Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Кафедра Физического материаловедения Форма Ф - Лабораторная работа Лабораторная работа №2 Изучение флуктуаций радиоактивного распада. Цель работы: знакомство с ролью статистического подхода к изучению процессов ядерных превращений, освоение методов математической статистики при обработке результатов ядерно-физического эксперимента, исследование статистического распределения числа детектируемых частиц. Оборудование: источник β-излучения (таблетка KCl), β-радиометр РУБ-01П 1. Законы радиоактивного распада. Радиоактивным распадом называется самопроизвольное превращение нестабильных ядер в другие, сопровождаемое испусканием частиц. В случае α-распада испускаются ядра гелия. К β-распадам относятся случаи испускания ядром электронов (β --распад), позитронов (β +-распад) и захват ядром одного из электронов внутренних электронных оболочек атома (K-захват). Если дочернее ядро - продукт ядерного превращения – оказалось в возбуждённом состоянии, то наблюдается γ-излучение ядер. Отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга и от внешних условий, процесс распада является случайным. В силу этого опытного факта Резерфорд и Содди предложили теорию радиоактивного распада, согласно которой убыль числа нераспавшихся ядер за малый промежуток времени dt пропорциональна имеющемуся в данный момент времени числу активных ядер: dN Ndt , где λ - постоянная распада. Полагая число нераспавшихся ядер в начальный момент времени N(0) = N0 и интегрируя, получим закон изменения числа нераспавшихся ядер со временем N t N0 exp t . Число ядер, распавшихся за время t, равно: N N 0 N t N 0 1 exp t . Вероятность распада отдельно взятого радиоактивного ядра в течении времени t равна: P N / N0 1 exp t , dP / dt exp t . а плотность вероятности: Судить о факте распада ядра можно лишь путём регистрации испускаемых в процессе распада частиц. Практически никогда не удаётся зарегистрировать все акты распада и число зарегистрированных частиц обусловлено геометрическими условиями измерений, характеристиками источника, содержащего радиоактивные ядра, методом регистрации испускаемых частиц и параметрами детектора. Но при неизменности всех этих условий число зарегистрированных частиц пропорционально числу распадов и закон распределения числа срабатываний детектора (отсчётов) за фиксированный промежуток времени t совпадает с законом распределения распадов. Далее число отсчётов также будем обозначать N. Форма А Стр. 1 из 5 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Кафедра Физического материаловедения Форма Ф - Лабораторная работа 2. Распределения Пуассона и Гаусса. Для долгоживущих изотопов изменением числа нестабильных ядер за время проведения измерений можно пренебречь и ввиду дискретности спектра возможных значений N (числа отсчётов за фиксированный промежуток времени) вероятность зарегистрировать N отсчётов описывается распределением Пуассона: N PN N N! где N , exp N 1 m N i – среднее число отсчетов по серии из m измерений при m i 1 фиксированном времени экспозиции. Для случайной величины N, описываемой распределением Пуассона, дисперсия DN N , и стандартная (среднеквадратичная) погрешность D N . Если среднее число отсчётов достаточно велико N 1 , то распределение Пуассона может быть аппроксимировано очень удобным приближением – частным случаем нормального распределения (распределения Гаусса) квазинепрерывной случайной величины : 2 f y y , 1 exp 2 D 2 D где y N N характеризует отклонение зарегистрированного числа отсчётов N от среднего значения N . С использованием этого соотношения можно вычислить вероятность того, что случайная величина y заключена в интервале от y1 до y2 : 1 P y1 y y2 2 D Удобно произвести замену переменной y P y1 y y где Ф z Форма А 1 2 1 2 y2 y exp 2D dy , 1 y2 Dz , тогда: z2 z exp 2 1 z2 dz Ф z2 Ф z1 , z2 z exp 2 dz - табулированная функция Лапласа. 1 z2 Стр. 2 из 5 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Кафедра Физического материаловедения Форма Ф - Лабораторная работа Таким образом можно рассчитать теоретическое значение вероятности того, что квазинепрерывное случайное число N, распределённое по нормальному закону с матожиданием и дисперсией D, лежит в интервале от N j до NJ+1 : N j 1 N Nj N P N j N N j 1 Ф Ф D D . Для серии из m измерений ожидаемая исходя из нормального закона распределения частота njT попаданий результата измерения (числа отсчётов) в интервал ) составляет nTj P N J N N J 1 m , и может быть сопоставлена с экспериментально определённой частотой njЭ попаданий в тот же интервал значений N. Для нахождения последней весь диапазон экспериментально зарегистрированных величин Ni может быть разбит на l интервалов и определено число измерений, результаты которых принадлежат j-му интервалу (j=1,2, … ,l). Естественно, что l n j 1 Э j m. Наблюдаемое расхождение частот njT и njЭ для каждого из интервалов может носить случайный характер и быть обусловлено недостаточным объёмом выборки (m и l недостаточно велики), а может свидетельствовать о неприменимости нормального закона распределения для описания результатов измерений. Таким образом, встаёт вопрос о сравнении эмпирического распределения частот с известным теоретическим распределением – нормальным. 3. Анализ распределения частот с использованием – 2критерия. Выдвинем гипотезу, что наблюдаемые отклонения эмпирического распределения частот от нормального закона незначимы, то есть обусловлены недостаточной статистикой отсчётов. Разность (njT - njЭ) для каждого j-того интервала является, в свою очередь, случайной величиной и можно составить сумму l э2 j 1 n T j n Эj n 2 , T j характеризующую совокупное расхождение экспериментального и теоретического спектра частот. Форма А Стр. 3 из 5 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Кафедра Физического материаловедения Форма Ф - Лабораторная работа Как известно из курса математической статистики плотность распределения последней случайной величины асимптотически (при m → ∞) подчиняется χ2- распределению с числом степеней свободы k: dP 2 k k 1 k 2 2 Г 2 2 k k 1 2 k2 exp 2 2 d , где Г - гамма-функция. 2 k Число степеней свободы k определяется числом интервалов l, по которым распределены все m измерений числа отсчётов Ni. Поскольку полное число измерений фиксировано и проверяемое распределение частот содержит найденный из эксперимента параметр N D , то k=l-2. При практических расчетах обычно считают, что асимптотические свойства χ2 – распределения применимы тогда, когда ожидаемое число событий на один интервал (теоретическое значение частоты2 mjT ) больше пяти. Чем больше при заданном числе степеней свободы k окажется k , тем менее вероятным является обнаружение на опыте такого значения критерия. Значения k2 для различных величин вероятности P 2 x табулированы. 2 2 Сравнивая найденные из эксперимента значение Э с табличным k , можно сделать вывод о справедливости выдвинутой гипотезы. Если Э2 k2 при значении доверительной вероятности Px 2 , то делаем вывод о том, что наблюдаемые расхождения теоретического и экспериментального спектра частот незначимы с вероятностью Px 2 или значимы с уровнем значимости 1 Px 2 . При Px 2 = 90…95% гипотеза может быть принята с достаточно высокой степенью вероятности, то есть экспериментальные данные не противоречат нормальному закону распределения отсчетов и числа распадов ядер. Если последнее неравенство выполняется при малых значениях Px 2 = 5…10%, то выдвинутая нами гипотеза должна быть однозначно отвергнута. Иначе говоря, с уровнем значимости = 90…95% наблюдаемые расхождения теоретического и эмпирического спектра частот неслучайны. Причиной этого могут быть нарушения работы радиометрической аппаратуры, приводящие к генерированию ложных импульсов или просчетам истинных, нестабильность источников 2 питания и т.д. Поэтому основанная на применении критерия проверка значимости отклонения регистрируемых аппаратурой импульсов от нормального распределения используется для статистического контроля счетной аппаратуры. 4. Порядок проведения работы 1. Включить экспериментальную установку и подать на детектор рабочее напряжение (см. работу 1). 2. Разместить источник ионизирующего излучения на таком расстоянии от детектора, чтобы за 10 секунд пересчетное устройство регистрировало 200 … 300 импульсов. 3. Провести m = 150 … 200 измерений числа срабатываний детектора за Форма А Стр. 4 из 5 m 0,0561 0,0011 см2 / г Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Кафедра Физического материаловедения Форма Ф - Лабораторная работа фиксированное время 10 секунд. Измеренные значения Ni занести в таблицу 1 произвольной формы. Рассчитать и D. 4. Найти диапазон изменения числа срабатываний и разбить его на 8 … 10 интервалов так, чтобы в каждый интервал попало не менее 8 результатов. Интервалы у границ диапазона могут иметь различную ширину. 5. Подсчитать число попаданий результата измерений в каждый из интервалов, найти эмпирические и теоретические частоты и Э2 . Все результаты занести в таблицу 2. Таблица 2. Расчет эмпирического и теоретического спектра частот. Номер интерв. j 1. 2. 3. ……… l Сумма Границы интервала Nj , Nj+1 …………… Эмпирическая частота Теоретическая частота ………………. ……………… ………………. ……………. -- -- 6. На одном рисунке построить эмпирическую и теоретическую гистограммы частот. 7. Используя таблицу значений при числе степеней свободы k=l-2, найти максимальное значение доверительной вероятности Px 2 , при которой . При необходимости следует прибегнуть к линейной интерполяции между узловыми значениями таблицы. 8. Сформулировать аргументированные выводы по работе. 5. Контрольные вопросы Форма А Стр. 5 из 5