Гиперболические функции

Гиперболические функции
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно
связанных с тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum»,
том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств
гиперболических функций было проведено Ламбертом.
Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в
обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в
Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной
литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh,cosh.
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые
интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто
выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:
(в англоязычной литературе обозначается sinh(x))

гиперболический косинус:

гиперболический тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается tanh(x))

гиперболический котангенс:
,
Иногда также определяются

гиперболические секанс и косеканс:
,
.
В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке
появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее
распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к
названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:




— «ши́нус», «сихинус».
— «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чи́нус», «чихо́нус».
— «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
— «кочангенс», «кота́хинус».
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
Геометрическое определение
Ввиду соотношения ch²t-sh²t=1, гиперболические функции дают параметрическое
представление гиперболы x2 − y2 = 1 (x=cht, y=sht). При этом аргумент t = 2S, где S —
площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше
оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению
тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить
подобным образом.
Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого
аргумента.
.
.
sin (х) = Im(e)
cos(x) = Re(e), где e ix = cos (x) + i sin(x).
Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798—1852), связывает
тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных
чисел. Она определяется как
При этом
.
Имеют место также следующие тождества:
,
,
,
Важные тождества
1.
2. Чётность:
1.
2.
3.
3. Формулы сложения:
1.
2.
3.
4. Формулы двойного угла:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5. Формулы кратных углов:
,
6. Произведения
1.
2.
3.
4.
7. Суммы
1.
2.
3.
4.
8. Формулы понижения степени
9. Производные:
10. Интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
Неравенства
При всех
выполняется:
,
Разложение в степенные ряды
(Ряд Лорана)
Здесь B2n — числа Бернулли.
Обратные гиперболические функции
Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».
— обратный гиперболический синус, гиперболический
арксинус, ареасинус:
— обратный гиперболический косинус,
гиперболический арккосинус, ареакосинус.
— обратный гиперболический тангенс,
гиперболический арктангенс, ареатангенс.
— обратный гиперболический котангенс,
гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
— обратный гиперболический секанс,
гиперболический арксеканс, ареасеканс.
— обратный гиперболический косеканс,
гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими
функциями:
где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают
посредством знака минус первой степени: например,
пишут как
(причём
обозначает другую функцию —
), и т. д.