Лекция 7. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ

Лекция 7. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ
РЕЖИМЕ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
7.1 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через
однослойную плоскую стенку
7.2 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через
многослойную плоскую стенку7.3 Теплопроводность при стационарном режиме и
граничных условиях I рода через однослойную цилиндрическую стенку
7.4 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через
многослойную цилиндрическую стенку
7.5 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через
шаровую стенку
7.1 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных
условиях I рода через однослойную плоскую стенку
Рассмотрим случай теплопроводности в плоской однослойной стенке.
t
q
tст´
tст´´
dx
δ
x
Рис. 7.1 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ = const
Стенка однородна и изотропна. Дифференциальное уравнение
теплопроводности позволяет определить температуру в зависимости от
времени для любой точки рассматриваемой стенки.
  2t  2t  2t 
t
 à   2  2  2  .

y
z 
 x
(7.1)
Сформулируем условия однозначности.
1)
Температуры поверхностей стенки tст´ и tст´´ поддерживаются
постоянными, т.е. поверхности стенки являются изотермными поверхностями.
Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости
стенки, которое принимаем за х.
2)
Длина и ширина этой стенки бесконечно велики по сравнению с ее
толщиной δ. Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину.
3)
Коэффициент теплопроводности λ постоянен для всей стенки.
4)
Граничные условия I рода: При х =0 tст´=const, а при х = δ tст´´=const.
2
При стационарном тепловом режиме, температура в любой точке тела не
зависит от времени, т.е.
t
0.

При принятых условиях первые и вторые производные от t по y и z также
равны
 2t
 2t
 0; 2  0 .
y 2
z
нулю:
А
коэффициент
температуропроводности
вещества стенки а не может быть равен нулю. Поэтому уравнение (7.1) для
рассматриваемого случая запишется:
 2t
 0;
x 2
(7.2)
После интегрирования уравнения (7.2):
t
 const  A .
x
(7.3)
После вторичного интегрирования:
t = A·x + B.
(7.4)
Так как задано, что λ постоянен, то уравнение (7.4) является уравнением
прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении
теплоты через плоскую однослойную стенку будет линейным.
Из граничных условий определятся постоянные интегрирования А и В.
При х =0, температура стенки равна tст´, т.е.
t = tст´ = В;
при х = δ, t = tст´´= А·δ + tст´, откуда:
À
  t ñò

t ñò


t
.
x
(7.5)
Из уравнения Фурье плотность теплового потока:
t   t 
 t 
 t 
q           ñò ñò .

 õ 
 n 
Абсолютная величина плотности теплового потока в стенке:
q

  t ñò
  , Вт/м2.
 t ñò

(7.6)
Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки
площадью F за время τ:
Q

 t   t    F   , Дж.
 ñò ñò
(7.7)
А тепловой поток в единицу времени:
Q

 t   t    F  , Вт.
 ñò ñò
(7.8)
Уравнение для вычисления плотности теплового потока при переменном
коэффициенте теплопроводности, зависящем от температуры, получено также
на основе уравнения Фурье:
q
0

t   t 

 1  b ñò cò
2

 
 ) , Вт/м2.
  (t cò  t ñò
(7.9)
В этом уравнении коэффициент теплопроводности принят равным средне
интегральной величине в заданном интервале температур:
3


ñð  0  1  b
  t cò

t ñò
2

 , Вт/м·град.
(7.10)
А уравнение температурной кривой в стенке:
2
2qx 1 о
1  
t x    tñò
 , С.
 
0b b
b

(7.11)
В уравнениях 7.9, 7.10, 7.11 b – коэффициент, определяемый
экспериментально.
Из уравнения (7.11) следует, что при λ зависящем от температуры,
температура внутри стенки изменяется по кривой (см. рис. 7.2). Если
коэффициент b отрицателен, то кривая будет направлена выпуклостью вниз,
если коэффициент b – положителен, то выпуклостью вверх.
t
b>0
tст´
tст´´
dx
b<0
δ
x
Рис. 7.2 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ ≠ const
7.2 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных
условиях I рода через многослойную плоскую стенку
В ограждающих конструкциях зданий и теплоиспользующих установках
часто встречаются стенки, состоящие из нескольких плоских слоев различных
материалов.
Расчетную формулу для определения теплового потока при
теплопроводности через многослойную стенку получают из уравнения
теплопроводности для отдельных слоев, полагая, что:
- тепловой поток, проходящий через любую изотермную поверхность
многослойной стенки, один и тот же;
- все слои плотно прилегают друг к другу;
- все слои состоят из однородных и изотропных материалов.
4
t
λ1
tcт1
λ2
λ3
tcт2
tcт3
tcт4
δ1
δ2
δ3
х
Рис. 7.3 Теплопроводность в плоской многослойной стенке при λ = const
для каждого слоя
Для вывода такой формулы рассмотрим трехслойную стенку, в которой
толщины отдельных слоев равны δ1, δ2 и δ3, а коэффициенты теплопроводности
материалов этих слоев - λ1, λ2 и λ3. Температуры наружных поверхностей
стенки равны tcт1 и tcт4, а температуры между слоями tcт2 и tcт3.
Тепловой поток для каждого слоя, согласно уравнению Фурье:
Q
1
 F t ñò 1  t ñò 2 , Âò
1
(7.12)
2
 F t ñò 2  t ñò 3 , Âò
2

Q  3  F t ñò 3  t ñò 4 , Âò .
3
Q
(7.13)
(7.14)
Записав эти уравнения относительно разности температур для каждого
слоя, а затем просуммировав полученные уравнения получим:
Q 1
 ,
F 1
Q 
  2,
F 2
Q 
  3.
F 3
t ñò 1  t ñò 2 
t ñò 2  t ñò 3
t ñò 3  t ñò 4
Q  1  2  3 
 
 ,
F  1 2 3 
F  t ñò 1  t ñò 4 
Откуда: Q 
,
1  2  3


1 2 3
F  t ñò 1  t ñò n 1 
или для n –слоев: Q 
.
i n
i

i 1 i
tñò 1  tñò 4 
(7.15)
(7.16)
5
Отношение δ/λ = R - называется термическим сопротивлением слоя, а
i n
i
i 1
i

величина
- полным термическим сопротивлением многослойной плоской
стенки.
В практических расчетах тепловой поток в плоской многослойной стенке
иногда рассчитывают как в однородной, вводя эквивалентный коэффициент
теплопроводности для этой стенки:
i n
ýê 

i 1
i n
i
i

i 1 i
, тогда Q 
ºê  F tcò 1  tñò n 1 
i n

i 1
.
i
Температуры между слоями многослойной стенки, с учетом плотности
теплового потока (Q/F = q):
1
,
1

 t ñò 2  q  2
2

 t ñò 3  q  3 .
3
t ñò 2  t ñò 1  q 
t ñò 3
t ñò 4
Температура в каждом слое стенки при принятом постоянном
коэффициенте теплопроводности изменяется по линейному закону, а для
многослойной стенки – график изменения температуры в стенке представляет
собой ломаную линию.
7.3 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных
условиях I рода через однослойную цилиндрическую стенку
И в тепловых аппаратах, и в трубопроводах в технике имеет место
процесс теплопроводности в цилиндрической стенке.
Расчетную формулу для определения теплового потока при
теплопроводности через цилиндрическую стенку получают из уравнения
Фурье, полагая, что:
- внешняя и внутренняя поверхность прямой цилиндрической трубы
поддерживаются при постоянных температурах tcт2 и tcт1 соответственно.
Следовательно,
изотермные
поверхности
будут
цилиндрическими
поверхностями, имеющими общую ось с трубой, а температура будет меняться
только в направлении радиуса. Поэтому вектор теплового потока также будет
радиальным и температурное поле можно рассматривать как одномерное
(поскольку принято равномерное распределение температур по внешней и
внутренней поверхности трубы):
t = f (r).
- труба имеет бесконечную длину;
- рассматривается участок трубы длиной l.
6
d1
r1
tcт1
dr
r
tcт2
r2
d2
Рис. 7.4 Теплопроводность в цилиндрической однослойной стенке при λ =
const
Внутри цилиндрической стенки выделим кольцевой слой радиусом r и
толщиной dr. Площадь поверхности F на расстоянии r от оси равна 2π r l. Так
как выделенный слой dr бесконечно малой толщины, то можно принять его
внутреннюю и наружную поверхности одинаковыми, и рассматривать этот
элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между его
поверхностями так же будет малой величиной равной dt.
Согласно закону Фурье:
Q = - λ·F· (dt/dr),
(7.17)
Или для кольцевого слоя:
Q = - λ·2π· r·l· (dt/dr).
(7.18)
Разделив переменные, получим:
dt  
 dr 
 .
2l  r 
Q
(7.19)
Интегрируя это уравнение в пределах от tcт1 до tcт2 и от r1 до r2 при λ =
const, получим:
tñò 2
r2
tñò 1
r1
 Q   dr 
 dt     2l    r  ,
t ñò 1  t ñò 2 
Q
2l
 ln
r2
,
r1
(7.20)
откуда тепловой поток:
Q
l t ñò 1  t ñò 2 
.
d2
1
 ln
2
d1
(7.21)
Анализируя полученное уравнение (7.21) можно заключить, что тепловой
поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными
граничными условиями (tcт1 и tcт2) и зависит от отношения наружного диаметра
7
к внутреннему, а распределение температур в стенке цилиндрической трубы
представляет собой логарифмическую кривую.
Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы – линейная
плотность теплового потока:
ql 
Q 2  t ñò 1  t ñò 2 

, Вт/м.
d
l
ln 2
d1
(7.22)
Также тепловой поток может быть отнесен к 1 м2 внутренней q1 или
внешней поверхности трубы – q2.
q1 
q2 
2  t ñò 1  t ñò 2 
Q

, Вт/м2
d2
d1l
d 1  ln
d1
(7.23)
2  t ñò 1  t ñò 2 
Q

,Вт/м2
d
d 2 l
d 2  ln 2
d1
(7.24)
7.4 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных
условиях I рода через многослойную цилиндрическую стенку
Рассмотрим цилиндрическую стенку, состоящую из трех плотно
прилегающих друг к другу слоев с коэффициентами теплопроводности
материалов этих слоев - λ1, λ2 и λ3. Диаметры слоев – d1, d2, d3, d4. Температуры
внутренней и наружной поверхностей стенки равны tcт1 и tcт4, а температуры
между слоями tcт2 и tcт3. Температура каждого слоя стенки изменяется по
логарифмической кривой, а общая температурная кривая представляет собой
ломаную логарифмическую кривую.
При стационарном режиме теплопроводности через все слои проходит
одинаковый тепловой поток.
Q
21l  t ñò 1  t ñò 2 
,
d2
ln
d1
22 l  t ñò 2  t ñò 3 
,
d3
ln
d2
23l  t ñò 3  t ñò 4 
Q
.
d
ln 4
d3
Q
Решим полученные уравнения относительно разностей температур, а
затем полученные результаты почленно просуммируем:
8
d2
,
21l
d1
d
Q

 ln 3 ,
22 l
d2
d
Q

 ln 4 .
23l
d3
t ñò 1  t ñò 2 
+
t ñò 2  t ñò 3
t ñò 3  t ñò 4
tñò 1  tñò 2 
Q
 ln
d
d
d 
Q 1
1
1
   ln 2   ln 3   ln 4  ,
2l  1
d1 2
d 2 3
d3 
откуда:
Q
2l  t ñò 1  t ñò 4 
, Вт.
d3 1 d4
1 d2 1
ln
 ln
 ln
1 d 1 2 d 2 3 d 3
(7.25)
Для стенки, состоящей из n-слоев:
Q
2l  t ñò 1  t ñò n 1 
.
i n
1 d i 1
ln

di
i 1 i
(7.26)
Величина
эквивалентного
коэффициента
теплопроводности
многослойной цилиндрической стенки определится по аналогии с плоской
многослойной стенкой:
d i 1
di
ýê  i n
,
1 d i 1
ln

di
i 1 i
 ln
(7.27)
Тогда тепловой поток:
Q
2ýê  t ñò 1  t ñò n 1 
.
i n
d i 1
ln

di
i 1
(7.28)
Температуры между слоями определятся:
d2
,
21l
d1
d
Q
 ln 3 ,
tñò 3  tñò 2 
22 l
d2
d
Q
 ln 4 и т.д.
tñò 4  tñò 3 
23l
d3
tñò 2  tñò 1 
Q
 ln
(7.29)
(7.30)
(7.31)
7.7 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных
условиях I рода через шаровую стенку
В тепловых аппаратах стенки иногда бывают сферическими, например, в
варочных вращающихся печах, имеющих шаровидную форму, поэтому
возникла необходимость получения формулы для вычисления теплового потока
через сферическую стенку.
9
Расчетную формулу для определения теплового потока при
теплопроводности через шаровую стенку получают из уравнения Фурье,
полагая что:
- источник теплоты находится внутри шара и постоянный тепловой поток
направлен через шаровую стенку по направлениям радиусов шара;
- температура изменяется только в направлении радиуса;
- изотермные поверхности представляют собой концентрические
шаровые поверхности – температура внутренней поверхности tcт1, наружной
tcт2;
- коэффициент теплопроводности материала стенки λ = const;
- внутренний радиус шара r1, наружный – r2.
dr
r1
tcт1
r
r2
tcт2
Рисунок 7.5 Теплопроводность в шаровой однослойной стенке при λ =
const
Тепловой поток, проходящий через шаровой слой радиусом r и толщиной
dr, в соответствии с уравнением Фурье:
 dt 
 dt 
Q    F       4r 2   ,
 dr 
 dr 
(7.32)
После разделения переменных:
dt  
Q  dr 
  .
4  r 2 
(7.33)
Интегрируя последнее уравнение по t и r, а постоянную интегрирования
определяя из граничных условий при r = r1 → t = tcт1, а при r = r2 → t = tcт2,
получим:
Q
4  tñò 1  tñò 2  2  t ñò 1  t ñò 2 

.
1 1
 1
1 
  
  
 r1 r2 
 d 1 d2 
(7.34)