Лекции по курсу ЧМАС

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Вводные замечания
Во многих задачах обработки информации и управления часто возникает
необходимость определить собственные значения и найти соответствующие им
собственные векторы некоторой матрицы А.


Ax  x , x  0
Первая задача значительно сложнее второй. Она сводится к нахождению корней
характеристического уравнения данной матрицы, которое имеет следующий вид:
det( A  E )  0.
(9.1)
В свою очередь большинство методов решения этой задачи требуют
предварительного раскрытия (развертывания) определителя, то есть получения
алгебраического уравнения, с последующим решением этого уравнения. Поэтому в
настоящем пособии рассматриваются некоторые методы развертывания
характеристического определителя (9.1).
9.2. Методы развертывания характеристических определителей
Основные методы развертывания характеристических определителей подробно
рассмотрены в [1,2]. Ниже рассмотрены наиболее простые из них.
Метод А. Н. Крылова
Рассмотрим характеристический полином матрицы А:
det( E  A)  n  p1n 1  ...  p n
где
(9.2)
- искомые коэффициенты.

Выберем произвольный вектор z ( 0) и подействуем на него матрицей
D( A)  A n  p1 A n 1  ...  p 0 E .
p1 , p2 ,..., pn
Согласно теореме Гамильтона —Кели, характеристический полином матрицы А
является для нее аннулирующим многочленом. Поэтому
 ( 0)
 ( 0) 
n1  ( 0)
A z  p1 A z  ...  p0 z  0 .
n
(9.3)
Обозначив


Ak z ( 0 )  z ( k )
(k=1,2,…n),
(9.4)
из (9.3) получим векторное равенство
 ( n)
 ( n1)
 ( 0) 
z  p1 z
 ...  p0 z  0
,
(9.5)
которое эквивалентно следующей СЛАУ относительно коэффициентов искомого
характеристического многочлена:
 p1 z1( n1)  p2 z1( n2 )  ...  p0 z1( 0 )   z1( n )

( n 1)
( n2 )
(0)
(n)
 p2 z 2
 ...  p0 z 2   z 2
 p1 z 2

 ...............................................................
 p z ( n1)  p z ( n2 )  ...  p z ( 0)   z ( n )
2 n
0 n
n
 1 n
где

.
(9.6)
- j-я координата вектора z (k ) .
Таким образом, определение коэффициентов характеристического полинома
(9.2) методом А. Н. Крылова сводится к решению СЛАУ (9.6). В соответствии с (9.4)
коэффициенты этой системы вычисляются по следующим формулам:
zj
(k )
zi
где
( k 1)
n
  aij z i
j 1
(k )
(k=0,1,…n), (i=1,2,…n),
(9.7)
элементы матрицы.
Может случиться, что СЛАУ (9.6) не имеет единственного решения. В этом

случае следует изменить начальный вектор z ( 0) и повторить все вычисления.
Пример. Найдем характеристический полином матрицы А [3].
a ij -
1
2
A
3

4
4
1 2 3
2  1 2 .

3 2 1
2
3
В качестве начального вектора выбираем

z (0)
1
0 
 
0  .
 
0 
По формулам (9.7) находим:

z (1)
1 
30
208
2108
 2
22
178 
1704 



(
2
)
(
3
)
(
4
)
 z 

  z   z 
3 ;
18  ;
192  ;
1656  .
 
 




4
20
242
1992
 
 




В результате получаем СЛАУ
характеристического многочлена:






относительно
коэффициентов
искомого
208 p1  30 p 2  p 3  p 4  2108,
178 p1  22 p 2  2 p3
 1704,
192 p1  18 p 2  3 p3
 1656,
242 p1  20 p 2  4 p3
 1992.
Решая эту систему методом Гаусса, находим характеристический полином
матрицы А:
det( E  A)  4  43  402  56  20 .
Метод Леверрье
Пусть 1 , 2 ,..., n - собственные числа матрицы А
характеристического полинома (9.2).
Имеют место следующие рекуррентные формулы [3]:
p1   s1 ,


p2  ( s2  p1s1 ) / 2,


............................

 pn  ( sn  p1sn1  ...  pn1s1 ) / n,
или, что то же, нули
(9.8)
где
n
s k   ik
i 1
(k=0,1,…n).
(9.9)
С другой стороны, имеет место следующая формула [10]:
sk  Spur Ak ,
(9.10)
т.е. величина sk при k=1,…n является следом k-й степени матрицы А.
Напомним, что следом матрицы B  b  называется сумма всех ее диагональных
элементов:
ij
n
Spur B   bii
i 1
.
(9.11)
Таким образом, для расчета коэффициентов характеристического многочлена
матрицы А порядка n сначала необходимо найти n степеней этой матрицы, затем по
формулам (9.10) рассчитать коэффициенты sk . Наконец, используя формулы (9.8),
мы можем найти искомые коэффициенты.
Изложенный метод носит название метода Леверрье.
Метод линеаризации
В некоторых задачах достаточно найти не все собственные значения и
соответствующие собственные векторы, а только некоторые из них. Для этой цели
обычно применяют итерационные процессы, сходящиеся к одному собственному
значению и собственному вектору.
Один из методов, решающих подобную задачу, основан на следующих
соображениях.
Перепишем задачу на собственные значения следующим образом:
n
a
k 1
x  xi  0
ik k
(i=1,2,…n).
(9.12)
Эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно
неизвестных x1 , x2 ,..., xn ,  . Система нелинейна из-за наличия произведений xi и
поэтому ее целесообразно решать методом Ньютона (см. гл.5).
Линеаризованная система вида (5.8) в данном случае имеет вид:
n
 (r ) (r )
(r )

x



x

x




F
(
x
,  ) (i=1,2,…n).
ik
k
i
i
i
a
k 1
(9.13)
Здесь обозначено:
xi  xi
( r 1)
 xi ,   ( r 1)  ( r ) ,
(r )
n

Fi ( x ,  )   aik xk  xi
k 1
(9.14)
.
(9.15)
Задав начальное приближение x1 , x2 ,..., xn , (0) и подставив его в систему
(9.13), мы получим СЛАУ относительно приращений xi . Решив эту систему
методом Гаусса, из формул (9.14) находим компоненты следующего приближения и
так далее. Считается [10], что при удачном выборе начального приближения для
( 0)
( 0)
( 0)
нахождения одного собственного значения и соответствующего собственного
вектора достаточно 3-5 итераций.