- Голынковская средняя школа

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Голынковская средняя общеобразовательная школа
Урок в 10 классе по теме
«Параллельность прямой и плоскости»
Учитель: Гончарова С.С.
2
Цели:
а) Образовательные
- Познакомить учащихся с прямыми, параллельными плоскости.
- Доказать признак параллельности прямой и плоскости.
- Учить применять признак к решению задач.
б) Развивающие
- Развивать пространственное мышление.
- Развивать математическую речь учащихся.
в) Воспитательные
- Воспитывать аккуратность.
- Воспитывать интерес к предмету.
Тип урока: Изучение нового материала.
Оборудование:
Макет, состоящий из плоскости и двух прямых, одна из которых лежит в
плоскости, а 2-я не лежит в плоскости и параллельна данной прямой;
конспект с печатной основой;
доска, мел, учебник.
Литература:
1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян и др.- М.:
Просвещение, 1993.
2. Изучение геометрии в 10-11 кл. / С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов М.:Просвещение, 2001.
3
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания ( 3 мин.)
(по заранее заготовленному решению на боковой доске).
№ 18(б).
В
Дано: A  α
AB  α
С
C  AB
CC1 || BB1
C1  α
B1  α
А
AC : CB = 3: 2
С1 В1
BB1 = 20 см

—————————
Найти СС1
Решение.
АВ ∩ ВВ1 = В =>  плоскость АВВ1, так как через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и только одна.
В плоскости АВВ1 через точку С проходит единственная прямая, параллельная
прямой ВВ1. Значит, СС1  плоскости АВВ1.
Точки А, С1, В1 лежат на одной прямой.
СС1 || ВВ1 (по условию) =>  АСС1 ~  АВВ1 =>
СС1
АС
=> ——— = ———.
ВВ1
АВ
Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
АС = 3х (см), ВС = 2х (см), АВ = АС + СВ = 5х (см).
СС1
3x
——— = —— ;
20
5x
CC1 = 20 * 3 / 5 = 12 (см).
Ответ: 12 см.
II. Актуализация знаний ( 3 мин.)
Надпись на доске «Параллельность прямой и плоскости»
- Сформулируйте 2-ю аксиому
(Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой
плоскости).
4
- Сколько общих точек может иметь прямая и плоскость?
(2, тогда прямая лежит в плоскости,
1, тогда прямая пересекает плоскость,
ни одной, тогда прямая и плоскость не пересекаются)
- В зависимости от этого возможны 3 случая взаимного расположения прямой и
плоскости:
1) прямая лежит в плоскости:
а
а

2) прямая и плоскость имеют 1 общую точку, т.е. пересекаются:
а
а∩

3) прямая и плоскость не имеют общих точек:
а
а∩=Ø

III. Изучение нового материала ( 15 мин.)
- Случай 3) иначе называется параллельностью прямой и плоскости.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые
троллейбусные, или трамвайные провода. Они параллельны плоскости земли.
(Учащиеся находят в классе примеры прямых, параллельных какой-либо плоскости).
- В каждой из таких плоскостей всегда можно найти прямую, параллельную данной.
- Оказывается, если в плоскости  имеется прямая b, параллельная прямой а, не
лежащей в плоскости , то прямая а и плоскость  параллельны. Наличие в
плоскости  прямой b, параллельной прямой а, является признаком , по
которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости .
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости).
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
а
b

Дано: а  
b
a || b
Доказать: а || .
5
Доказательство.
(Излагаю доказательство на доске, учащиеся слушают, ничего не записывая)
Применим метод от противного.
Предположим, что а || , и т.к. а   (по условию), то
Имеем, а || b
a∩=А
а ∩  = А.
=> b ∩  = B, т.к. если одна из двух параллельных
прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Пришли к противоречию с условием, что b  . Наше предположение неверно. Значит,
а не ∩ , а т.к. а   (по условию), то остается, что а || , что и требовалось доказать.
(Учитель повторяет доказательство теоремы. Затем учащиеся заполняют конспект
на печатной основе, а один из учащихся заполняет аналогичный конспект на обратной
стороне доски.)
IV. Проверка заполнения конспекта (7 мин.)
Учащийся, заполнивший конспект, у доски излагает доказательство теоремы.
V. Первичное закрепление (6 мин.)
№ 22.
С
_
M
_
=
N
=
Дано: A  α
Bα
Cα
AM = MC
CN = NB
А
Доказать: MN || α
В

Доказательство.
A  α (по усл.)
B  α (по усл.)
C  α (по усл.)
=> A, B, C не лежат на одной прямой =>
 плоскость АВС, проходящая через точки А, В, С (через любые три точки, не
лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна).
Рассмотрим  АВС
АМ = МС (по усл.)
BN = NC (по усл.)
=> MN – средняя линия  АВС =>
MN  α
AB  α
MN || AB
=> MN || α (по признаку параллельности прямой и плоскости),
что и требовалось доказать.
6
VI. Итог урока (2 мин.)
- Какие случаи взаимного расположения прямой и плоскости вы занете?
(Прямая лежит в плоскости, прямая пересекает плоскость, прямая параллельна
плоскости).
- Какая прямая называется параллельной плоскости?
(Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.)
- С каким признаком параллельности прямой и плоскости вы познакомились?
(Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.)
VII. Домашнее задание (2 мин.)
Пункт 6 (утверждение 2 разобрать самостоятельно),
№№ 20, 23.
VIII. Сообщение оценок ( 1 мин.)
IX. Рефлексия: - на уроке я вспомнил…
- на уроке я узнал…
- на уроке я научился…
7
Конспект с печатной основой.
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, ___
________________ в данной плоскости, параллельна какой-
нибудь _______________, лежащей __ ____________ _______________, то она
____________________ данной плоскости.
Доказательство.
а
Дано: а __ 
b __ 
a __ b
Доказать: а __ .
b

Доказательство.
Применим метод от противного.
Предположим, что а __ .
Тогда, т.к. а   ( ___ _____________ ), то
Имеем, а __ b (по усл.)
a ∩  = ___
а __  = А.
=> b ∩ ___ = B, т.к. если одна из двух ____________
_____________ ________________ _____________ ________________, то и другая
___________ ________________ эту _________________.
Пришли к противоречию с условием, что b ___ .
Наше предположение неверно. Поэтому, прямая а ___ ______________ плоскость ___ , а
т.к. по условию а ___  , то остается, что а ___ , что и требовалось доказать.