 2 x  2 sin x  cos x  0
9. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а высота боковой грани пирамиды ,
проведенная к ребру основания, равна 73 . Найдите боковое ребро пирамиды.
10. а) Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60, а радиус окружности,
описанной около ее основания, равен r. Найти высоту пирамиды.
б) В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник АВCD, площадь которого равна 9, а угол
между его диагоналями равен 30. Длины всех боковых ребер равны 10. Найти высоту пирамиды.
11. а) В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник АВС с медианами АА1 = ВВ1 = 15 и
СС1 =18. Грань АВМ - правильный треугольник, а плоскость АВМ перпендикулярна плоскости основания.
Найти высоту пирамиды. б) В основании пирамиды МАВСD лежит квадрат со стороной а. Грани МСD и
МВС перпендикулярны плоскости основания, а грани МАD и МВА наклонена к плоскости основания под
углом . Найти высоту пирамиды.
12. Угол АВС равен 100. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью ВМК, если прямая ВС
перпендикулярна к этой плоскости.
.
13. а) В основании пирамиды МАВСD лежит квадрат с диагональю 6. Боковая грань МАВ
перпендикулярна плоскости основания, МА = МВ = 3 2 . Найти высоту пирамиды.
б) Основанием пирамиды МАВС является правильные треугольника со стороной а, грани МАВ и
МАС перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол при ребре ВС равен 60. Найти
высоту пирамиды.
14. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 440. Из произвольной точки основания проведены
отрезки перпендикулярно биссектрисам углов при основании, пересекающие боковые стороны
треугольника. Определите углы образовавшегося четырёхугольника.
15. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбраны точки P и Q так, что BP=PQ=QC, отрезки AQ и DP
пересекаются в точке М и площадь PМQ равна 1 см2. Найдите (а) площадь АМD; (б) площадь
параллелограмма ABCD.
16. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD=6 см, BC=4 см. Биссектриса BAD пересекает отрезок
ВС в его середине и перпендикулярна прямой CD. Найдите (а) углы трапеции ABCD; (б) площадь трапеции
ABCD.
Задание № 3. СРОК СДАЧИ 20 АВГУСТА.

1. Найдите значение выражения: 6 log6
5
3

5
3  5 x  y  78,
2. Решить систему уравнений:  x
5  3 y  16.
3. Решить неравенство: а) log 1 2 x  5  2
4
б) log 1 3x  1  log 1 6 в)
2
( x  2)( x  4)
0
x 2  x 1
в) 3x  4  x  5  1
2
4. Решить уравнение: а) 3 x 1  2  3ч  2  21 б) 2 log 0,5 x  log 0,5 2x 2  x
5. Решить уравнение:




 x   3 sin   x   1  0 б) 7 sin 2 x  3 cos 2 x  4 sin x  cos x  0
3

3

а) 2 sin 2 

6. Дана функция f x   6 x

 3

3 sin 2   x   1  3 cos
 x  cos x  cos 2 x  0
 2





cos 2 x    sin   x 
6
3

в) 
г)
Найдите значение выражения

f
 2 f  1  2
2
7. Вершины пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности. Найти длины боковых
ребер пирамиды, если высота пирамиды равна h, а радиус основания равен r.
8. В основании пирамиды МАВСD лежит равнобедренная трапеция АВСD такая, что АВ = ВС = СD
= 3, АD = 6. Все боковые ребра трапеции наклонены к плоскости основания под углом arctg3.
Найти высоту пирамиды.
9. Найдите отношение площади поверхности куба ABCDA1B1C1D1 к площади поверхности тетраэдра DA1BC1.
10. На боковом ребре семиугольной пирамиды отмечены точки, которые разделили ребро на 10 равных
частей. Через отмеченные точки проведены сечения пирамиды, параллельные её основанию,
причём площадь наибольшего из них равна 405 см2. Найдите площадь наименьшего сечения и
площадь основания пирамиды.
11. Основание прямой призмы  ромб с углом 600 и стороной, равной а. Найдите площадь сечения
призмы, проходящего через большую диагональ призмы параллельно меньшей диагонали ромба,
если высота призмы равна а.
12. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с углом 300, а все её боковые ребра
образуют с плоскостью основания угол 450. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если
высота пирамиды равна 1 м.
Боковые рёбра правильной 6-угольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600.
Определите тангенс двугранного угла при основании этой пирамиды.
13. Точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке и делят окружность в отношении AB: BC: CD:
DA=3: 4 :3 : 2. Известно, что АВ=2 см. Найдите диагонали четырёхугольника ABCD.
14. Из точки М к окружности радиуса 2 3 см проведена касательная МТ, где Т  точка касания, и секущая,
отстоящая от центра окружности на расстоянии 3 см. Известно, что секущая пересекает окружность в
точках А и В, причём AM<BM и ВТ  диаметр окружности. Определите радиусы окружностей, описанных
около АМТ и ВМТ.
15. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены правильные треугольники. Определите площадь
четырёхугольника, вершины которого совпадают с центрами построенных треугольников, если диагональ
данного квадрата равна 4 2 см.