Парабола лекция

ГОУ ВПО МГПУ
Курс
«Современные проблемы науки и образования»
Лектор
Семенов П.В. , заведующий лабораторией современных
методов математического образования, профессор кафедры
математического анализа и методики его преподавания
МГПУ, доктор физико-математических наук
Тема
«Парабола»
Работа выполнена
Бирюковой М.А. (5ФМ)
Москва 2009
ПАРАБОЛА
Парабола – одна из наиболее известных кривых второго порядка. Из
школьного курса известно, что графиком функции y  ax 2  bx  c , где a  0 ,
является парабола.
График
квадратичной
парабола.
Этот
график
функции
y=x2
–
проходит через
начало координат и расположен в первой и
второй
координатных
четвертях.
Он
симметричен относительно оси Оу.
График
функции
y=a(x-m)2+n
является
параболой, которую можно получить из
графика функции
y=ax2 с помощью двух
параллельных переносов: сдвига вдоль оси x
на m единиц вправо, если m>0, или на –m
единиц влево, если m<o, и сдвига вдоль оси у
на n единиц вверх, если n>0, или на –n
единиц вниз, если n<0.
Существуют
многочисленные свойства параболы. Соберем их в одну
теорему.
ТЕОРЕМА.
Следующие способы задания параболы эквивалентны между собой:
1. Множество всех точек плоскости, координаты которых в некоторой
2
системе координат удовлетворяют равенству y  2 px .
2. Геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной
прямой (директрисы) и фиксированной точки (фокуса).
3. Сечение конуса плоскостью, параллельной образующей.
2
4. Неограниченная связная прямая второго порядка, не содержащая
прямолинейных отрезков.
5. Кривая второго порядка, для которой инварианты δ=0 и ∆=0.
6. Кривая, у которой подкасательная в 2 раза больше абсциссы точки
касания.
7. Кривая с постоянной поднормалью.
8. Кривая, обладающая фокальным свойством относительно своей оси
симметрии. (Пучок света, параллельный оси симметрии, после
отражения относительно кривой, фокусируется в одной точке.)
Комментарии к свойствам параболы, сформулированным в теореме:
Комментарий к свойству 1.
В прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и
осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так
называемый канонический вид y 2  2 px , где р (фокальный параметр) –
расстояние от фокуса до директрисы.
Комментарий к свойству 2.
Множество
точек
М(xy)
плоскости,
расстояние
FM
которых до определенной точки F
этой плоскости (фокуса параболы)
равно
расстоянию
MN
до
определенной прямой АN –
директрисы параболы.
Комментарий к свойству 3.
3
Лекция ПараболаКомментарий к свойству 7.
Подкасательная и поднормаль –
отрезки QT и QN, являющиеся
проекциями на ось Ox отрезков
касательной МТ и нормали MN к
некоторой кривой в её точке М.
Комментарий к свойству 8.
Парабола обладает оптическим свойством:
все лучи, исходящие из источника света,
находящегося в фокусе параболы, после
отражения
оказываются
направленными
параллельно её оси. Это свойство параболы
используется
прожекторов,
при
изготовлении
автомобильных
фар,
карманных фонариков, зеркала которых
имеют вид параболоидов вращения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ.
Приведенные выше 8 определений параболы эквивалентны между собой. Для
доказательства теоремы следует вывести из одного из них из другого.
4
Выведем 1) из 2):
Введем систему координат так, чтобы фиксированная прямая l стала осью
ординат. (Ось абсцисс – ось симметрии параболы.)
т.Т равноудалена от l и от т.A
МВ=МА
MB  x
МА  ( x  a ) 2  y 2
x 2  x 2  2 xa  a 2  y 2
откуда
a
y 2  2a ( x  ) ,
2
a
2
где X  x  , Y 2  2aX
(это первое из приведенных
определений), где Y=0 и X=0
(новое начало координат).
Т.е.
x
a
a
a
 0 , x  , сл. ось подвинулась вправо на .
2
2
2
Выведем 2) из 1):
Все в обратном порядке.
5
Выведем 5) из 1):
Прямой подсчет по определителям.
Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0 , где A=0, B=0, E=0, F=0.
B
D
0
0
D
 B C
E
 0
C
0 0
D E
F
D
0
0
A

A B
B C

0
0
0 C
0
Выведем 1) из 5):
Следствие общей теоремы о классификации кривых второго порядка.
Выведем 4) из 1):
Очевидно.
Графиком функции
y 2  2 px
является линия
второго порядка (см. уравнение),
которая
связна(нет точек разрыва), неограниченна (см.
область определения и область значений), не
содержит прямолинейных отрезков.
Выведем 1) из 4):
Используем классификацию всех кривых второго порядка:
Эллипс - ограниченная кривая линия;
Гипербола – несвязная линия;
Пара параллельных прямых – несвязная линия;
Пара пересекающихся прямых содержит прямолинейные отрезки;
6
Т.е. методом исключения (перебрав все типы кривых второго порядка)
пришли к заключению, что такими свойствами обладает только парабола.
Выведем 1) из 3)(через 4)):
Конус – поверхность второго порядка. Задаётся уравнением 2-й степени от
трех переменных. При пересечении плоскостью получаем кривую второго
порядка.
 Ax2  By 2  Cz 2  0

 Ax  By  Cz  D  0
(1)
(2)
Из (2) выражаем z через x и y, подставляем в (1) и получаем уравнение
второго порядка, сл. сечение – кривая второго порядка. Эта кривая
неограниченная, связная, не содержит прямолинейных отрезков. Т.е. это
парабола (смотри выше вывод 4) из 1)).
6) и 7) определения связаны с касательными, а следовательно с
производными.
Выведем 6) из 1):
- по геометрическому
tg  y
смыслу производной

y

tg  подкас. - из ∆STQ
Откуда подкас. 
y

y
2 px


2 px
2 px
2p 
1
 2x
2 x
7
Выведем 1) из 6):
Дано: подкас.  2x ,
y
 2x .
y
Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
y 
1 y

2 x
dy 1 y
 
dx 2 x
Разделяем переменные и интегрируем:
dy 1 dx
 
y
2 x
2
ln y  ln x  2C ,

где
dy
1 dx

y
2 x
ln y 
1
ln x  C
2
2 ln y  ln x  2C
величина, которую опять можно
2С-постоянная
обозначить С.
Т.к. мы рассматриваем угол I четверти x>0, y>0.
ln y 2  ln x  C  ln x  ln c  ln cx
y 2  Cx
На основе 6-го способа определения параболы предложен способ построения
касательной к параболе с помощью циркуля и линейки.
1) Отмечаем на параболе точку А, которую определяем как точку касания.
2) Спроектируем т.А на ось симметрии параболы. Получим т.Н.
3) Продляем ось симметрии параболы за вершину и откладываем на
продолжении оси от вершины отрезок, равный отрезку от основания
перпендикуляра Н до вершины О (отрезок ОВ).
4) Проводим касательную АВ.
8
Выведем 8) из 1):
F( p ;0)
2
Известно, что расстояние между директрисой и фокусом равно
p
.
2
Требуется доказать, что    . Вместо этого докажем, что NF=MF.
NF  x 
p
2
p

NF 2   x  
2

2
из ∆ MFx: MF2=Mx2+Fx2
2
MF
2
p
p


 x    2 px   x  
2
2


2
p

  x    y 2 , где y 2  2 px
2

2
px  px . Следовательно NF=MF и    .
Выведем 1) из 8):
Это несколько сложнее, чем 8) из 1), т.к. там уже была прямая.
Т.к. угол падения  равен углу
отражения, то NF=MF
(∆NMF–равнобедренный)
NF  Nx  Fx 
9
y
 x  MF  x 2  y 2
y
y
 x  x2  y2
y
y 
y
x
x2  y2
Получили однородное дифференциальное уравнение, т.е. уравнение вида
 y
y   f   . (Можно одновременно умножить y и x на const и правая часть
x
равенства не изменится.)
y
x
y 
 y
1  1   
x
Пусть
2
y
 z , тогда y  zx .
x
y   z x  z 
dz
x
dx
z
1 1 z2


1
z 
 1
2
1 1 z

Разделим переменные:
1 1 z2
 z 1 z

dz
z 1 z2


dz 
2
dx
x
 ln z  ln x  C
dz
z 1 z2
 ln xz  C
dz
z 1 z2
 ln y  C
Полученное уравнение решается сложно. В результате получаем y 2  2 pX ,
где X= х-С (X-смещенный).
10