Лекция 27

102
§6 МНОГОЧЛЕН В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
Многочленом n-й степени в комплексной области называется функция вида
n
Pn ( x ) = a 0 + a1 z + a 2 z 2 +...+ a n z n = ∑ a k z k ,
(14)
k=0
где a k , k = 0,1,2, ..., n - коэффициенты многочлена ( действительные или комплексные
числа); z - комплексная переменная z = x + iy , x , y ∈ R .
Если a k − действительные числа, многочлен (14) называется многочленом в
комплексной области с действительными коэффициентами. Область определения
многочлена (14) - все комплексные числа, т.е. множество С.
Любому числу z 0 ∈ C соответствует число Pn ( z 0 ) . Если Pn ( z 0 ) = 0 , то z 0 называется корнем или нулем многочлена Pn ( z ) .
n
n
k=0
k=0
Два многочлена Pn ( z) = ∑ak z k и Qn ( z) = ∑bk z k называются равными, если выполняется равенство a k = bk , k = 1,2,3,..., n .
Безу Этьен (Bezout Etienne ) 31.3.1730 - 27.9.1783 - французский математик.
Основные труды по алгебре (исследование свойств систем алгебраических уравнений
высших степеней и исключения неизвестных в таких системах).
Теорема (Безу) Для того, чтобы многочлен Pn ( z ) имел комплексный корень z 0 ,
необходимо и достаточно, чтобы он делился на двучлен z − z 0 , т.е. чтобы справедливым было представление
Pn ( z ) = ( z − z 0 ) Pn−1 ( z ) ,
(15)
где Pn−1 ( z ) - многочлен степени n-1.
>
Необходимость Пусть z 0 корень многочлена Pn ( z ) , тогда Pn ( z 0 ) = 0 . По формуле Тейлора для многочлена
∞
Pn ( z ) = ∑ bk ( z − z 0 ) ,
k
k =1
т.е. многочлен Pn ( z ) представлен в виде (15).
Достаточность Если для многочлена справедливо представление в виде (15)
, т.е. Pn ( z ) = ( z − z 0 ) Pn−1 ( z ) , то при z = z 0 многочлен Pn ( z 0 ) = 0 , а это означает, что z 0 корень уравнения. <
Из теоремы Безу не следует существование корней. Вопрос о существовании
корней многочлена решает другая теорема.
Теорема 3 (основная теорема алгебры) Всякий многочлен Pn ( z ) , n ∈ N , имеет
по крайней мере один комплексный корень.
103
Число z 0 называется простым корнем многочлена Pn ( z ) , если этот многочлен
делится на ( z − z 0 ) и не делится на ( z − z 0 ) .
Число z 0 называется k- кратным корнем многочлена Pn ( z ) , если Pn ( z ) делится
2
на ( z − z 0 ) и не делится ( z − z 0 )
k
k +1
, т.е. Pn ( z ) представим в виде
Pn ( z ) = ( z − z 0 ) Pn − k ( z ) ,
k
где Pn − k ( z ) не делится на ( z − z 0 ) .
Показать, что z1 = 0, z 2 = −1 являются корнями многочлена
P3 ( z ) = z + 2 z + z , и определить их кратность.
При z1 = 0 P3 ( z1 ) = 0 . Разделим P3 ( z ) на z, получим P2 ( z ) = z 2 + 2 z + 1 , причем
P2 ( z1 ) ≠ 0 . Следовательно z1 = 0 является простым (однократным) корнем многочлена
P3 ( z ) = z 3 + 2 z 2 + z .
При z 2 = −1 P3 ( z 2 ) = −1 + 2 − 1 = 0 . Представим P3 ( z ) = z (z 2 + 2 z + 1) = z (z + 1)2 . Отсюда делаем вывод, что z 2 = −1 является корнем кратности два для многочлена
P3 ( z ) = z 3 + 2 z 2 + z .
Следствие Многочлен Pn ( z ) имеет n комплексных корней с учетом их кратности, т.е.
n
n
n
Pn ( z ) = a n ( z − z1 ) ( z − z 2 ) ...( z − z s ) ,
где z1 , z 2 , z 3 ,..., z s - различные корни Pn ( z ) , а n1 , n2 ,..., ns - их кратности, причем
Пример
3
2
1
2
s
n1 + n2 +...+ ns = n
Многочлен с действительными коэффициентами. Разложение его на линейные и квадратные множители.
Рассмотрим многочлен n − й степени
n
Pn ( x ) = a 0 + a1 z + a 2 z 2 +...+ a n z n = ∑ a k z k ,
k=0
где a k ∈ R, k = 0,1,2,..., n; z ∈ C .
Для такого многочлена справедливы следующие две теоремы.
Теорема 4 Если многочлен Pn ( z ) с действительными коэффициентами, то
Pn ( z ) = Pn ( z ) ,
т.е. если Pn ( z ) = A + iB, A, B ∈ R, то Pn ( z ) = A − iB .
> Для комплексных чисел справедливы следующие равенства
z1 ± z 2 = z1 ± z 2 , z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ;
(доказываются непосредственной проверкой)
Для действительных чисел a k = a k . Следовательно,
n
n
n
n
k =0
k =0
k =0
k =0
Pn ( z ) = ∑ ak z k = ∑ ak z k = ∑ ak z k = ∑ ak z k = Pn ( z )
т.е. если Pn ( z ) = A + iB, A, B ∈ R, то Pn ( z ) = A − iB . <
104
Теорема 5 Если многочлен Pn ( z ) с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень z 0 = a + ib , то он имеет и сопряженный корень z 0 = a − ib .
> Пусть z 0 = a + ib - корень многочлена Pn ( z ) . Тогда Pn ( z 0 ) = A + iB = 0, A, B ∈ R .
Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мнимые части, следовательно, A = 0, B = 0 .
Вычислим Pn ( z 0 ), z 0 = a − ib . Согласно теореме 4, Pn ( z 0 ) = A − iB , учитывая, что
A = 0, B = 0 , тогда и Pn ( z 0 ) = 0 , т.е. z 0 корень многочлена Pn ( z ) . <
Из теоремы 5 следует. что если многочлен с действительными коэффициента-
ми Pn ( z ) имеет комплексные корни, то они входят в его разложение попарно сопряженными.
Рассмотрим произведение линейных множителей для попарно сопряженных
корней ( z − z 0 )( z − z 0 ) , где z 0 = a + ib
( z − z )( z − z ) = ( z − a − ib)( z − a + ib) = (( z − a) − ib)(( z − a) + ib) =
0
0
= ( z − a) + b 2 = z 2 − 2az + a 2 + b 2 .
Обозначим a 2 + b 2 = q,−2a = p , тогда ( z − a − ib)( z − a + ib) = z 2 + pz + q т.е. полу2
чили квадратный трехчлен с действительными коэффициентами.
Если число z 0 = a + ib является корнем кратности k многочлена Pn ( z ) с действительными коэффициентами, то z 0 = a − ib является многочленом той же кратности.
Из всего сказанного следует, что многочлен с действительными коэффициентами Pn ( z ) разложим на множители с действительными коэффициентами первой и
второй степени соответствующей кратности :
k
k
k
Pn ( z ) = a n ( z − a1 ) ( z − a 2 ) ...( z − a s ) ( z 2 + p1 z + q1 )...( z 2 + pl z + ql ) ,
где
1
2
s
k1 + k 2 +...+ k s + 2m1 +...2 ml = n
Пример Разложить на множители следующие многочлены
1) P3 ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 ;
Найдем подбором один корень среди делителей 6. Это x=1. Остальные два
можно найти, решая квадратное уравнение x 2 + 5 x + 6 = 0 , левая часть которого получается после деления многочлена P3 ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 на x − 1 . Таким образом получаем еще два корня x2 = 2, x3 = 3 .Тогда
P3 (x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) .
2) P4 ( x ) = x 4 − 1 .
Воспользовавшись формулами сокращенного умножения, получим
P4 ( x ) = x 4 − 1 = (x − 1)( x + 1)(x 2 + 1) .