   

Задание 1
Выполнить
операцию
 A \ C   (B  C)
над
множествами
A  1; 2; 3; 4 ,
B  3; 4; 5; 6 , C   4; 6; 7 - подмножествами множества N натуральных чисел.
Решение
Разность множеств
 A \ C
это множество, состоящее из элементов множества
A  1; 2; 3; 4 , не принадлежащих множеству C   4; 6; 7 , то есть A \ C  1; 2; 3 .
Множество ( B  C ) состоит из элементов, принадлежащих и множеству
B  3; 4; 5; 6 , и множеству C   4; 6; 7 , то есть ( B  C)  4;6 .
Множество
 A \ C   (B  C)
это
множество,
состоящее
из
элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств A \ C  1; 2; 3 и ( B  C)  4;6 , то есть
 A \ C   (B  C)  1; 2; 3; 4; 6.
Задание 2
Найдите сумму, произведение и частное комплексных чисел z1  2  3i , z2  4  2i .
Решение
Если z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , то:
1) z1  z2   a1  a2   i  b1  b2  .
В нашем случае
z1  z2   2  4  i  3  2  2  i .
2) z1  z2   a1a2  b1b2   i  a1b2  b1a2  .
Комплексные числа, заданные в алгебраической форме, перемножаются как
многочлены с учетом того, что i 2  1 . Для нашей задачи:
z1  z2   2  3i  4  2i   8  12i  4i  6i 2  8  16i  6  2  16i.
3). Деление комплексных чисел выполним по формуле:
z1 a1  ib1  a1  ib1  a2  ib2   a1a2  b1b2   i  a2 b1  a1b2 
.



z2 a2  ib2  a2  ib2  a2  ib2 
a22  b22
В нашем случае
z1
2  3i  2*(4)  3*(2)   i  (4)*3  2*(2)  (8  6)  i(12  4) 14  8i
7 2




  i
2
2
2
2
z2 4  2i
4 2
4 2
20
10 5
.
Задание 3
Решить уравнения: а) 4 z  z  2  0 ;
 3  3i 5
б) z 
2
3
17
i
 2  2 3i 
7
 0.
Решение
а) 4 z 2  z  2  0
Найдем дискриминант
D  12  4* 4* 2  1  32  31
Найдем корни квадратного уравнения:
1  31 1  i 31
1
31

 
i.
24
8
8
8
z1,2 
1
31
1
31
i , z2   
i.
Следовательно, z1   
8
8
8
8
 3  3i 5
б) z 
3
17
i
 2  2 3i 
7
0
Имеем уравнение вида z 3   , для решения которого будем использовать формулу
n
  2 k


  n    cos
n
 i sin
  2 k 
n


n
 e
i
  2 k
n
, где k  0, 1, 2, ... , n-1 , а  и  -
модуль и аргумент комплексного числа  .
Поэтому


необходимо
 3  3i 
найти
5
i17 2  2 3i

7
.
Последовательно вычислим:
1   3  3i  ;
5
3  3i  32  32  3 2 ,
arg  3  3i   arctg
3

 arctg1  ;
3
4
5

5
i 
i

5
2
4
1   3 2  e   3  2  2  e 4 .


Аналогично


7
2  2  2 3i ;
модуль
и
аргумент
комплексного
числа
2  2 3i  (2)2  (2 3) 2  4


arg 2  2 3i  arctg
2
1 
 arctg

2 3
3 6
7

7
7
i 
i
i

2   4  e 6   47  e 6  214  e 6


i

i17  i16  i  i  e 2 ,
1  ei .
Таким образом,

i
e 3  2  2 e
5
i
2

e 2  214  e
 
i
i
5
4
7
6

5  7 


35 2 i   4  2  6
 12  e
2
35 2 i 712 243 2 i 712
 12 e 
e ;
2
4096
243 2
,
4096
arg  
7
.
12
Следовательно,
7
7


 2 k
 2 k  3

243
2
243 2 
7  24 k
7  24 k 
3
 3
  cos 12
 i sin 12
  cos
 i sin


4096 
3
3
16
36
36





При k  0 , получим z1 
3
243 2 
7
7  3 243 2 i 736
  cos
 i sin
e .

16
36
36 
16

243 2 
31
31
При k  1 , получим z2 
  cos
 i sin
16
36
36

3
При k  2 , получим z3 
3
243 2 
55
55
  cos
 i sin
16
36
36

3
243 2 i 3136

e .

16

3
243 2 i 5536


e .

16

Задание 4
Найти все нули многочлена f  z   z 4  5z 3  13z 2  12z  8 и разложить его на
неприводимые сомножители с действительными коэффициентами, если известен один из
его нулей z1  2  2i .
Решение
f  z  имеет действительные коэффициенты, поэтому, наряду с нулем z1  2  2i ,
нулём f  z  является также z2  z1  2  2i .
Следовательно, f  z  делится на
 z  z1  z  z1    z  2  2i  z  2  2i    z  22  (2i)2   z 12  4  z 2  4z  8 .
Разделим f  z  на z 2  4 z  8 :
z2  4z  8
z 4  5 z 3  13z 2  12 z  8
z 4  4 z 3  8z 2
z2  z 1
z 3  5 z 2  12 z  8
z3  4 z 2  8z
z2  4z  8
z2  4z  8
0



Таким образом, f  z   z 2  4 z  8 z 2  z  1 .
Найдём нули второго множителя: z 2  z  1  0 ,
D  1 4 1  3
z3,4 
1  3
1
3
 
i.
2
2 2
f  z  являются z1  2  2i , z2  2  2i ,
Таким образом, нулями многочлена
1
3
1
3
z3   
i , z4   
i.
2 2
2 2
Следовательно, многочлен
f  z
разлагается на неприводимые множители
(квадратные трехчлены с отрицательными дискриминантами) следующим образом:



z 4  5z3  13z 2  12 z  8  z 2  4 z  8 z 2  z  1 .
Задание 5
Даны многочлены f  z   z 4  4 z 3  10 z 2  11z  6 и g  z   z 2  6 z  8 .
Требуется:
а) подобрать целые нули многочлена f  z  среди делителей свободного члена;
б) разложить многочлен f  z  на линейные и неприводимые квадратичные множители с
действительными коэффициентами;
в)
разложить
многочлен
f  z
на
линейные
множители
с
комплексными
коэффициентами;
г) представить дробь
g  z
f  z
в виде суммы простейших дробей с действительными
коэффициентами.
Решение
а) Целыми делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6.
В результате проверки убеждаемся, что z1  1 является нулём многочлена f  z  ,
так как f  1  0 .
Следовательно, многочлен f  z  делится на  z  z1   z  1 .
Выполним деление:
z 44  43z 3  10 z 2  11z  6
z z
5 z 3  10 z 2
5 z 3  5 z 2
z 1
z3  5z 2  5z  6
5 z 2  11z
5 z 2  5 z
6 z  6
6 z  6
0


Таким образом, f  z    z  1 z 3  5z 2  5z  6 .


Целыми делителями свободного члена многочлена z 3  5z 2  5z  6 являются: 1;
2; 3; 6.
В результате проверки убеждаемся, что z 2  6 является нулём многочлена
 z3  5z2  5z  6 и, следовательно, многочлена
f  z  . Значит, многочлен f  z  делится
на  z  z1  z  z2    z  1 z  6   z 2  5 z  6 .
Выполним деление:
z3  5z 2  5z  6
z3  6z 2
z 6
z2  z 1
z 2  5z
z2  6z
z 6
z 6
0


Таким образом, f  z    z  1 ( z  6) z 2  z  1 .
Найдем нули второго множителя.
z2  z 1  0
D  1  4  3
Нулями второго множителя являются
z3,4 
1  i 3
2
Итак, многочлен f  z  имеет два целых нуля z1  1 и z2  6 .
б) Так как z 2  5 z  6   z  1 z  6  , а многочлен z 2  z  1 имеет лишь комплексные нули
z3 
1  i 3
1  i 3
и z4 
, то искомым разложением на множители с действительными
2
2


коэффициентами будет f  z    z  1 z  6  z 2  z  1 .
в) Многочлен f  z  имеет четыре нуля z1  1 , z 2  6 , z3 
1  i 3
1  i 3
и z4 
.
2
2
Разложение на множители с комплексными коэффициентами имеет вид:

1  i 3 
1  i 3 
f  z    z  1 z  6   z 
z


 .

2
2



г) Дробь
g  z
z2  6z  8
z2  6z  8
 4

f  z  z  4 z 3  10 z 2  11z  6  z  1 z  6  z 2  z  1

является правильной, и

может быть представлена в виде суммы простейших дробей (метод неопределенных
коэффициентов):
z2  6z  8
 z  1 z  6   z
2

 z 1

A
B
Cz  D
.

 2
z 1 z  6 z  z 1
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, получим
z2  6z  8
 z  1 z  6  z 2  z  1






A  z  6  z 2  z  1  B( z  1) z 2  z  1   Cz  D  z 2  5 z  6
 z  1 z  6   z 2  z  1
.
Из равенства дробей и знаменателей этих дробей следует равенство и числителей,
то есть:
z 2  6 z  8  Az 3  5 Az 2  5 Az  6 A  Bz 3  2Bz 2  2Bz  B  Cz 3  5Cz 2  6Cz  Dz 2  5Dz  6D
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z , получим систему:
 z3 ,
0  A  B  C,

2
 z , 1  5 A  2 B  5C  D,

 z , 6  5 A  2 B  6C  5 D,
 0 8   6 A  B  6 D
z ,
Решая систему, получим:
1
8
5
51
A , B
, C , D .
7
301
43
43
Таким образом,
z2  6z  8
 z  1 z  6   z
2

 z 1

1
8
51  5 z
.


7( z  1) 301( z  6) 43( z 2  z  1)