Чекалина В.А.

Новый подход к решению уравнения Кристоффеля
в задачах объёмной кристаллоакустики
Чекалина Виктория Александровна
Студент
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
физический факультет, Москва, Россия.
e-mail: [email protected]
Трушин Арсений Сергеевич
Ассистент
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
физический факультет, Москва, Россия.
e-mail: [email protected]
Акустооптика - это раздел физики, изучающий взаимодействие проходящего через
кристалл пучка света с акустическим звуковым столбом. В настоящее время одним из
самых распространённых способов возбуждения ультразвука в объеме кристалла
является использование пьезопреобразователя, находящегося на одной из поверхностей
акустооптического кристалла. Дифракция света происходит на локальных изменениях
плотности, вызванных сжатием - растяжением тела. В первую очередь влияние на
проходящий луч определяется компонентами тензора деформации, возникающей при
распространении акустической волны в среде. Пространственное распределение
акустической энергии в кристалле оказывает сильное влияние на характеристики
акустооптических устройств, поэтому проблема расчёта параметров акустической волны
представляет научный и практический интерес. Например, при изготовлении таких
устройств обработки информации, как модуляторов, дефлекторов и фильтров [1]. На
пространственное распределение акустической энергии влияют процессы возбуждения
звуковых волн, их распространения в кристаллической среде и отражения от границ
кристалла. Поэтому решение подобных задач является актуальной проблемой
акустооптики.
Расчет основных параметров упругих волн обычно производится с помощью
уравнения Кристоффеля. Традиционным является подход, в котором
задаётся вектор




волновой нормали n , затем для пробного решения U  A  q  exp{i(kx  t )} находится
матрица Кристоффеля. Для этой матрицы составляется характеристическое уравнение

относительно переменной, зависящей от скорости: det(ij   2  ij)  0 , где ik  C ijkl  n j nk тензор Кристоффеля. Решения этого уравнения позволяют найти скорости трёх волн с
различными поляризациями, распространяющихся в данном направлении [2,4]. Однако
можно использовать и другой подход. В методе, предложенном Дж. Фарнеллом [3],



пробное решение ищется в виде u  A  q  exp{i(s x  t )} . Учитывая, что вектор медленности
 
определяется выражением S  n  (1 /  ), характеристическое уравнение приводится к виду
det(C ijkl S j S l   ik  )  0 и рассматривается как уравнение 6-ой степени относительно
третьей проекции вектора медленности. В настоящее время разработаны эффективные
алгоритмы нахождения корней многочлена, что обеспечивает высокую скорость и
точность данной методики расчёта. Кроме того, используемый подход позволяет
рассчитывать характеристики неоднородных волн, что принципиально важно при
исчерпывающем анализе отражения волн от границы кристалла.
В данной работе проводится сравнение результатов, полученных при использовании
выше указанных методов анализа, и сравнение эффективности этих двух подходов. Для
указанных целей была реализована программа на языке С++. Полученные численные
данные были визуализированы в виде двумерных и трёхмерных графиков. Показано, что
результаты расчётов, выполненных по двум методикам, совпадают, при этом графики
для медленности в исследуемом материале (парателлурите) соответствуют известным
данным [4]. В заключение следует отметить, что предлагаемый новый метод расчёта
оказывается более простым и охватывает более широкий спектр задач
кристаллоакустики.
1.
2.
3.
4.
Литература
Балакший В. И., Парыгин В. Н., Чирков Л. Е. Физические основы акустооптики.
М.: Радио и связь.1985.
Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твёрдых телах. М.: Наука. 1982.
Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн // в кн.: Физическая акустика
/ Под ред. Мэзона У. и Терстона Р., пер. с англ. т. 6. М.:Мир. 1973.
Auld B.A. Acoustic Fields and Waves in Solids. v. 1. N. Y.: Wiley. 1990.