Стационарная теплопроводность

Лекция 11
Стационарная теплопроводность
Теплопроводностью называется процесс переноса тепла телами посредством
контакта между ними. Микрочастицами рассматривают молекулы (газы,
жидкости), свободные электроны (металлы) или звуковые кванты (твердые
неметаллы).
Опуская структуру веществ на микроуровне, теплопроводность описывается
следующим дифференциальным уравнением:
где а – коэффициент температуропроводности а = λ / (c·ρ), m2/s;
qv - мощность внутренних теплоисточников, W/m3;
t – температура К (оС);
∇ - оператор Лапласа
τ - время, s
c - уд. теплоескость вещества , J/(kg·K)
ρ - плотность вещества, kg/m3
В случае стационарной теплопроводности ∂t/∂τ = 0, что означает, что
распределение температур не зависит от времени.
В условиях стационарности по закону Фурье тепловой поток можно записать:
q = - λ· grad t,
W/m2
(1.2)
где λ - коэффициент теплопроводности материала, W/m2·К
Коэффициент теплопроводности λ, W/m2·К - это физическая величина,
характеризующая вещество, численное значение которой зависит:
1. для газов и жидкостей - от молекулярного движения, что означает – от
температуры t и давления Р;
2. для металлов – от количества свободных электронов, температуры t и состава
материала. При этом даже незначительные количества добавок или включений
могут существенно изменять к –т теплопроводности;
3. для неметаллов - от состава материала, его струкутуры, порности, влажности,
температуры и т.д..
Коэффициенты теплопроводности веществ находят по справочной литературе.
В случае, когда к-т теплопроводности λ значительно зависит от температуры и по
конкретным условиям задачи имеют дело с широким температурным промежутком
(разности температур), то находят средний коэффициент теплопроводности. В
1
большинстве случаев
зависимостью:
можно
ограничиться
λ = λ0 (1+ b·t) , W/ (m·K)
линейной
температурной
(1.3)
где b = 1/λ0 · dλ/dt = const
λ0 - коэффициент теплопроводности при начальном значении разности температур.
t – конечное значение разности температур
Рассмотрим решения уравнения (1.1) в некоторых характерных случаях. Вид
решения зависит от геометрии рассматриваемого тела, граничных условий и
размеров. Предположим, что два размера плоской стенки (пластины) - длина и
ширина – в сравнении с третьим размером – тощиной – бесконечно большие, а
также - что длина цилиндрической стенки (трубы) бесконечно большая в
сравнении с диаметром трубы. В этом случае температурное поле в этих телах
можно рассматривать одномерным и вид решения не зависит от размеров.
Граничные условия I (первого) рода. Известна температура поверхности
(поверхностей) тела. Упрощенно принимаем ts = const.
Граничные условия II ( второго) рода. Задается величина плотности теплового
потока q на поверхности тела, где q= const.
Граничные условия III (третьего) рода. Когда известна температура окружающей
среды
tv и коэффициент теплоотдачи α W/m2·K, характеризующий
интенсивность процесса теплоотачи между
рассматриваемым телом и
окружающей средой.
Коэффициент теплоотдачи α, W/m2·K – сравнительный коэффициент (фактор) в
уравнении Ньютона- Рихмана:
q = α (ts – tv) , W/m2
(1.4)
Предполагая, что температура тела ни в одной точке не меняется во времени,т.е.
∂t / ∂τ = 0, имея в виду, что температурное поле – одномерное, то уравнение (1.1)
принимает вид:
Внесем следующие упрощения:
• коэффициент теплопроводности λ = const
• коэффициент теплоотдачи α= const
• внутренние теплоисточники отсутствуют (qv = 0)
2
Плоская стенка
При граничных условиях I (первого) рода (ts = const)
x = δ;
х =0; t = ts1
t =ts2
где δ – толщина стенки (пластины), m
Решение уравнения (1.5)
и тепловой поток через стенку (пластину)
Величину δ/λ = R, (m2·K)/W называют термическим сопротивлением стенки
(пластины). Часто плоская стенка состоит из слоев нескольких материалов
различной толщины, и для нахожения термического сопротивления многослойной
стенки следует сложить значения термических сопротивлений слоёв. При этом
предполагается, что между слоями существует идеальный тепловой контакт, т.е.
контактные сопротивления пренебрежительно малы. Таким образом, термическое
сопротивление из n слоев состоящей стенки запишется:
где λi – коэффициент теплопроводности слоя i
δi
- толщина слоя i
Поверхностная плотность теплового потока многослойной стенки:
Эквивалентным коэффициентом теплопроводности
многослойной стенки
называется такой к-т теплопроводности однослойной (гомогенной) стенки,
толщина которой и термическое сопротивление равны соответствующим
величинам многослойной стенки.
3
Таким образом
Эквивалентный коэффициент теплопроводности
теплопроводности слоёв, так и от толщины слоёв.
зависит
как
от
к-тов
В случае граничных условий III (третьего) рода. (известна температура
окружающей среды tv и коэффициент теплоотдачи α):
где 1/α1 - термическое сопротивление теплоотдаче между средой 1 и внешней
поверхностью стенки;
1/α2 - термическое сопротивление теплоотдаче между средой 2 и внешней
поверхностью.
Тепловой поток от среды 1 к среде 2 через разделяющую их стенку запишется :
Сумму термических сопротивлений
R = 1/α1 + δ/λ + 1/α2
сопротивлением теплопередачи и его обратная величина k = 1/R
коэффициент теплопередачи.
В случае
запишется:
называют
W/m2·K –
многослойной стенки термическое сопротивление теплопередачи
В случае граничных условий II ( второго) рода (задается величина плотности
теплового потока q на поверхности тела, где q= const) находят соответствующие
формулы аналогично формулам при условиях III (третьего) рода, принимая, что
α→∞, т.е. интенсивность теплоотдачи бесконечна велика и таким образом,
температуры среды и стенки ураниваются между собой.
Например, если α1 →∞ и α2 →∞ формула (1.12) принимает вид :
4
что совпадает с формулой (1.7) q = -λ· dt/dx = λ/δ (ts1 – ts2) = (ts1 - ts2) / (δ/λ) - как при
условиях I рода (ts = const), но в данном случае пограничными условиями задана
плотность теплового потока q.
Зависимость к-та теплопроводности λ от температуры рассматриваем
линейной:
λ = λ0 (1 + b·t) , W/ (m·K)
В этом случае формулы (1.6) t = ts1 ± (ts1 – ts2)/δ ·x и (1.7) обретают вид:
Цилиндрическая стенка
При граничных условиях I (первого) рода (ts = const) d = d1, t = ts1 , d =d2, t = ts2
температурное поле цилиндрической стенки запишется следующим образом:
где d2 и d1 - наружный и внутренний диаметр соответственно.
Тепловой поток можно рассматривать через внутреннюю поверхность (q1, W/m2),
внешнюю поверхность (q2, W/m2) и вдоль цилиндрической стенки (qL , W/m) :
Тепловой поток вдоль трубы называют линейным тепловым потоком:
5
где
- линейное сопротивление цилиндрической стенки
m∙K/W
Линейный тепловой поток для многослойной стенки:
При граничных условиях III рода (известна температура окружающей среды tv и
коэффициент теплоотдачи α W/m2·K) температуру поверхности стенки трубы
находят по формуле:
Линейный тепловой поток:
Величины
и
называют линейным термическим
сопротивлением теплоотдачи, а величину kL - линейным сопротивлением
теплопередачe.
В случае многослойной цилиндрической стенки
линейное термическое
сопротивление RL∑ записывается суммой термических сопротивлений слоев:
Критическим диаметром цилиндрической стенки dkr при граничных условиях
III рода называется значение наружного диаметра d2, которому соответствует
минимальное значение линейного термического сопротивления теплопередаче kL.
Если принять, что d1 = const , то критический диаметр запишется как
6
Если d2 < dkr, то при увеличении d2 тепловой поток через цилиндрическую стенку
увеличивается .
Если d2 > dkr, то при увеличении d2 тепловой поток через цилиндрическую стенку
уменьшается.
В технических расчетах тонкостенные (d2/d1 = 1,8) трубы можно рассматривать как
плоскую стенку. В этом случае тепловой поток рассчитывается как:
где k находят по формуле (1.13)
δ = (d1 + d2) / 2.
Величину dx выбирать следующим образом:
если α1>>α2, тогда dx= d2
если α1<<α2, тогда dx= d1
если α1≈α2, тогда dx= (d1+d2)/2
Сферическая стенка
При граничных условиях I рода (ts= const ) температурное поле принимает вид:
где d1 и d2 - внутренний и наружный диаметр сферической стенки
ts1 и ts2 - температура внутренней и внешней поверхности сферической стенки
Тепловой поток через сферическую стенку запишется формулой:
7
При граничных условиях III рода (известна температура окружающей среды tv и
коэффициент теплоотдачи α W/m2·K) тепловой поток рассчитывают по формуле:
8