Для обычного школьника решение
advertisement
Автор Волков Никита, 10 класс Руководитель Парфенова Елена Витальевна. учитель математики Тема «Почему мы не пользуемся формулами Кардано?» Общеобразовательное учреждение МОУ СОШ №2 г. Колпашева Используемые медиаресурсы текстовый редактор WORD, редактор POWER POINT, ресурсы сети Интернет Цель проекта: Выяснить, годится ли формула для решения кубического уравнения для практического применения, а если нет, то почему? 1) Актуальностьтемы Для обычного школьника решение квадратного уравнения – знакомая процедура, идущая по знакомым правилам. Логичен вопрос: существует ли наряду с этим алгоритмом алгоритм вычисления корней кубического уравнения (многочлена третьей степени)? Вообще в школе решать кубические уравнения при помощи определенных формул не требуется, обычно мы решаем его при помощи подстановки случайных чисел или деления многочленов для упрощения и последующего решения квадратных уравнений. Считается, что интересующие нас формулы громоздки и неудобны для практических вычислений. Однако, решая задачи .сводящиеся к кубическим уравнениям, так и хочется применить соответствующую формулу, какой бы сложной она не оказалась. 2)Определение предмета исследования Ни для кого не секрет, что из себя представляет кубическое уравнение с научной точки зрения. Кубическое уравнение - алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ax3 + bx2 + cx + d = 0, (1) Для использования формул математики данное уравнение приводят к так называемому каноническому виду. Выглядит это следующим образом: Заменяя в этом уравнении x новым неизвестным y, связанным с x равенством x = y - (b / 3a), кубическое уравнение приводится к: y3 + py + q = 0, (2) где , , Несколько слов из истории формулы решения кубических уравнений Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла). Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате "О доказательствах задач алгебры и алмукабалы" Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593). Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи. Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именно Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы. За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике. Формула Кардано (3) 3)Формулировка проблемы Посмотрим на реальные факты – в школе формулу Кардано не проходят, в вычислениях ею не пользуются. Попробуем разобраться в причинах такой непопулярности . Итак, годится ли формула для решения кубического уравнения для практического применения , а если нет , то почему? 4) Выдвижение гипотезы Можно предположить ,что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени. 5) Проверка гипотезы Попробуем применить эту формулу к решению конкретных уравнений. Пример 1: x3 +6x – 2 = 0 Здесь p = 6; q = -2. Наша формула дает нам ответ в виде разности кубических корней 4 и 2. Подбор бы не помог решить это уравнение. В принципе в данном выражении формула сработала. Пример 2: x3 +3x – 4 = 0 + Формула даст громоздкий ответ с множеством корней. Просмотрев корни по таблице, увидим, что ответ близок к 1. По сути дела это и есть единица, однако формула такого рационального ответа не даст. Налицо первый её недостаток – множество корней, большая часть которых на практике просто не извлекается, оставляя ответ громоздким и неудобным для дальнейших вычислений. Пример 3. (x + 1)(x + 2)(x-3)=0 3 решения налицо. Но попробуем решить уравнение по формуле. Раскроем скобки, получим кубическое уравнение x3-7x-6=0 получаем под знаком корня отрицательное число. + Применив формулу , То есть уравнение, якобы, не имеет действительных решений. Но в каждой скобке мы ясно видим по решению. В данном случае формула просто проваливается. Эти и другие примеры наводят на мысль, что причина непопулярности формулы (3) лежит не только в её громоздкости (не такая она уж и громоздкая), а в её ненадежности. Такое заключение, в общем, справедливо. В чем же заключается странное поведение формулы? Выясним для начала, сколько решений имеет уравнение (2) ? Найдем промежутки возрастания и убывания функции у=x3+px+q. Дифференцируя, получаем: если 3x2+p>0, то функция возрастает, если 3x2+p<0 , то она убывает. Заметим, что если р > 0 ,то 3x2+p>0 при всех х, если р < 0, то 3х2+р>0 при х > и при х < ,и 3х2+р < 0 при <x< Поэтому , если р>0 , то функция у=х3+px+ q возрастает при всех х, если р <0, то функция возрастает при x< снова возрастает при х > ,убывает при <x< и .Видно , что при достаточно больших х выражение х3+px+q заведомо положительно, а при достаточно большом по модулю отрицательном х оно заведомо отрицательно Теперь можно схематически изобразить график интересующей нас функции. y y p0 p0 p / 3x x p/3 p / 3x x p/3 y p0 x Из графиков видно , что уравнение имеет одно решение, если р >0. Или если р<0 и значения функции в точках имеют одинаковые знаки. , Если же р<0 и значения функции в этих точка имеют противоположные знаки, то уравнение имеет три решения .Для того ,чтобы узнать одинаковые или противоположные знаки имеют значения функции в точках , можно вычислить эти значения и перемножить их. Если произведение положительно, то знаки множителей одинаковы. А если оно отрицательно. то они разные. (( р )3+р(- 3 +р - +q)x(- р/3 = =q2+4/27р3. Вывод: если q2+4/27>0, то уравнение (2) имеет одно решение, если q2+4|27р3<0,то уравнение (2) имеет 3 решения. Однако, если коэффициенты кубического уравнения - действительные числа, то вопрос о характере его корней зависит от знака выражения стоящего под квадратным корнем в формуле Кардано. Если кубическое уравнение имеет три различных корня: > 0, то один действительный, два других - сопряженные комплексные; если все три корня действительные, два из них равны; если , из них = 0, то < 0, то все три корня действительные и различные. 6)Объяснение результатов Отсюда интересное следствие: выражение только постоянным множителем отличается от выражения q2+4/27р3. А из этого следует то, что когда уравнение имеет три решения, подкоренное выражение в формуле отрицательно, формула не дает ничего! (пример 3). Если уравнение имеет всего одно решение, формула его и дает (пример 1).Итак , дело вовсе не в громоздкости формулы, а в ее неприспособленности для практического решения кубических уравнений Тогда зачем же она нужна? Формула (3) дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах». Это означает, что для решения уравнений третьей степени с целыми коэффициентами вполне хватает запаса рациональных чисел, расширенного корнями разных степеней. С научной точки зрения это – важный аргумент в доказательстве более сложных законов алгебры и геометрии. 7) Подготовка к презентации Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word. Итоговый материал представлен в виде презентации , выполненной в редакторе Power Point. Список литературы: Журналы «Квант» (1974, №1; 1976,№9) Электронный ресурс «Решение кубических уравнений»: www.cubicsolver.info Электронная энциклопедия «Википедия»: http://wikipedia.org
