Математический анализ: Теория функции одной переменной. Содержание: §1. Понятие функции и ее свойства. ......................................................................... 1 п.1. Основные числовые множества. ..................................................................... 1 п.2. Понятие функции. ............................................................................................. 1 п.3. Свойства функции. ........................................................................................... 2 §1. Понятие функции и ее свойства. Содержание п.1. Основные числовые множества. Содержание Х, У,...- обозначение множеств. х, у,...-элементы множеств : Х,у У. N - множество натуральных чисел. Z -множество целых чисел. N подмножество Z: N Z . Q: m/n -множество рациональных чисел. I -множество иррациональных чисел. Q U I = R, R- множество действительных чисел. Геометрическое изображение R - это множество точек числовой прямой. [а,в] - отрезок : ав. ( а,в)- интервал : а в. а R , в R . Определение. Числовое множество вида : х а -а х а или х а -а х а ,где а R , а 0 или а= называется симметрическим множеством. Определение. - окрестностью точки а называется интервал вида: х-а , ( 0). п.2. Понятие функции. Содержание Определение. 1. Х и У - числовые множества. Если х Х по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число у У, то говорят, что на Х задана однозначная функция одной действительной переменной и обозначают : у= F(х). Здесь Х - область определения, У- область значений функции, х- аргумент, узначение функции в точке х. Если каждому значению х поставлено в соответствие несколько значений у, то функция - многозначная. ( Привести примеры). Способы задания функции: аналитический т.е. формулой, табличный т.е. для дискретного числа значений аргумента х известны значения функции. Определение 2. на Х задана F(Х). Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами М(х,F(х)). (Примеры графиков однозначных и многозначных функций). Определение 3. на Х задана z=(х) со значениями в Z , а на Z , а на Z задана у= F(х) со значениями в У, то у= F((х)) называется сложной функцией или композицией функций , определенной на Х со значениями в У. (Примеры сложных функций). Определение 4. на Х задана у= F(х) со значениями в У. Тогда для каждого у У найдется одно или несколько значений х Х, т.е. определена однозначная или многозначная функция х от у , которая называется обратной функцией и обозначается: х= F¯¹(у). У область определения, Х - область значений функции. Если для функции у=F(х) выполняется условие: х¹х²F(х ¹) F(х² ), то обратная функция однозначная. (Примеры обратных функций). Определение 5. х= (t) и у= (t) две функции определенные на Т. Если существует обратная функция, например, t= ¯¹ (х), то определена явная функция у от х : у= ( ¯¹ (х)), а выражение х= (t), у= (t), t T называется параметрическим заданием этой функции. (Примеры параметрически заданных функций). Определение 6. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента: у=F(n), n N. Обозначается последовательность: а1=F(1), а2=F(2), ... , аn=F(n), ... , аn - общий член последовательности. ( Примеры последовательностей и особенности графика последовательности). п.3. Свойства функции. Содержание Определение 1. на множестве Х определена у=F(х). Функция называется монотонно возрастающей на множестве Х (убывающей) , если для всех х¹ < х² F(х¹ ) < F(х² ) ( F(х¹ ) > F(х² )). (Привести пример). Определение 2. на симметрическом множестве Х определена функция у=f(х). Тогда ,если f (-х) = f(х) , то функция четная, если f(-х)=- f(х) , то функция нечетная. (Привести пример). Определение 3. на множестве Х определена у=f(х) со значениями на множестве У. Тогда ,если множество У есть отрезок или интервал, , то функция ограниченная, если У - луч или совпадает с R, то функция неограниченная или ограниченная только снизу (У есть (а, ))или ограничена только сверху ( У есть луч ( , а) ). (Привести примеры : показать картинки графиков функций ограниченных, ограниченных сверху или снизу и неограниченных функций). Определение 4. на Х задана f (х). Если существует такое число Т, х Т Х, что f (х Т) = f (х), то функция называется периодической , а Т -период функции. Наименьшее из чисел Т называется основным периодом. (Привести примеры). п.4. Гиперболические функции. 1) Гиперболический синус: у= sh х ,определяется по формуле sh х = ½ ( exp(х) - exp(-х)). (Построить график функции) 2) Гиперболический косинус: у= ch х, определяется по формуле ch х = ½ (exp(х) + exp(-х)). (Построить график функции). 3) Гиперболический тангенс: у= th х, определяется по формуле th х = (exp (х) - exp (-х)) / (exp (х) + exp (-х)). | th х | < 1. (Построить график). 4) Гиперболический котангенс: у= cth х, определяется по формуле cth х = ( exp (х) + exp (-х)) / (exp (х) - exp (-х)). | cth х | >1. ( Построить график). Доказать самостоятельно по определению следующие свойства гиперболических функций: sh² х + ch² х = ch 2х, ch²х - sh² = 1. Замечание. Простейшие функции : степенная , показательная, тригонометрические, гиперболические, Обратные им функции и сложные функции, являющиеся композицией перечисленных функций, будем называть элементарными действительной переменной. функциями одной