Кружок по математике, 218 школа, 10 класс
advertisement
Кружок по математике, 218 школа, 8 класс 15 ноября 2003 г. Принцип крайнего. Кружок по математике, 218 школа, 8 класс 15 ноября 2003 г. Принцип крайнего. 1. По прерии гуляют 2003 ковбоя. Однажды, когда все попарные расстояния между ними были различны, каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы один ковбой выживет. 1. По прерии гуляют 2003 ковбоя. Однажды, когда все попарные расстояния между ними были различны, каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы один ковбой выживет. 2. Из точки. лежащей внутри выпуклого многоугольника опустили перпендикуляры на стороны или на их продолжения. Докажите, что хотябы одно основание перпендикуляра попало на сторону. 2. Из точки. лежащей внутри выпуклого многоугольника опустили перпендикуляры на стороны или на их продолжения. Докажите, что хотябы одно основание перпендикуляра попало на сторону. 3. На шахматной доске расставили положительные числа так, что каждое равно среднему арифметичеcкому двух каких-то своих соседей (соседними считаются клетки, имеющие общую боковую сторону). Докажите, что все числа равны. 3. На шахматной доске расставили положительные числа так, что каждое равно среднему арифметичеcкому двух каких-то своих соседей (соседними считаются клетки, имеющие общую боковую сторону). Докажите, что все числа равны. 4. Петя написал на доске 6 произвольных чисел. Докажите, что можно выбрать 2 из них, разность которых делится на 5. 4. Петя написал на доске 6 произвольных чисел. Докажите, что можно выбрать 2 из них, разность которых делится на 5. 5. Докажите, что в любой компании из пяти человек найдется двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании. 5. Докажите, что в любой компании из пяти человек найдется двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании. 6. На осенних каникулах костромичи проводят “Открытый Турнир Матбоев” в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число боев. 6. На осенних каникулах костромичи проводят “Открытый Турнир Матбоев” в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число боев. 7. На шахматной доске 8*8 отметили центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой из них лежало не более одной отмеченной точки? 7. На шахматной доске 8*8 отметили центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
