Решения олимпиадных заданий по физике и математике. Задача №1 Пробковый шарик удерживают на глубине H=1м под поверхностью воды. Когда шарик отпустили, он вынырнул из жидкости и поднялся на высоту h=0,5м над поверхностью. Определить среднюю силу сопротивления воды движению шарика. Сопротивление воздуха не учитывать. Масса шарика m=100г. Дано: H 1м h 0,5 м m 100г в 10 3 кг м 3 Сила сопротивления воды движению шарика проявляет себя в том, что при подъеме шарика совершает работу и тем самым уменьшает потенциальную энергию шарика. По закону сохранения энергии (1) Eп1 Ac Eп 2 , ш 240 кг м 3 где Eп1 – потенциальная энергия шарика, когда он находился в воде Fc ? на глубине H, и обусловленная действием силы Архимеда на пробковый шарик; Ac – работа средней силы сопротивления; Eп2 – потенциальная энергия шарика в поле тяготения Земли в момент его подъема на высоту h относительно начального положения шарика на глубине H. Кинетическая энергия шарика на глубине H и на высоте h равна нулю. (2) Eп1 FA H , где FA – сила Архимеда. Считая силу сопротивления постоянной, можем записать: (3) Ac Fc H , Fc – средняя сила сопротивления воды движению шарика. E п 2 mg( H h ) . (4) По закону Архимеда: (5) FA в gVш , где â - плотность воды, g – ускорение свободного падения, Vш – объем шарика, который, зная массу шарика, находим из определения плотности: m Vш . (6) ш Подставим выражение (6) в формулу (5), а затем в (2) и получим: Eп1 в gmH . ш (7) После подстановки (7), (3) и (4) в (1) получим уравнение относительно искомой величины Fc: в gmH Fc H mg( H h ) . ш (8) Решение уравнения имеет вид: h (9) Fc mg в 1 . H ш Подстановка численных значений физических величин входящих в уравнение (9) дает: 1000 Fc 10 1 9,8 1 0,5 2,61 Н 240 Задача №2 Во сколько раз КПД цикла 1-2-4-1 больше КПД цикла 2-3-5-2 (рис.)? Рабочее тело – идеальный одноатомный газ. Дано: i=3 Коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется выражением: Q Qх A 1 ? н . (1) 2 Qн Qн где Qн – количество теплоты, полученное тепловой машиной от нагревателя за цикл, Qх – количество теплоты, отданное тепловой машиной холодильнику за цикл. По закону сохранения энергии Qн Qх A , где A - работа, совершенная тепловой машиной за цикл. Работа тепловой машины за цикл равна площади геометрической фигуры, ограниченной контуром цикла на диаграмме P – V. Поэтому для цикла в виде прямоугольного треугольника 1-2-4-1 работа равна: 1 1 A1 (2 Po Po ) (2Vo Vo ) PoVo . (2) 2 2 Аналогично для цикла 2-3-5-2 работа равна: 1 1 A2 (3Po 2 Po ) (3Vo 2Vo ) PoVo . (3) 2 2 В цикле 1-2-4-1 газ получает теплоту и нагревается в процессе 1→ 2. В процессе 2→ 4 он охлаждается, не совершая работы (2Vo=const). В процессе 4→ 1 газ охлаждается и сжимается (т.е. работа отрицательная). Поэтому газ получает теплоту только в процессе 1→ 2. Чтобы найти количество теплоты Qн, полученное тепловой машиной за цикл, воспользуемся первым началом термодинамики: Qн U A , (4) где U - изменение внутренней энергии газа, при его нагревании, A - работа газа при его нагревании. Внутренняя энергия газа определяется выражением: i U RT , (5) 2 где i - число степеней свободы молекул газа (для одноатомного газа оно равно 3), R универсальная газовая постоянная, T - термодинамическая температура. Тогда изменение внутренней энергии будет равно: 3 U 1 R( T2 T1 ) . (6) 2 Используя формулу Менделеева-Клапейрона уравнение (6) можно переписать: 3 3 9 U1 ( P2V2 P1V1 ) (2 Po 2Vo PoVo ) PoVo . (7) 2 2 2 Работа газа в процессе его расширения 1→ 2 определяется как площадь под отрезком [1,2] (площадь трапеции с основаниями Po и 2Po, а высотой 2Vo-Vo). 2P Po 3 (7) A1 o (2Vo Vo ) PoVo 2 2 Подставляя (6) и (7) в уравнение (4), получаем: 9 3 Qн1 PoVo PoVo 6 PoVo (8) 2 2 И, таким образом, по формуле (1) получаем КПД цикла 1-2-4-1: 1 PV o o 1 (9) 1 2 . 6 PoVo 12 Изменение внутренней энергии в процессе получения газом теплоты 2 → 3 в цикле 2-3-5-2 равно: 3 3 3 15 U 2 R(T3 T2 ) ( P3V3 P2V2 ) (3Po 3Vo 2 Po 2Vo ) P oVo (10) 2 2 2 2 Работа газа при расширении 2 → 3 равна: 3P 2Po 5 (11) A2 o (3Vo 2Vo ) PoVo 2 2 Подставив уравнения (10) и (11) в (4), найдем количество теплоты, полученное газом в цикле 2-3-5-2: 15 5 Qн 2 PoVo PoVo 10 PoVo . (12) 2 2 Подставляя (3) и (12) в формулу (1), получаем значение КПД цикла 2-3-5-2: 1 PV o o 1 . (13) 2 2 10 PoVo 20 И в заключение из (9) и (13) находим отношение КПД циклов: 1 112 5 1,67 2 1 3 20 Задача №3 Напряженность поля в конденсаторе, встроенном в схему (рис.), E=50В/см. Расстояние между пластинами конденсатора d=0,5мм, площадь пластин S=100см2, сопротивление R=5Ом, внутреннее сопротивление батареи r=0,1Ом. Определить ЭДС батареи, заряд пластин, силу притяжения пластин. Возможное решение. В установившемся режиме ток через конденсатор не протекает. По закону Ома для полной цепи: . (1). С другой стороны по закону Ома для участка цепи (2). Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе с сопротивлением R. . (3). Напряжение на конденсаторе можно найти, воспользовавшись связью между напряжением и напряженностью электрического поля (4). Используя соотношения (1), (2), (3) и (4) получим выражение для ЭДС источника: . (5). Найдем заряд на конденсаторе: (6). Электроемкость плоского конденсатора равна: (7). Подставив выражения (4) и (7) в (6) получим: (8). Для вычисления силы взаимодействия будем считать, что одна пластина находится, в электрическом поле, создаваемом другой пластиной: (9), (поле создаваемое одной пластиной в 2 раза меньше поля конденсатора). Подставив (8) в (9) найдем выражение для силы: (10). Ответ: , , Задача №4 С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Расстояние между предметом и экраном в 4,5 раза больше фокусного расстояния линзы. С каким увеличением изображается предмет. Возможное решение. Пусть F фокусное расстояние линзы, d – расстояние от линзы до предмета, f- расстояние от линзы до изображения. H – высота источника, h – высота изображения. По условию задачи d f 4,5 F (1). 1 1 1 d f F (2). Применим формулу тонкой линзы: Используя выражение (1) и (2) получим: 1 1 1 d 4,5F d F Выражение (3) преобразуется к квадратному уравнению относительно d: d 2 4,5Fd 4,5F 2 0 Найдем корни уравнения (4): 4,5F 20,25F 2 18F 2 4,5F 1,5F , 2 2 d1 1,5F d2 3F Определим увеличение линзы. По определению H h Из подобия треугольников с катетами d и f следует: H f h d Подставив значения для d и f (f находится из формулы (1)) в формулу (9) получим: 1 2 2 0,5 Условию задачи удовлетворяет только первый корень (10) уравнения (4). Ответ: Предмет изображается в линзе с увеличением 2 . (3). (4). d1, 2 (6), (7). (8). (9) (10), (11). Задача №5 Петя Иванов гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошел Петя Иванов? Решение: Пусть длина горизонтального участка пути x км, а наклонного – y км. x y y x x y 5; 5 ; x + y = 10 весь путь ( x y ) 2 20 (км). Тогда 4 3 6 4 2 2 Ответ: 20. Задача №6 Решить уравнение log 4 64( x 2) log 4 4( x 2) . Решение: log 4 64 log 4 ( x 2) log 4 4 log 4 ( x 2) . 3 log 4 ( x 2) 1 log 4 ( x 2) . Пусть log 4 ( x 2) = t. Тогда: t 1, 3 t (1 t ) 2 , 3 t 1 2t t 2 , t 2 t 2 0, 3 t 1 t t 2, t 1 1 t 0 t 1 t 1 t 1. log 4 ( x 2) = 1 x 2 4 ; x 2 . Проверка: log 4 (64 4) log 4 16 , log 4 256 log 4 16 , 4 2, 2 2 - верно. Ответ: 2. Задача №7 40%-ный раствор серной кислоты разбавили 60%-ным, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили раствор 20%-ной концентрации. Если бы вместо чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора серной кислоты, то получился бы раствор 70%-ной концентрации. Сколько было 40%-ного и 60%-ного раствора серной кислоты? Решение: Пусть 40%-го раствора было x кг, а 60%-го – y кг. Тогда имеем: 0,4 x 0,6 y 0,2( x y 5), 0,4 x 0,6 y 0,8 5 ( x y 5) 0,7. Решая эту систему, получим x 1 (кг), y 2 (кг). Ответ: 1 кг, 2 кг. Задача №8 Определить длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24 см, 8 см и высотой 12 см, так, что две вершины прямоугольника лежат на боковых сторонах, а две другие – на большем основании. Дано: ABCD - прямоугольная трапеция, BC 8 см, AD 24 см, прямоугольник. Найти: AK и KN , при которых S AKNM будет наибольшей. AB 12 см, AKNM - Решение: Пусть KN x , AK y , тогда S xy . Выразим переменную y через x . Для этого рассмотрим DEC и DMN . Они подобны. Из подобия этих треугольников имеем: 3 MN MD y 24 x 3 y (24 x) , y 18 x . 4 EC ED 12 16 4 3 3 Тогда, S ( x) x18 x 18 x x 2 , x 8;24. 4 4 Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на заданном отрезке. 3 3 S x 18 x . S x 0 18 x 0 , x 12 8;24. 2 2 S 8 144 48 96 , S 12 216 108 108 , S 24 432 432 0 . Таким образом, max S x S 12 108 . Найдем соответствующее значение y . 8;24 3 x 18 9 9 . 4 Ответ: 9 см, 12 см. y 18