8 класс на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите

8 класс
1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести
на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите
четырехзначное число.
Решение:
Пусть последние 3 цифры будут x,y,z.
Получим уравнение:
7xyz =7000+100x+10y+z
Если 7 перенести, то получим
xyz7 =1000x+100y+10z+7
7xyz - xyz7 =864
7000-900x-90y-9z-7=864
900x+90y+9z=6129
100x+10y+z=681=>x=6,y=8,z=1
Искомым числом будет 7681.
Ответ: 7681
2) Найдите последнюю цифру числа 82003 .
Решение:
Попробуем найти закономерность:
81 =8
82 =64
83 =512
84 =4096
85 =32768
86 =262144
Тогда через каждые 4 числа в конце числа идет следующим кругом в
порядке 8,4,2,6. При делении 2000 на 4 остаток будет 3. А 3-им по порядку в
конце числа будет 2.
Ответ: 2
3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти,
используя всего 4 взвешивания?
Решение:
Разделим 81 монет на 3 части, 27 оставим, а остальные 2 части
положим на весы, если они уравновешены, то искомая монета
находится в отложенной кучке, а если перевес, то фальшивая монета в
куске, которая оказалась легче. Берем кучку с фальшивой монетой, и
аналогично делим на 3 части, также если равны 2 кучки по массе, то
берем оставшеюся кучку, а если нет, то более легкую. Теперь кучку из 9
монет делим на три части, по 3 монеты, берем отложенную, если чашки
весов уравновешены, а если перевес, то более легкую часть. Эту часть
делим на 3, получаем: 1 монету отложим, а две кладем на весы. Если
массы чаши равны, то искомая монета была отложена, если перевес, то
монета находится на чаше, которая более легкая. Искомая монета
найдена.
4) Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник
на 2 равных треугольника?
Решение:
Ответ: 3 раза.
5) Упростите выражение
.
(a-c)((𝑎 − 𝑏) -(a-b)(b-c)+(𝑏 − 𝑐)2 -(𝑎 − 𝑐)2 )=(a-c)((a-b)(a-b-b+c)+(b-ca+c)(b-c+a-c))=(a-c)((a-b)(a-2b+c)+(b-a)(b-2c+a))=(a-c)(a-b)(a-2b+c-b+2c-a)=
3(a-c)(a-b)(c-b)=3(a-b)(b-c)(c-a)
2
6) Решите уравнение
√1 + √2 + √𝑥 = 2.
Решение:
(√1 + √2 + √𝑥)2 =22
1 + √2 + √𝑥=4
√2 + √𝑥=3
(√2 + √𝑥)2=32
2 + √𝑥=9
√𝑥=7
(√𝑥)2 =72
Х=49
Ответ: 49
7) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1
до 100 включительно?
Решение:
Ноль получается в следующих случаях:
1) При умножении на: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100. (11 нулей)
2) Внутри двухзначных чисел, при умножении 2•5(9 нулей)
3) При умножении 2•5 внутри однозначных. (1 нуль)
4) При умножении 20•50 (+1 нуль, 2 нуля уже учли в пункте 2)
5) 25=5•5,75=3•5•5. Получается еще по одной «пятерке», которые при
умножении на 2 (а множителей 2 в разложении чисел здесь
много)дает в конце нуль, т.е. еще 2 нуля.
Получаем: 11+1+1+9+2=24 нуля
Ответ: 24
8) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150
метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение:
Пусть Х м – длина поезда
Х м за 5 сек.
(Х+150) за 15сек.
Тогда 3Х=Х+150, из этого Х=75
75 м – длина поезда
75
Тогда через столб: м/с= 15 м/с= 54 км/ч
5
Ответ: 75 м – длина поезда, 54 км/ч – скорость поезда
9) Зная, что
𝑚
𝑛
1
= , найдите значение выражения
3
𝑛 − 2𝑚
.
𝑚
Решение:
𝑚
1
Если = , то n>m в 3 раза, n=3m
𝑛
3
𝑛−2𝑚 3𝑚−2𝑚 𝑚
=
𝑚
Ответ: 1
𝑚
= =1
𝑚
10) Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(2002-2003-2004+2005) =1+0=1