Программа курса математики 1. Общие положения для слушателей подготовительного отделения магистратуры
advertisement
С пе циа л ьно ст ь П МИ Программа курса математики для слушателей подготовительного отделения магистратуры 384 аудиторных часа 1. Общие положения a) Преподавание математических дисциплин в магистратуре ПМИ предполагает владение полным математическим курсом, который прослушали и сдали бакалавры ПМИ ГУ ВШЭ, а также свободное умение программировать хотя бы на одном алгоритмическом языке. b) Подготовительные курсы предназначены для овладения этих дисциплин в объеме первых трех курсов бакалавриата. Этот материал будет вынесен на вступительный экзамен в магистратуру. Успешно его сдавшие и зачисленные в магистратуру должны будут догнать бакалавров ПМИ ГУ ВШЭ (т. е. досдать математику за 4 курс ПМИ ГУ ВШЭ) в течение первых месяцев обучения, в чем будет оказана помощь преподавателями кафедры математики. c) Предполагается, что лица, зачисленные на подготовительные курсы в магистратуру ПМИ, владеют курсом математики в объеме ВТУЗа. Поэтому упомянутые ниже разделы программы будут проходиться ускоренно по сравнению с курсом для бакалавров ПМИ ГУ ВШЭ. d) Обучающиеся на подготовительных курсах ПМИ ГУ ВШЭ имеют право пользоваться библиотекой ГУ ВШЭ. e) Помимо математических дисциплин на подготовительных курсах читается английский язык. (объем: 64 аудиторных часа) и программирование (24 часа). f) Подготовительные курсы ПМИ ГУ ВШЭ работают с конца октября по начало мая. Обычная нагрузка: 16 аудиторных часов в неделю. Время вечернее. 2. Примерное содержание математического компонента подготови- тельных курсов: 1. Дискретная математика – 56 часов (составляет С.О.Кузнецов) Множества и отношения Комбинаторика Графы и деревья Логические функции и алгебра логики Формальные теории Алгоритмы, языки и автоматы 2. Алгебра и анализ – 132 часа Математический анализ и теория функций комплексного переменного - 51 Линейная и высшая алгебра - 71 Программирование в среде MATLAB - 10 3. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление – 108 часов Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения – 50 Уравнения в частных производных – 20 часов Вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина – 15 часов Численные методы – 20 часов 4. Системный анализ – 35 часов Конечномерная оптимизация – 15 часов Принятие решений и управление – 20 часов 1 5. Теория вероятностей – 25 часов 6. Программирование 24 часа. Вне программы подготовительных курсов остаются следующие разделы, которые бакалавры ПМИ изучают на 4-м курсе: дополнительные главы уравнений математической физики; элементы функционального анализа; численные методы; теория игр. (Более подробно с программами этих курсов можно ознакомиться на сайте кафедры высшей математики на факультете экономики и сайте отделения ПМИ). Подробное содержание программы подготовительного курса математики I Дискретная математика - 60 часов. РА ЗД Е Л 1 Множества и отношения – 12 часов Тема 1. Множества и операции над ними – 3 часа Множества, способы их задания. Основные операции над множествами, свойства операций, алгебра множеств. Булеан. Парадоксы теории множеств. Покрытие множества и разбиение множества. Мощность конечных множеств. Множества и кортежи. Декартово произведение множеств. Тема 2. Отношения – 4 часа Бинарные и многоместные отношения. Обратное отношение, композиция отношений, степень отношения. Свойства отношений: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, линейность. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности, фактор-множество. Отношение порядка. Строгий и нестрогий порядок, линейный (полный) порядок. Лексикографический порядок. Замыкание отношений. Тема 3. Функциональные отношения – 3 часа Общее понятие функции (отображения). Образ и полный прообраз элемента при отображении, прообраз множества. Способы задания функций. Операции над функциями: обратная функция, суперпозиция функций. Свойства функций: инъективность, сюръективность, биективность (взаимная однозначность), монотонность. Тема 4. Мощность множеств – 2 часа Взаимно-однозначные соответствия и эквивалентные (равномощные) множества. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества иррациональных чисел. Теорема Кантора-Бернштейна. Мощность множеств, кардинальные числа. Мощность множества всех подмножеств данного множества. РА ЗД Е Л 2 Комбинаторика – 6 часов Комбинаторика множеств, кортежей, мультимножеств. Правило суммы и правило произведения для количества комбинаторных конфигураций. Формула включений и исключений. Перестановки, перестановки с повторениями. Размещения с повторениями и без повторений. Сочетания, сочетания с повторениями, треугольник Паскаля. Биномиальные коэффициенты и формула бинома Ньютона. Перестановки и подстановки, инверсии и сортировка. Рекуррентные соотношения, числа Фибоначчи. РА ЗД Е Л 3 Графы и деревья – 8 часов Тема 1. Графы – 5 часов Вершины и ребра графа, смежность и инцидентность. Изоморфизм графов. Маршруты, цепи, циклы. Подграфы, остовный подграф. Связность графа, компоненты связности. Ориентированные графы. Графы и бинарные отношения. Матрица смежности и матрица связности. Полные, ациклические и 2 двудольные графы. Эйлеровы и Гамильтоновы циклы. Планарность графа, формула Эйлера. Взвешенный граф. Раскраска графов. Оптимизационные задачи на графах. Тема 2. Деревья – 3 часа Деревья, их основные свойства: связность, ацикличность. Деревья и лес. Свободные, ориентированные и упорядоченные деревья. Поддеревья. Бинарные деревья. Схемы обхода бинарных деревьев. Деревья сортировки. Алгебраические выражения и деревья. РА ЗД Е Л 4 Логические функции и а лгебра логики – 8 часов Тема 1. Логические функции и формулы – 5 часов Высказывания и логические значения. Булевы функции, таблицы истинности. Существенные и несущественные переменные. Логические функции от одной и двух переменных. Логические функции и основные операции алгебры логики. Реализация функций формулами, равносильные формулы. Законы алгебры логики. Равносильные преобразования формул, алгебра булевых функций. Тема 2. Полнота и замкнутость, нормальные формы – 3 часа Двойственные функции, их реализация. Принцип двойственности. Замыкание множества булевых функций, замкнутые и полные системы функций. Полнота двойственной системы. Теорема Поста. Разложение булевых функций по переменным. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы их построение по таблице истинности функции. РА ЗД Е Л 5 Формальные теории – 16 часов Тема 1. Исчисление высказываний – 3 часа Высказывания и логика высказываний, язык логики высказываний. Формулы в исчислении высказываний (ИВ) и их элементы: пропозициональные переменные, логические связки. Выполнимые и общезначимые формулы. Аксиомы и правила вывода классического исчисления высказываний. Выводимость формул, теоремы ИВ. Производные правила вывода. Непротиворечивость, полнота, разрешимость ИВ. Тема 2. Исчисление предикатов первого порядка – 9 часов Высказывания и высказывательные формы. Предикат, множество его истинности. Язык предикатов первого порядка (ИП): функциональные и предикатные символы, предметные константы, логические связки и кванторы. Термы и формулы ИП. Свободные и связанные переменные, замкнутые формулы. Предваренная нормальная форма. Интерпретация формул, выполнимые и общезначимые формулы, равносильные формулы. Логическое следование. Примеры языков первого порядка. Аксиомы и правила вывода чистого ИП. Выводимость формул, теоремы ИП. Непротиворечивость, полнота и неразрешимость ИП. Логические законы. Примеры прикладных теорий (исчислений) первого порядка. Формальная арифметика, теорема Геделя о неполноте. Формальные теории и алгебраические системы. Тема 3. Логика доказательств – 4 часа Правила логического вывода и математические доказательства. Необходимые и достаточные условия. Прямая, обратная теорема и теорема, противоположная обратной. Принцип математической индукции. Простая и строгая индукция для натуральных чисел. Обобщенная индукция для вполне упорядоченных множеств. РА ЗД Е Л 6 Алгоритмы, языки и автоматы – 6 часов Формализация понятия алгоритма. Машина Тьюринга и нормальные алгоритмы Маркова. Вычислимые функции и разрешимые множества. Основная гипотеза теории алгоритмов. Тезис Чёрча. Понятие алгоритмической неразрешимости, примеры алгоритмически неразрешимых задач. Формальные языки и грамматики, их классификация. Соотношение между типами языков и грамматик. Контекстно-зависимые, контекстно-свободные, регулярные и автоматные грамматики. Задачи распознавания языков. Тип языка и вид распознавателя. Детерминированный и недетерминированный конечный автомат. Автоматы с магазинной памятью. Понятие вычислительной сложности. Математический анализ и алгебра – 132 часа 3 РА ЗД Е Л 1 Алгебра многочленов – 12 часов Тема 1. Алгебра комплексных чисел – 5 часов Определение множества комплексных чисел C. Геометрическое представление комплексного числа. Простейшие свойства множества C. Алгебраическая форма комплексного числа и формальные правила действий с комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексно-сопряженные числа. Формула Муавра. Формулы Региомонтана. Формулы для тригонометрических функций кратного аргумента. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы. Понятие поля. Тема 2. Многочлены и их корни – 4 часа Операции (сложение, вычитание, умножение) над многочленами и их простейшие свойства. Частное и остаток от деления многочленов. Делители многочлена; наибольший общий делитель; алгоритм Евклида. Корни многочлена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Теорема Безу. Формулы Виета. Симметрические функции. Многочлены с действительными коэффициентами. Неразрешимость общего уравнения пятой степени. Рациональные функции и разложение их на простейшие дроби. Тема 3. Кольца и поля – 3 часа Аксиоматика групп, колец и полей. Примеры. Подгруппы и факторгруппы. Идеалы и максимальные идеалы. Примеры. РА ЗД Е Л 2 . Линейные пространства – 14 часов Тема 1. Линейные пространства – 3 часа Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства. Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Другие примеры линейных пространств. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов. Тема 2. Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы – 2 часа Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре и ее следствие. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Произведение матриц и матрицы на вектор. Ранг произведения матриц. Блочные матрицы. Тема 3. Базис и размерность пространства – 3 часа Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису. Изоморфизм линейных пространств. Тема 4. Общая теория систем линейных уравнений – 3 часа Теорема Кронекера - Капелли. Базисная подсистема. Теорема об эквивалентности совместной системы любой своей базисной подсистеме. Однородная система линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие единственности решения однородной системы. Линейное пространство решений и фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности линейного пространства решений однородной системы. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Тема 5. Линейные подпространства и многогранники – 3 часа Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства. Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие уравнения подпространства. Параметрические уравнения подпространства в векторной и координатной формах. Пересечение подпространств и возможные его размерности. Трансверсальность подпространств. Общее положение. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Выпуклая комбинация векторов. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка. Полупространства. Многогранни4 ки. РА ЗД Е Л 3 Линейные операторы в линейных пространствах – 15 часов Тема 1. Линейные операторы в линейных пространствах – 4 часа Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов и его размерность. Тема 2. Характеристический и минимальный многочлены – 3 часа Характеристический многочлен и характеристические числа оператора и матрицы. Спектр матрицы. Теорема о характеристических многочленах подобных матриц. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора. Многочлен, аннулируемый матрицей. Теорема Гамильтона - Кэли. Минимальный многочлен матрицы. Связь характеристического и минимального многочленов матрицы. Тема 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора – 7 часов Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень характеристического многочлена линейного оператора. Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению, как подпространство. Собственное и инвариантное подпространства линейного оператора. Существование инвариантных подпространств. Комплексные собственные числа вещественных операторов. Теорема о матрице линейного оператора в линейном пространстве, разложенном в прямую сумму инвариантных подпространств. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения. Теорема об их связи. Теорема о матрице линейного оператора с базисом из собственных векторов. Определение линейного оператора простой структуры; его матрица в базисе из собственных векторов. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Теорема Гершгорина. Тема 4. Каноническая жорданова форма матрицы 3 часа Корневое подпространство линейного оператора по характеристическому числу. Жорданова цепочка векторов. Жорданов базис. Жорданова клетка. Каноническая жорданова форма матрицы линейного оператора. Алгоритм построения жорданова базиса и жордановой матрицы. Оператор дифференцирования в пространстве многочленов. РА ЗД Е Л 4 Билинейные и квадратичные формы в действительном линейном пространс тве – 6 часов Тема 1. Линейные и билинейные формы в действительном линейном пространстве – 2 часа Линейная форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе. Коэффициенты линейной формы и их преобразование при изменении базиса. Билинейная форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе. Матрица билинейной формы в заданном базисе. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Симметрическая билинейная форма. Скалярное произведение как пример симметрической билинейной формы. Тема 2. Квадратичные формы в действительном линейном пространстве – 4часа Квадратичная форма. Форма, полярная к квадратичной. Единственность полярной формы для заданной квадратичной формы. Положительно определенная квадратичная форма. Определение скалярного произведения как формы, полярной к положительно определенной квадратичной форме. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Теорема о числе отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции. Ранг квадратичной формы и его нахождение. Понятие метрического пространства. Нормированное пространство. Единичная сфера. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Примеры бесконечномерных пространств. 5 РА ЗД Е Л 5 Евклидовы пространства – 10 часов Тема 1. Евклидовы пространства – 8 часов Скалярное произведение в действительном линейном пространстве. Определение евклидова пространства. Матрица Грама и ее свойства. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника. Метрика и норма в линейном пространстве. Определение нормированного пространства. Примеры норм в линейном пространстве. Описание множества норм в данном пространстве. Нормы в пространстве линейных операторов. Ортогональность векторов в евклидовом пространстве. Ортогональная и ортонормированная система векторов. Линейная независимость ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма Шмита. Ортогональный и ортонормированный базисы. Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности. Тема 2. Ортогональное дополнение – 2 час Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства. Ортогональное дополнение как подпространство. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Ортогональная составляющая вектора. Углы между подпространствами. РА ЗД Е Л 6 Операторы в действительных и комплексных евклидовых пространствах – 14 часов Тема 1. Сопряженные и самосопряженные операторы – 4 часа Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Свойства операции перехода от данного оператора к сопряженному. Матрица самосопряженного оператора в ортогональном базисе. Самосопряженные (эрмитовы) операторы. Необходимое и достаточное условие самосопряженности произведения операторов. Ортогональные и унитарные операторы и их матрицы в ортогональном базисе. Тема 2. Собственные значения самосопряженных и унитарных операторов – 4 часа Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Существование ортогональных собственных векторов самосопряженного оператора. Матрица самосопряженного оператора в ортогональном базисе. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Собственные значения ортогонального и унитарного операторов. Матрицы ортогональных и унитарных операторов. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженных операторов. Нормальные операторы. Тема 3. Самосопряженные и унитарные операторы в бесконечномерных пространствах – 2 час 2 Метрика L для различных областей. Косоэрмитовость оператора дифференцирования. Важность граничных условий. Эрмитовость оператора Лапласа. Унитарность оператора сдвига аргумента. Дифференциальные операторы в пространстве многочленов. Тема 4. Теория возмущений матриц и операторов – 4 часа Оператор, обратный к близкому к данному. Извлечение корня из матрицы. Возмущение простого спектра эрмитова оператора. Кратный спектр. Неэрмитов случай. РА ЗД Е Л 7 Теория пределов – 7 часов Тема 1. Числовые последовательности и числовые ряды – 5 часа Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества. Основные свойства, связанные с полнотой множества действительных чисел: принцип Коши-Кантора, принцип Бореля-Лебега, принцип Больцано-Вейерштрасса. Определение и свойства предела числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Критерий Коши. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число e. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Числовой ряд и его сумма. 6 Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Простейшие признаки сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости ряда. Тема 2. Предел функции одного вещественного переменного – 1 час Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел монотонной функции. Второй замечательный предел. Сравнение асимптотического поведения функций. Тема 3. Предел функции комплексного переменного – 1 час Метрические пространства и предельные точки. Открытые и замкнутые шары. Замыкание. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Примеры. Последовательность комплексных чисел и ее предел. РА ЗД Е Л 8 Непрерывные и дифференцируемые функции одного и н ескольких переменных – 16 часов Тема 1. Непрерывные функции одной переменной – 4 часа Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций одного переменного (в т. ч. теоремы Больцано - Коши и Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция. Равномерная непрерывность и лемма Бореля. Тема 2. Дифференцируемые функции одной переменной – 4 часа Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции. Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула и ряд Тейлора. Метод Ньютона поиска корней гладкой функции. Оценка остаточного члена. Примеры. Необходимое условие экстремума и достаточное условие экстремума. Классификация критических точек. Пример Коши (ненулевая функция, все производные которой в начале координат равны нулю). Дифференцируемость функции комплексного переменного (условия Коши – Римана). Тема 3. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных – 4 часа Открытые и замкнутые множества в Rn. Компактность в Rn. Свойства компактных множеств. Непрерывные функции f : R n R m ; их свойства. Определение дифференцируемой в точке функции (отображения) f : R n R m . Производное отображение в точке (дифференциал в точке). Матрица Якоби f (a ) . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке. Тема 4. Неявные и обратные функции многих переменных – 2 часа Неявные функции. Теорема о неявной функции. Диффеоморфизм гладкости p. Обратная функция к f : R n R n . Теорема об обратной функции. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду. Лемма Морса Тема 5. Экстремумы функций многих переменных – 2 часа Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы. Метод Ньютона – Рафсона. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Поверхность в Rn. Касательное пространство. Условный экстремум и множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный признак условного экстремума. РА ЗД Е Л 9 Интегральное исчисление и ряды – 14 часов 7 Тема 1. Определенный интеграл от функции одной переменной – 4 часа Определение определенного интеграла от ограниченной функции по отрезку. Суммы Дарбу и их свойства; необходимое и достаточное условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Множество меры нуль на числовой оси; примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Простейшие свойства определенного интеграла. Обобщенная теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом и теорема Ньютона - Лейбница. Вторая теорема о среднем значении. Замена переменной в интеграле. Примеры. Приближенное вычисление интегралов. Оценки остаточных членов в формулах прямоугольников, трапеций и Симпсона. Тема 2. Функциональные ряды – 1 час Функциональный ряд и область его сходимости. Ряд Дирихле. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда и способы его вычисления. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Примеры разложения функций в ряд Тейлора. Тема 3. Несобственные интегралы – 2 часа Определение интегралов с бесконечными пределами и их простейшие свойства. Необходимое и достаточное условие сходимости интегралов в случае положительной подынтегральной функции; признаки сравнения. Признак Больцано-Коши; абсолютная сходимость интеграла. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Условия и признаки существования интегралов от неограниченных функций. Теоремы о среднем значении несобственного интеграла. Тема 4. Интегралы, зависящие от параметра – 3 часа Равномерное стремление функции двух переменных к предельной функции. Условие Больцано - Коши равномерного стремления. Перестановка предельных переходов. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра. Использование гладкости зависимости интеграла от параметра для оценки интеграла на примере эллиптических интегралов. Метод стационарной фазы для оценки интегралов от быстроосциллирующих функций. Тема 5. Интегральные нормы в пространствах функций – 4 часа Нормы Lp ,Wq2 . Обобщения неравенства Коши – Буняковского. Ортогональные системы функций. Приближение в интегральных нормах. Соотношения между нормами (теоремы вложения). Формула Родрига. Гауссовы квадратурные формулы. РА ЗД Е Л 1 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 8 Теория функций комплексного переменного – 14 часов Интегрирование по кривой и контуру на плоскости. Интеграл с переменным пределом (первообразная). Условия независимости интеграла от выбора кривой. Теорема Стокса. Ротор векторфункции. Непрерывность и дифференцируемость функций комплексного переменного в вещественном и комплексном смысле. Связь с уравнениями Коши – Римана. n Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции. Интеграл от z вокруг нуля. Многолистные функции (примеры). Кривые на плоскости и в пространстве (спрямляемые, простые). Односвязные и неодносвязные области. Аналитическое продолжение. Ветвление на примерах квадратного корня и логарифма. Вариация функции одного переменного. Гомотопность кривых в двумерных и трехмерных областях. Сфера Римана. Теорема Жордана (без док).. Свойства вещественной и мнимой частей голоморфной функции – сопряженные гармонические функции. Вычеты. Связь с разложением в ряд Лорана. Определение и способ вычисления вычетов в полюсах. Вычет на бесконечности. Примеры вычисления определенных интегралов с помощью вычетов. Гамма-функция Эйлера. Функциональное уравнение. Область аналитичности и полюса. Значения в целых и полуцелых точках. Связь с факториалом. Формула симметрии (без док.). Асимптотика в окрестности полюсов. 10. Лемма Жордана об интегралах по контуру. Вычисление интегралов Лапласа. 11. Ряды Тейлора и Лорана. Голоморфность в кольце. Интегральные формулы для коэффициентов ряда Лорана. 12. Операции с рядами. Дискретность нулей голоморфной функции и теорема единственности. Классификация особых точек голоморфной функции. 13. Конформные отображения. Теоремы Вейерштрасса (без док.). 14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Теорема единственности для степенных рядов. Область голоморфности и область сходимости. Аппроксимация Паде на комплексной плоскости. 15. Сходимость степенных рядов на комплексной плоскости. Регулярные и голоморфные функции. Теорема Абеля. Формула Коши-Адамара (без док.) 16. Теорема о среднем для гармонических функций. Необходимое интегральное условие продолжимости голоморфной функции с контура на область и его недостаточность. 17. Теорема Коши об интегральном представлении голоморфной функции в односвязных и неодносвязных областях. РА ЗД Е Л 1 1 Визуализация аналитических вычислений – 10 часов 1. Знакомство с системой MATLAB. Демонстрация ее возможностей: графика, быстрое создание стандартного интерфейса, быстродействие. 2. Программирование на M-языке: задание функций, циклы, условные операторы, файловый ввод и вывод. Использование отладчика. 3. Создание пользовательского интерфейса при помощи функций-конструкторов. 4. Обращение к созданным элементам интерфейса. Callback-функции. 5. Облегченное проектирование пользовательского интерфейса. Создание стандартных диалогов. Утилита guide. 6. Построение графиков одной и двух переменных. Графики функций, заданных на комплексной плоскости и имеющих комплексные значения. Построение векторных полей и силовых линий поля. 7. Элементы анимации в MATLAB. Построение графика, изменяющегося во времени. Создание фильмов для визуализации нестационарных процессов. 8. Символьные вычисления: преобразование выражений, дифференцирование, интегрирование, решение алгебраических и дифференциальных уравнений. Дифференциальные и разностные уравнения и вариационное исчисление - 105 РА ЗД Е Л 1 Основные обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения и системы –50 часов Тема 1. Простейшие дифференциальные уравнения и метод разделения переменных – 7 часов Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, движение материальной точки по потоку ветра или течения, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка. Примеры. Теорема о производной обратной функции. Метод разделения переменных для решения уравнений dy dy f ( y ) g ( x) . Примеры. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати – пример уравнения, f ( y) , dx dx не интегрируемого в квадратурах. Истечение воды из воронки переменного сечения. Вывод уравнения и его решение. Ограничения модели. Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты завершения процесса. Интегрирование системы. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. 9 Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера. Тема 2. Существование и единственность решений ОДУ «в малом» и «в большом» – 2 час Сведение дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерра. Сжимающее отображение в пространстве функций. Примеры решения дифференциального уравнения итерационным методом Пикара – Линделефа. Теорема Пеано существования решения задачи Коши «в малом» (без док.). Теорема существования и единственности, если правая часть Липшиц-непрерывна «в малом» (без док.). Пример несуществования решения «в большом». Пример неединственности решения задачи Коши при нелипшицевой правой части. Тема 3. Дифференциальные и разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Методы решения и фазовые портреты. Понятие устойчивости. – 6 часов Приведение линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Общее решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных. Сведение уравнения с постоянными коэффициентами к системе. Всегда ли возможно обратное? Характеристический многочлен. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения и системы. Пространство решений линейного конечно-разностного уравнения n-го порядка n-мерно. Общее решение для уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Пример нелинейного конечно-разностного уравнения. Матрица Лесли и предельное распределение популяции по возрастам. Устойчивость положения равновесия при t для систем с постоянными коэффициентами. Модели войны армий и орд. Условие неединственности стационарной точки. Существование и отсутствие первого интеграла. Сепаратриса. Показание измерительного прибора с учетом его инерции. Динамика показаний инерционного прибора при синусоидальном воздействии. Неоднородные дифференциальные уравнения. Многочлен, экспонента, синус и гиперсинус в правой части. Квазимногочлены. Возможность резонанса. Жорданова клетка в правой части системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения типа Эйлера. Тема 4. Линейные уравнения с переменными коэффициентами – 12 часов Фундаментальная система решений линейного дифференциального уравнения или системы. Матрица Вронского и вронскиан. Теорема Лиувилля. Метод вариации постоянных для решения линейных неоднородных систем и равнений. Фазовый объем и локальный фазовый объем. Его изменение со временем. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля. Уравнения в вариациях. Метод пристрелки для решения краевой задачи. Гамильтоновы системы уравнений. Их стационарные точки. Уравнения с периодическими коэффициентами. Теория Флоке. Уравнения с регулярной особой точкой. Теорема Фробениуса (без док.). Уравнение Бесселя. Задача Дирихле для уравнения Лапласа на круге и на кольце. Аппроксимация Паде. Ее преимущества по сравнению с разложением Тейлора. Тема 5. Фазовые портреты и первые интегралы. Устойчивость по Ляпунову для нелинейных систем – 11 часов Пружинный маятник. Физический маятник без трения. Фазовые портреты. Первый интеграл. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки. Колебательный и вращательный режимы. Автономные нелинейные уравнения второго порядка «без трения». Первый интеграл и фазовый портрет. Возможные типы стационарных точек первого интеграла. Маятник с трением. Убывание интеграла энергии. Фазовый портрет. Неустойчивость и асимптотиче10 ская устойчивость стационарной точки. Пружинный маятник с трением о стол. Множество стационарных точек и их устойчивость. Понятие аттрактора. Маятник с трением и форсингом. Фазовый портрет. Предельный цикл. Сечение Пуанкаре для проверки устойчивости предельных циклов. Зависимость амплитуды решения от частоты гармонического форсинга. Связь коэффициента трения и ширины резонансной кривой. Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова. Модель Лотки – Вольтера. Стационарные точки и исследование их устойчивости. Первый интеграл системы (два способа построения). Сравнение теории с экспериментальными данными. Ограничения модели. Задача о динамике двух видов, конкурирующих за общий ресурс. Теория Ляпунова – исследование устойчивости стационарных точек нелинейных систем (без док.). Примеры, когда спектральный метод бессилен. Метод функции Ляпунова. Секториальная скорость и второй закон Кеплера. Первый и третий законы Кеплера (без док). Сохранение импульса и момента импульса. Теория сингулярных возмущений Тема 6. Разностные методы решения ОДУ – 5 часа Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Тема 7. Задача Штурма – Лиувилля, собственные функции и ряды Фурье – 7 часов Постановка задачи. Приведение к простейшему виду. Основные свойства собственных функций. Функция Грина краевой задачи. Ее построение по фундаментальной системе однородного уравнения. Ряды Фурье. Ортогональность базиса в пространстве функций. Ортогональные функции, ограниченные на дискретную сетку. Основные свойства ряда Фурье. Теорема Дирихле. Явление Уилбрахама – Гиббса. РА ЗД Е Л 2 Интегральные преобразования и обобщенные функции – 15 часов Тема 1. Преобразование Фурье – 5 часа Преобразование Фурье: определение и его простейшие свойства. Унитарность ПФ. ПФ и дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение, ограниченное на бесконечности. ПФ и разностное уравнение. Произведение и свертка. Убывание на бесконечности и гладкость образа ПФ. Тема 2. Обобщенные функции – 5 часа Функционалы в пространстве функций; непрерывность и линейность. Обобщенные функции типа функции. Топология в пространстве функций и в пространстве обобщенных функций. Неметризуемость пространства. Дельта-функция Дирака. Производные обобщенных функций. Фундаментальное решение, определение и примеры. Тема 3. Преобразование Лапласа – 5 часа Оригиналы и изображения. Примеры преобразований. Периодические оригиналы. Преобразование Лапласа и задача Коши для уравнения с постоянными коэффициентами. Формула свертки. Гаммафункция и преобразование Лапласа. Обращение преобразования Лапласа и вычеты. РА ЗД Е Л 3 Уравнения в частных производных – 20 часов 11 1. 2. 3. 4. 5. 6. Примеры уравнений в частных производных и явления, которые они описывают. Вывод уравнения переноса и уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия. Существование и единственность решения, непрерывная зависимость от входных данных. Различные нормы в пространствах функций и связь между ними. Теорема Коши-Ковалевской. Задача Неймана для уравнения Лапласа на полуплоскости. Условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа в ограниченной области. Пример Адамара некорректности задачи Коши. Формула Д’Аламбера для одномерного волнового уравнения. Решение для линейного уравнения переноса с постоянным коэффициентом. Количество граничных условий на границе области в зависимости от знака скорости. Оператор Лапласа на сферически симметричных функциях – классический и обобщенный варианты. Сферически симметричное фундаментальное решение для оператора Лапласа при n 2, n 2. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Гиперболическая система с одним пространственным переменным. Приведение к диагональному виду. Количество граничных условий для задачи на луче x>0. Аппроксимации оператора Лапласа на сетках. Порядок аппроксимации. Задача о случайном блуждании на сетке со штрафом на границе и задача Дирихле для уравнения Лапласа. Примеры физических задач, сводящихся к краевой задаче для уравнений Лапласа и Пуассона. Условия единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема Тихонова. Уравнение переноса (линейное с постоянным и переменным коэффициентом и нелинейное) и движение частиц. Уравнения характеристик. Градиентная катастрофа. Законы сохранения для нелинейного уравнения переноса. Условия Гюгонио - Ренкина. Малая вязкость и регуляризация. Уравнение Бюргерса и замена Коула-Хопфа (Форсайта – Флорина). Примеры вычисления преобразования Фурье. Аналитические свойства образов интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Меллина) при условиях на убывание (рост) прообраза на бесконечности и в нуле. Интеграл Пуассона для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Функция Грина для задачи во всем пространстве. Гладкость решения. Преобразование Лапласа и его простейшие свойства. Примеры изображений для оригиналов и обобщенных функций. Косинус- и синус-преобразования Фурье. Задача на луче. Многомерное преобразование Фурье, если функция зависит только от радиуса – преобразование Фурье-Бесселя. Простейшие свойства функций Бесселя и гамма-функции. Уравнение Блэка-Шоулза и его сведение к постоянным коэффициентам. Уравнения, корректные по Петровскому, и задача Коши для них. Смешанная краевая задача для уравнений теплопроводности и струны на отрезке. Условия Дирихле, Неймана и третьего рода. Поведение решения при t . Смешанная краевая задача для уравнений теплопроводности и волнового на прямоугольнике. Смешанная краевая задача для уравнений теплопроводности и волнового на круге и кольце. Задача Дирихле для уравнения Лапласа на полуплоскости. Символ линейного дифференциального оператора. Классификация линейных уравнений второго порядка: эллиптические, гиперболические, параболические. Примеры. Теорема Хермандера (без док.). Фундаментальное решение для степеней оператора Лапласа. Вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина – 18 часов РА ЗД Е Л 4 1. Эмпирические ортогональные функции. Метод их построения. Интерпретация и использование первых и последних собственных векторов. 2. Решение классических задач математического программирования методом Лагранжа. 3. Необходимые и достаточные признаки локального экстремума. Схема их вывода. 4. Условие Якоби, пример существенности его выполнения для справедливости необходимого признака локального максимума. 5. Задача о наилучшем чебышёвском приближении многочленами и рациональными функциями на отрезке. Идеи минимакса и альтернанса. Теорема Чебышёва. 6. 12 Многочлены Чебышёва, как решения задачи о наилучшем приближении. 7. Принцип максимума Понтрягина. Примеры задач. Допустимые решения и управления. Возможные целевые функции. Присоединенные переменные и гамильтониан. 8. Принцип максимума Понтрягина. Варианты концевого условия. Условия трансверсальности. Задача с неопределенным моментом окончания процесса. Примеры. 9. Метод множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума. Примеры. 10. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, как решения задачи на условный экстремум, и их основные свойства. 11. Теоремы Штурма. 12. Вторая вариация. Положительная определенность. Слабое и сильное условия Лежандра. Уравнение Риккати. 13. Пробел в доказательстве Лежандра. Вывод уравнения Якоби. Сопряженные точки. Условие Вейерштрасса. Пример задачи, когда сопряженных точек нет, а условие Вейерштрасса не выполнено. 14. Риманова метрика на многообразиях. Примеры. Теорема Эйлера о производных однородных функций. Уравнение Эйлера для функционала, зависящего от кривых на многообразии. Геодезические. 15. Прямые методы вариационного исчисления. Примеры. Метод градиентного спуска минимизации функционала. Выбор шага. 16. Примеры норм в функциональных пространствах. Непрерывные и гладкие функционалы. Определения, примеры и контрпримеры. Первая вариация. Ее равенство нулю – необходимое, но не достаточное условие экстремума. Вывод уравнения Эйлера для простейшей задачи вариационного исчисления. Возможные несуществование и неединственность локального минимума. Негладкие экстремали. Примеры. 17. Вывод уравнения Эйлера для функционала, зависящего от старших производных. Вывод системы уравнений Эйлера для функционала, зависящего от нескольких функций. Вывод уравнений Эйлера для случая функций нескольких независимых переменных. 18. Условия трансверсальности для вариационных задач. Преломление света на границе раздела двух сред. Задача Больца. 19. Принцип наименьшего действия и законы Ньютона. Примеры задач с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Интеграл Фейнмана по траекториям. 20. Классические задачи на минимум интегрального функционала (брахистохрона, принцип Ферма и рефракция, цепная линия, катеноид). Условия на решение. Задача вариационного согласования информации о функции и ее производной. 21. Интерполяционные кубические сплайны как решения вариационной задачи. 22. Теорема Куранта. Оценки собственных чисел. Асимптотика собственных чисел при больших номерах. 23. Условный экстремум для задач с дифференциальными связями. Обобщенный метод множителей Лагранжа. 24. Вариационные задачи, в которых интегранд не зависит от части аргументов. Примеры. 25. Задача о малом изгибе круглого упругого стержня при различных граничных условиях. Решение задачи о малых колебаниях этого стержня на основе принципа наименьшего действия. 13 РА ЗД Е Л 5 Численные методы – 20 часов Тема 1. Численные методы линейной алгебры – 4 часа Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Прогонка, как частный случай метода Гаусса. Метод наименьших квадратов. Метод квадратного корня для решения симметричных положительно определенных систем. Обусловленность матриц и погрешность решения систем. Тема 2. Интерполяция и аппроксимация функций – 5 часов Интерполяционный многочлен. Формулы Лагранжа и Ньютона. Устойчивость интерполяции к шумам во входных данных, константа Лебега. Оценки константы Лебега для большого числа узлов интерпо2 ляции. Сплайн-интерполяция, ее алгоритм и свойства. Аппроксимация в метрике L . Равномерная аппроксимация многочленами и рациональными функциями. Теорема об альтернансе. Чебышёвские многочлены. Тема 3. Оценка производных по данным на сетке и решение краевых задач – 5 часов Оценка производной первого и высших порядков по данным на сетке. Компактные схемы. Обобщение на случай нескольких переменных. Компактные схемы, аппроксимирующие задачу Штурма – Лиувилля с 4м порядком. Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Быстрое дискретное преобразование Фурье. Тема 4. Итерационные методы решения краевых задач. – 4 часа Метод Либмана – Зейделя. Оценка параметра релаксации. Переменный параметр. Изменение направления обхода. Вложенные сетки. Тема 5. Метод Ньютона нахождения корней функции – 2 часа Методы Герона и Ньютона. Стационарные точки и периодические точки. Примеры. Бассейны притяжения. Оценка радиуса притяжения. Фракталы. Метод Ньютона – Рафсона. Теория вероятностей – 25 часов Примеры вероятностных и статистических задач. Гистограмма. Пространство элементарных событий и математическое ожидание. Комбинаторные методы оценки вероятностей. Производящие функции. Датчики случайных чисел. Рандомизация. Случайные блуждания. Предельные теоремы. Коэффициент ковариации как скалярное произведение случайных величин. Корреляция случайных величин. Зависимость и корреляция. Корреляционные матрицы и регрессионный анализ. Метод главных компонент (эмпирические ортогональные вектора или функции). Случайные процессы и поля. Байесовский подход. Стохастичность и неопределенность в динамических системах. Игры с постоянной суммой и конечно-разностные уравнения. Марковские цепи. Соответствующие разностные уравнения. Системный анализ и оптимизация – 35 часов (Ф.Т.Алескеров) РА ЗД Е Л 1 Конечномерная оптимизация – 15 часов Тема 1. Линейное программирование – 6 часов Тема 2. Системы нелинейных уравнений и неравенств; теорема Куна - Таккера – 6 часов Тема 3. Методы типа градиентного спуска – 3 часа РА ЗД Е Л 2 Принятие решений и управление – 20 часов Программирование – 24 часа (С.О.Кузнецов) 14 Литература Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: «Наука», 1989. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. – М.: «Инфра-М», 2002. Сидоров В.Ю., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного М. Наука, 1989. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: «Наука», любое изд., начиная с 1975 г. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1970 г. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1969 г. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. - М.: «Финансы и статистика», 2003. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, тт. 1-2. – М.: М.: «Высшая школа», 1981. Зорич В.А. Математический анализ, ч 1. – М.: «Наука», любое изд., начиная с 1981 г. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, УРСС, 2004. В.А.Гордин. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? - Рукопись, выложенная в общий доступ. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М., Физматлит, 1970; Изд. МГУ, 1984. Оболенский А. Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. - М.; Ижевск, 2006. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976; Спб. «Лань», 2003. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. - М.: «Наука», 1984. В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1 - М.: «Мир», 1964. Ширяев А.Н. Вероятность-1. - М.: МЦНМО, 2004. Ширяев А.Н. Вероятность-2. - М.: МЦНМО, 2004. Гордин В.А. «Как это посчитать?». - М.: МЦНМО, 2005. Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики». - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. Гуссейн-Заде С.М. «Разборчивая невеста». - МЦНМО, 2003. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. - М.: «Наука», 1985. Дьяконов В. П. MATLAB 7. */R2006/R2007 / Самоучитель. - М.: ДМК-пресс, 2008. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг. MATLAB в математических исследованиях. - М.: «Мир», 2001. 15
