ðòï

13.4.3. Расчет магнитных полей в областях с простой геометрией
Пример 13.13. Поле кругового контура с током (рис. 13.17).
Известны радиус контура r0 и ток в нем I.
Определить напряженность магнитного поля Н, скалярный м и
векторный А магнитные потенциалы на оси контура в точке, отстоящей на расстояние z от плоскости витка.
Решение
Для определения напряженности используем закон Био–Савара.
Из формулы (13.55) следует, что составляющая вектора напряженности
магнитного поля dH на оси контура от элемента тока Idl лежит в
плоскости, проходящей через эту ось. Поэтому при суммировании составляющих от всех элементов контура горизонтальные проекции dH r
уничтожат друг друга, а вертикальные dH z будут складываться арифметически. В рассматриваемой точке.
Z
dH
dH z
b
dH r
b
z
R
r0da
a
r0
dl
O
X
I
Рис. 13.17
dH z  dH sin b 
Idl
4R
2
sin b,
ãäå dl  r0d a, R  r02  z 2 , sin b  r0 / R .
Поэтому H   dH z 
I sin b
2
 dl 
Ir02 2
Ir02
3
2(r02  z 2 )3/ 2
 da 
.
4R l
4R 0
Поскольку вектор напряженности Н направлен вдоль оси, то его
величина согласно (13.48) связана со скалярным магнитным потенциаl
d
лом формулой H   ì . Òî ãäà
dz
Ir02
dz
ì    Hdz  
.

2 (r02  z 2 )3 / 2
Этот табличный интеграл приводится к виду: ì  D 
Iz
2 r02  z 2
, где
D  постоянная интегрирования. Если полагать м  0 ï ð è z   ,


I
z
  I 1  cos b . В центре витòî D  I 2, òî ãäà ì  1 
2
r02  z 2  2

ка (ï ðè z  0) м  I 2.
Формула (13.54) говорит о том, что составляющая векторного
магнитного потенциала dА от элемента тока Idl направлена также, как
вектор dl. Поэтому, очевидно, интегрирование по контуру даст для точек, лежащих на оси витка, результат A  0.
Пример 13.14. Поле бесконечно длинного прямолинейного цилиндрического проводника кругового сечения с постоянным током.
Известны радиус проводника r0 , ток I, магнитные проницаемости материала проводника  a и окружающей среды  0 .
Определить вектор магнитной индукции В и векторный магнитный потенциал А внутри и вне провода, а также скалярный магнитный
потенциал (вне провода).
Решение
Магнитное поле – плоскомеридианное. Ось OZ цилиндрической
системы координат перпендикулярна плоскости чертежа на рис. 13.18.
Ток распределяется равномерно по сечению проводника. Вектор плотности тока направлен вдоль оси OZ, его величина   I (r02 ) .
0
r0
r
r
a
I
B
Рис. 13.18
В силу симметрии системы, вектор напряженности Н направлен
по касательной к окружности с центром в начале координат, а его значение не зависит от угловой координаты a. Тогда по закону полного
тока (13.1а) для точек вне проводника (контур радиуса r  r0 ) имеем
2
I   Hdl   Hrd a  2rH , òî ãäà
l
0
H
I
.
2r
При r  r0 контур интегрирования охватывает лишь часть тока
I
Ir
.
I r  r 2  I (r / r0 )2. Ï î ýòî ì ó H  r 
2r 2r02
Значения вектора магнитной индукции внутри и вне проводника:
 Ir
B a
ï ðè r  r0 ,
(13.59à)
2
2r0
 I
B  0 ï ðè r  r0.
(13.59á)
2r
Поскольку вектор магнитной индукции имеет в цилиндрической
системе координат лишь одну составляющую B  Ba , то, раскрыв выA
ражение rot A в этой системе, найдем Ba   z . Так что и векторr
ный магнитный потенциал имеет тоже одну составляющую A  Az .
2
 I r 
Внутри проводника Az    Bdr  
rdr   a    C1.

4  r0 
2r02
 I dr
 I
Ñí àðóæè A    Bdr   0    0 ln r  C2. .
2 r
2
Если принять значение векторного магнитного потенциала на поверхности проводника ( r  r0 ) равным нулю, то легко можно найти по I
 I
стоянные интегрирования:
Тогда
C1  a , C2  0 ln r0 .
4
2
a I  r 2 
A
(13.60à)
1   ï ðè r  r0 ,
4  r02 
 I r
A  0 ln 0 ï ðè r  r0.
(13.60á)
2
r
Линии вектора магнитной индукции одновременно являются линиями равного векторного потенциала и подчиняются условию
r  const. Значит, они представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси проводника.
Скалярный магнитный потенциал найдем, раскрывая выражение
grad H в цилиндрической системе координат (опять же учитывая наличие лишь одной составляющей вектора магнитной индукции H  H a ) :
1 ì

 H a . Напомним, что понятие скалярного магнитного потенциr a
ала имеет смысл лишь в областях, незанятых током, т. е. вне проводниa I
I
I
d a   a  D. Можно принять
2
2
м  0 ï ðè a  0, òî ãäà D  0 è ì   I a (2).
Плоскости равного скалярного магнитного потенциала проходят
через ось проводника, подчиняясь условию a  const. Скалярный магнитный потенциал многозначен даже при вполне определенной плоскости нулевого потенциала. Действительно, выбирая контур интегрирования n раз охватывающий провод, получим добавку к м в виде nI.
Чтобы этого избежать, условливаются не пересекать при выборе этого
контура плоскость нулевого скалярного потенциала.
Пример 13.15. Магнитное поле двухпроводной линии.
Известны ток линии I, расстояние между проводами линии d, их
радиусы r0 , магнитные проницаемости среды  0 и материала проводов  a .
Определить скалярный м и векторный А магнитные потенциалы.
Решение
Воспользуемся принципом наложения. Результаты, полученные в
предыдущем примере, легко позволяют это сделать. Если сопровождать
индексом 1 составляющие величин, относящиеся к току, направленному
вдоль оси OZ, а индексом 2 относящиеся к току, текущему в противоположном направлении, то в некоторой точке Р (рис. 13.19), лежащей
вне проводов, окажется
μ I
μ I r
A  Az   0 (ln r1  ln r2 )  D   0 ln 2  D ,
2π
2π
r1
ка. Поэтому
ì    H a rd a   
I
I
[α1  ( π  α 2 )]  D  
β  D .
2π
2π
A=0
φм  φм1  φм 2  
r2
α2
P
β
r1
α1
2
Рис. 13.19
φМ=0
1
Здесь r1 è r2 – расстояния от точки Р до осей проводов, D′ и
D′′ – постоянные интегрирования. a1 è a 2 – углы в треугольнике
между осью абсцисс и отрезками r1 è r2 , тогда b    (a1  a 2 ).
Если принять A  0 в начале координат, где r1  r2 , à ì  0 на оси
абсцисс правее первого провода, где b = 0, то формулы принимают вид:
 I r
A  0 ln 2 ,
(13.61)
2 r1
I
ì  b.
(13.62)
2
Если в уравнении (13.61) заменить 0 I í à   a , а А на φ, то
получится формула для потенциала электрического поля двух разноименно заряженных осей (13.26). Значит, уравнение линии равного векторного потенциала то же самое (13.62), а сама линия представляет собой окружность, центр которой лежит на оси абсцисс. Одновременно,
как было показано при обсуждении примера 13.14, эта линия является
линией магнитной индукции (и напряженности магнитного поля).
В свою очередь уравнение (13.62) при b  const описывает окружность, проходящую через оси проводов. Ведь, как известно, вписанный
угол b не меняется при перемещении точки по окружности.
Таким образом, картины электрического и магнитного полей
двухпроводной линии, у которой расстояние между проводами гораздо
больше их радиуса, практически одинаковы. Но линии напряженности и
линии равного потенциала меняются местами (рис. 13.20). Разница в
том, что в электростатическом поле линия равного электрического потенциала совпадает с поверхностью провода, а в магнитном одна из линий напряженности магнитного поля лишь касается его поверхности.
Дело в том, что электростатическое поле двух проводов было таким же,
как поле двух заряженных осей, причем эти электрические оси были
смещены относительно геометрических в направлении к началу координат. Магнитное же поле вне проводов соответствует сосредоточенным токам именно на геометрических осях.
Что касается магнитного поля внутри проводов, то по-прежнему
нетрудно записать выражение векторного магнитного потенциала, ис2


I   r1 
A
 a    20 ln r2   D.
пользуя метод наложения:
4   r0 



Здесь D – постоянная интегрирования, которую можно определить из
принятого выше условия A  0 ï ðè r1  r2  d 2. В этом случае
A
I 
2r2
(d / 2  r1)(d / 2  r1) 
2

ln


 0
.
a
2
4 
d
r0

Анализ этого выражения весьма обременителен и здесь не проводится.
Например, даже при  a   0 трудно на картине поля найти точку, в
которой сходятся линии магнитной индукции и, значит, B  0. Отметим лишь, что такая точка (назовем ее магнитной осью) смещена относительно геометрической оси в направлении от начала координат.
φм=con
st
A=const
Рис. 13.20
Пример 13.16. Магнитное поле коаксиального кабеля (на
рис. 13.21 показано поперечное сечение кабеля).
Известны геометрические размеры кабеля и постоянный ток I в
нем. Центральный проводник (жила кабеля), по которому ток I течет
от источника к приемнику (на рис. 13.21 он направлен к наблюдателю)
имеет радиус r0 . По наружному трубчатому проводнику (оболочке кабеля) с внутренним радиусом r1 и внешним r2 , ток I течет в противоположном направлении. Абсолютные магнитные проницаемости изоляции  0 , жилы  a и оболочки a .
I
r1
r0 μ'
а
I
r
μ0 r 2
B
Рис. 13.21
Определить вектор магнитной индукции В и векторный магнитный потенциал А.
Решение
Постоянный ток по сечению проводников распределяется равноI
мерно. Величина плотности тока в толще жилы 1 
, а в теле обоr02
I
лочки – 2 
, причем векторы δ1 è δ2 направлены в
2
2
(r2  r1 )
противоположные стороны. Законы изменения искомых величин различны в четырех областях: 1) в центральном проводнике, 2) в диэлектрике между проводниками, 3) в теле наружного проводника и 4) за
пределами кабеля.
В двух первых областях в силу симметрии системы и в согласии с
законом полного тока поле ничем не отличается от поля цилиндрического проводника с током. Соответствующие формулы для
B1 , B 2 (13.59а, 13.59б) и A1 , A 2 (13.60а, 13.60б) получены в примере 13.14.
При исследовании поля в третьей области воспользуемся методом
наложения. Вычтем из величины составляющей, обусловленной током в
центральном проводнике, составляющую, созданную той частью тока
наружного проводника I r  2(r 2  r12 ), которая протекает внутри
трубки, ограниченной окружностью радиуса r. Для определения составляющих вектора магнитной индукции используем формулу (13.59а),
а чтобы найти векторный магнитный потенциал, результат проинтегрируем: A3   B3dr  C3. Постоянную интегрирования C3 найдем из
условия непрерывности вектора А на внутренней поверхности оболочки кабеля (r  r1) . Опуская промежуточные выкладки, запишем результат:
a I (r22  r 2 )
B3  Ba 
,
2
2
2r (r2  r1 )
(13.63)
I  a r22
r
r1 a (r  r12 ) 
A3  Az   
ln  0 ln 
.
2  r22  r12 r0
r0 2(r22  r12 ) 
Что касается четвертой области, то в ней магнитное поле отсутствует, поскольку одинаковые по величине токи в центральном и
наружном проводниках протекают в противоположных направлениях.
Этот вывод следует из закона полного тока. Поэтому B4  0, а векторный магнитный потенциал постоянен: A4  A3 r r .
2