Профессиональный конкурс работников образования №1x

Профе ссиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ -КОНКУPС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2013/14 учебный год)
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средн яя
общеобразовательная школа №18 р.п. Лукино (606427 Нижегород ская
область, Балахнинский район, р.п. Лукино , ул. Победы, 18, МБОУ СОШ
№18 )
Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: среднее образование
Факультативное занятие по алгебре №1:
«Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами»
Выполнила: учитель математики Королева Екатерина Николаевна
2014 год
Уравнения содержащие параметр.
Урок 1: Линейные и квадратные уравнения с параметром.
Цели: Познакомить с понятием параметр. Дать определение уравнения с
параметром, области определения уравнения с параметром, решения
уравнения с параметром. Формировать умение решать линейные и
квадратные уравнения с параметром, развивать логическое мышление,
умение работать в проблемной ситуации, активировать познавательную и
творческую деятельность.
Ход урока
I. Объяснение нового материала.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч.
parametron – отмеривающий).
В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину,
характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или
системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление,
масса, коэффициент трения и др.).
В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой,
сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. В
задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины,
численные значения которых хотя и не указанны конкретно, но считаются
известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом
параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и
технический подход решения и форму ответа. Интересная часть решения
задачи – выявить, как зависит ответ от параметра.
С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:
 Функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у – переменные, к –
параметр, к ≠ 0);
 Линейная функция: у = кх +b (х и у – переменные, к и b – параметры);
 Линейное уравнение: ах +b= 0 (х – переменная, а и b – параметры, а ≠ 0);
 Квадратное уравнение: ах2 +bх + с = 0 (х – переменная, а, b и с –
параметры, а ≠ 0).
Пусть дано уравнение вида f(a, x) = g(a, x), где а, х – переменные величины.
Переменная а, которая при решении этого уравнения считается постоянной,
называется параметром, а само уравнение – уравнением, содержащим
параметр.
Под областью определения уравнения f(a, x) = 0 с параметром а будем
понимать все такие системы значений х и а, при которых f(a, x) имеет смысл.
Решить уравнение (с переменой х и параметром а) – значит на множестве
действительных чисел решить семейство уравнений, получаемых из данного
при всех допустимых значениях параметра а.
Итак, линейным уравнением с параметром называется уравнение вида ах
= b, где х – переменная, а и b – параметры.
При решении линейных уравнений с параметрами качественное изменение
происходит при переходе коэффициента а через нуль. То есть контрольными
значениями будут те значения коэффициента при переменной х, при которых
он обращается в нуль, т.к. при таких значениях невозможно деление на
коэффициент при х (а при иных значениях параметра такое деление
возможно); следовательно, меняется процедура решения уравнения, в этом и
состоит качественное изменение уравнения.
Схема 1. «Решение линейных уравнений»
ах = b
а=0
b≠0
а≠0
b=0
Нет корней
II. Устная работа.
1.
2.
3.
4.
5.
ах = 7
(а – 3)х = 6
(а – 3)х = а – 6
ах = а
ах – а + 3 = 4х
III. Закрепление пройденного материала.
1. (а2 – 25)х = а2 – 7а + 10
х=
𝑏
𝑎
х – любое
2.
3𝑏𝑥−5
(𝑏−1)(𝑥+3)
+
3𝑏−11
𝑏−1
=
2𝑥+7
𝑥+3
IV. Объяснение нового материала.
Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, где а, b и с – коэффициенты,
называется квадратным.
При решении квадратных уравнений с параметрами контрольными будут те
значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в
том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в
линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот
коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, решение
которого зависит от дискриминанта.
Схема 2. «Решение квадратных уравнений»
ах2 + bx + c = 0
а=0
Линейное
уравнение
а≠0
D<0
Нет
корней
D>0
Один
корень
D=0
Два
корня
V. Закрепление пройденного материала.
1.
2.
3.
4.
x2 + (3b – 2)x – 6b = 0
x2 – (3a – 2)x – 2a2 – a – 3 = 0
(a + 1)x2 – 2x + 1 – a = 0
abx2 + (a2 – b2)x + (a – b)2 = 0
VI. Самостоятельная работа.
1. Решите уравнение ах = а3 – а .
2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (а2 – а)х = а2
+ 6а не имеет решений.
3. Решите уравнение
2𝑏
𝑥
=
1
𝑎−𝑏
−
1
𝑎+𝑏
4. Решите уравнение х2 + 5ах + 4а2 = 0.
VII. Домашняя работа.
Решить уравнения:
1. (а – 3)3х + 4(а – 1) = 8 + (а – 1)(а – 3)х;
2.
3.
4.
(𝑏+2)𝑥−3
𝑥−1
= 0;
3(с – 3)х – 5
2с−5
5
−
;
(с−1)(х−3)
х+3
2
1
=
;
(а+1)(х+1)
а+1
=
(с – 1)(х2 − 9)
х−4
х+1
+
5. 𝑏𝑥 2 + 2𝑥(𝑏 + 2) + 2𝑏 + 1 = 0;
6. (2𝑏2 − 𝑏 − 6)𝑥 2 = 4(𝑏 + 1)𝑥 − 2.
.