Сибагатова Лена Салимовна Учитель математики I категория, 13р Пед. стаж 38 лет

Сибагатова Лена Салимовна
Учитель математики
I категория, 13р
Пед. стаж 38 лет
ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
План:
I.
О чем «молчит» учебник?
II.
Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр:
1. Аналитический способ
2. Графический способ
III. Решим относительно параметра
I.
О ЧЕМ «МОЛЧИТ» УЧЕБНИК?
Очередной раз прошли экзамены по алгебре и началам анализа в XI классе и
неуловимо приближается время вступительных экзаменов в ВУЗы. Волнения,
связанные с этими экзаменами, понятны
каждому учителю
математики,
выпускавшему XI класс хотя бы раз за последние 7-8 лет. Ситуация такова, что
ученик, умеющий решать даже все задачи ныне действующих учебников для
общеобразовательных классов, имеет мало шансов выполнить экзаменационную
работу на «5».
Этот печальный вывод подкреплю следующими заданиями с параметром, с
которыми учащиеся впервые встретились лишь на выпускных экзаменах (В скобках
указан год экзамена):
1. При каких значениях а уравнение: Sin2x + (a + 2) Sin x + 3a + 1 = 0 не имеет
корней (1998 год).
2. Для всех значений а решите неравенство: х2 – (а + 2)х + 2а ≤ 0 (№11-99.
А-12-ВШ).
_________
3. При каких значениях а неравенство: √х2-10х+26 ≥ а² +2а – 3
а² +2а-8
выполняется для всех значений х ?
(№1-99 А-11)
3
2
4. При каких значениях а уравнение х -3х -24х+а =0 имеет ровно два различных
корня?
II.
При каких значениях а уравнение х3+6х2-15х+а = 0 имеет ровно два различных
корня? (№7-00 А-11)
III. При каких значениях параметра а уравнение х2- (3а-1) |х| + 2а2 –а = 0 имеет 4
различных решений? (№1-94 А-11)
IV. Найдите все такие значения а , что функция у=(х2-3)е1-х возрастает на интервале
(а; а+2) (№8-94 А-11)
Абитуриента, который берется за подобную задачу, поджидает несколько
трудностей. Первая состоит в том, что вы вкаких (частодаже физико-математических)
школах такие задачи решать не учат, поэтомы надо действовать на свой страхи риск.
А это очень не просто, так как среднему школьнику частотрудно даже понять решение
задачи такого типа. К примеру, как подступится к задаче, в которой сказано: “Решите
уравнение такое-то для любого а “ ? многие мои ученики в таком случае задают мне
вопросы типа: “Это как?- Подставить какое-нибудь значение и решит?”
Приведенный вопрос иллюстрирует вторую существенную трудность –
логическую. Увы, правильное логическое мышление от природы не дается, - в нем
себя нао развивать даже людям, способным к математике. И это недостаточно.
Надоподготовить себя морально к серьезной борьбе с собой. Работу на кажддом
уроке проводим обычным образом, но обратим серьезнейшее внимание на оформление
ответа. Именно ответы могут проиллюстрировать нам то, что задача внимательно
решена для всех а.
Предалагаю подборку некоторых идей и методов, которые бывают востребованы
на экзамене, хотя в учебниках для X-X1 классов об этих идеях и методах
непосредственно ничего не сказано.
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТР
1. Аналитический метод решения алгебраического уравнения
Аналитический метод состоит из нескольких этапов. Если коэффициент при
старшем члене уравнения содержит параметр, то решение обычно начинают с
рассмотрения случая, когда коэффициент при старшем члене равен нулю. В других
случаях- с нахождения ОДЗ. Затем уравнение решают обычным образом, допуская
лишь равносильные переходы. Записав формулы корней уравнения, проводят
исследование того, при каких значениях параметра получаются допустимые значения
корней. Последним этапом решения является объединение
всех полученных
результатов. В ответе для каждого возможного значения параметра должны быть
записаны формулы корней уравнения.
Уравнения (или неравенства) называются равносильными, если множества их
решений совпадают.
Упражнения:
1. Каким может быть множество решений квадратного уравнения или квадратного
неравенства?
2. Уравнение х2+bх-с=0 имеет корни тогда и только тогда, когда Д=b2-4ас ≥ 0.
3. Корнями квадратного трехчлена ах2+bх+с называются корни (если они
существуют) уравнения ах2+bх+с=0.
4. Уравнение ах2+bх+с=0 имеет при b≠0 не более двух корней.
Упражнение. А когда оно может иметь больше двух корней?
5. (Теорема Виета). Пусть дано уравнение ах2+bх+с=0 и а≠0. Пусть х1 и х2 –
различные его корни, то
х1+х2=b/а
х1х2=с/а
Если это уравнение имеет единственный корень х1, то теорема Виета
останется верной, если положение х2=х1.
6. Счастливый случай теоремы Виета. Если уравнение х2+рх+q=0 имеет
различные корни х1 и х2, то
х1+х2=-р
х1х2=q
Если это урвнение имеет единственный корень х1, то, если положить х2=х1,
указанные равентва будут выполняться.
7. Если уравнение х2+рх+q=0 имеет различные корни х1 и х2, то имеет тождество
х2+рх+q=(х-х1)(х-х2). Если имеется единственный корень х1, то х2+рх+q=(х-х1).
8. Если уравнение ах2+bх+с=0 имеет при а≠0 два различных корня х1 и х2, то
имеет место тождество ах2+bх+с=а(х-х1)(х-х2). Если имеется единственный
корень х1, то ах2+bх+с=а(х-х1)2.
9. В частности, если известно, что х1 и х2 – корни квадратного уравнения с
ненулевым коэффициентом при х2, то это уравнение можно записать в виде
х2-(х1+х2)х+х1х2=0. Обратим внимание, что х1 и х2 здесь – конкретные числа, а х
– переменная.
10. Не рецептом, но помощью против логических трудностей при решении задач с
параметром можно считать выучивание наизусть фразу о том, что требуется найти
в задаче и повторение ее (скажем, 100 раз) до тех пор, пока она сама неотвязно
будет вертеться в голове. Эта вертящаяся в голове фраза поможет рассуждать в
нужном направлении.
Задача №1. Найти все числа р и q такие, что корни уравнение х2+рх+q=0 равны
р и q.
Решение: пусть р и q удовлетворяют условно задачи. Тогда, согласно теореме
Виета имеем:
р+q=-р
р=0
р=1
рq=q
q=0
q=-2
Если надо проверить, что обе эти пары удовлетворяют условию – ведь мы нашли
их предположив, что они таковы, как требуется. Это делается просто подстановкой.
Ответ: р=q=0, или р=1, q=-2
Задача №2. Найти все значения а, при которых сумма квадратов корней
уравнения х2-ах+а+7=0 равна 10.
Решение: для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения чему-то равнялась,
эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен
быть неотрицательным, т.е.
_
_
2
а -4(а+7) ≥0
а Є (- ∞,2 –4√2 | v |2+4√2; +∞)
При каких а у исходного уравнения найдутся (возможно совпадающие) корни х1
и х2. Запишем для них теорему Виета:
х1+х2=а
х1х2=а+7
Теперь, не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через а:
х12+х22=(х1+х2)2-2х1х2=а2-2(а+7). Согласно условию, эта сумма квадратов равна 10,
откуда получаем квадратное уравнение: а2-2(а+7)=10 а
а = в, -4.
Легко можно увидеть, что при а=6 дискриминант исходного уравнения
отрицательный, а число а = - 4 подходит.
Ответ: а = - 4
Задача №3. При каких а корни х1, х2 уравнения х2 +ах+1 = 0 таковы, что
х1 2
х2 2
-+
-< 5/2__
х2
х1
Решение: корни имеются, если и только если дскриминант Д = а2–4 не
отрицателен. Это имеет место только при |а| ≥ 2. Так же, как и в предыдущей задаче,
мы можем найти указанное выражение от корней, не находя самих корней:
х14 + х24
(х1/х2)2 + (х2/х1)2 = ----------- = х14 + х24 = (х12 + х22 ) 2 - 2 х12 х22 = ((х1 + х2)2 – 2)2 – 2 =
х12 х22
= (а2 –2)2 – 2
- мы неоднократно воспользовались тем, что по теореме Виета, имеем
х1/х2 = х12 х22 = 1 и
х1 + х2 = - а.. Нам остается решить неравенство: (а2 –2)2 – 2 < 5/2
_______ _______
а Є ( - √2 + 3/√2 , √2 + 3/√2 ). Учтя условия на дискриминант, получим ответ:
_______
_______
а Є ( - √2 + 3/√2 , - 2 v 2 , √2 + 3/√2 ).
Задача №4. При всех а решить уравнение ах2 – 2х +4 = 0.
Решение: если а =0, то уравнение не является квадратным, легко решается – в
этом случае х=2.
При а=0 уравнение становится квадратным, и его решения зависят от
дискриминанта Д = 22 – 4•4• а = 4-16а.
Если дискриминант отрицателен ( это равносильно тому, что а> ¼; то уравнение
не имеет решения.
Если Д=0 а=1/4, то уравнение имеет единсвтенный корень х=4.
Если Д >0 а<1/4, то уравнение имеет два корня:
____
____
1 - √1-4а
1+ √1-4а
х 1 = ------------ и х 2 = -----------а
а
Ответ :
если а> ¼, то решений нет;
Если а=1/4, то х=4;
Если а <1/4, то а =0, то есть два корня:
____
____
1 - √1-4а
1+ √1-4а
х 1 = ------------ и х 2 = -----------а
а
Если а=0, то х=2.
Задача №5. При всех а решить неравенство (1-а2 ) х 2 + 2ах +1 ≥ 0
Решение: исследуем сначала случай, когда неравенство не является квадратным,
то есть когда 1-а2 =0
а = ±1
Если а=1 то 2х +1 ≥ 0
х ≥ -1/2
Если а=-1, то –2х+1≥ 0
х≤ ½
Пусть теперь 1-а > 0
а Є (-1;1). В этом случае у параболы ветви идут
вверх, причем, если она имеет корни х1,х2,
х1 ≤ х2, то неотрицательна при
х Є (- ∞, х1 | v | х2; +∞). Если корней у параболы нет, то она не отрицательна при всех
х.
Корни имеются при Д=(2а)2 - 4(1-а2 ) ≥ 0
|а| ≥ 1/√2. Значит, если
а Є (-1, 1/√2 ) v (1/√2; 1),
______
______
2
-а - √2а – 1
-а+ √2а2 - 1
то х Є (-∞, ----------------) v ( -----------------, ∞).
1- а2
1- а2
При |a|<1/√2, то любое х будет решением данного неравенства. Нам остался
случай, когда 1-а2 <0
|a|> 1. Заметим, что тогда Д автоматически больше 0, так
что, с учетом того, что ветви параболы идут вниз, получим, что решение исходного
неравенства лежат между корнями соответствующего квадратного трехчлена.
Последний подводный камень здесь – это возможность неправильно определить, какой
из двух больше. Числитель очевидно, больше там, где радикал взят знаком плюс, но
знаменатель отрицателен, так что больше тот корень, где у радикала знак минус
значит, в том случае
______
______
-а + √2а2 – 1 -а - √2а2 - 1
х Є ( ----------------, ------------------).
1- а2
1- а2
Ответ: если а=1, то х ≥-1/2; если а = -1, то х ≤ 1/2; если |a|>1, то
______
______
-а + √2а2 – 1 -а - √2а2 - 1
х Є ( ----------------, ------------------).;
а Є (- 1;1/√2 | v |1/√2; 1), то
1- а2
1- а2
-а - √2а2 – 1
-а + √2а2 - 1
х Є ( - ∞; ----------------) v ( -----------------;
∞ ).; если |а| < 1/√2, то х – любое число.
1- а2
1- а2
Задача №6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(а-2)х2 - 2ах + 2а –3 =0 имеет корни и определить знаки корней.
Решение: и в этой задаче теорема Виета позволяет обойтись без вычисления
корней. Корни имеются, когда дискриминант Д=(2а)2 - 4(а-2)(2а-3) ≥ 0
1 ≤ а ≤ 6.
Если Д ≥ 0 и а-2 ≠ 0, то уравнение имеет корни х1, х2. (быть может
совпадающие) такие, что х1 + х2 = а/ (а-2) и х1 х2 = (2а-3)/ (а-2).
Выражение вида а/(а-2) неотрицательно, если и только если а≤0 или а≥2.
Выражение (2а-3)/ (а-2) > 0
а є (- ∞, 3/2) ν ( 2, + ∞).
Заметим теперь, что за знаком произведения и суммы чисел можно определить
знаки этих чисел, не находя их. Например, если произведение х1х2 отрицательно, то х1
и х2 имеют разные знаки. Если х1х2>0, то оба корня либо положительны, либо
отрицательны. Причем, они оба положительны, если их сумма положительна и
отрицательны, если х1+х2<0.
При 1 ≤ a ≤ 3/2 сумма корней отрицательна, а произведение положительно, ит.е.
они оба отрицательны. Если 3/2 < a < 2, то произведение корней отрицательно, так что
один из них положителен, а другой – отрицателен.
Наконец, если 2<a≤6 , то и сумма и произведение положительны, оба корня
положительны.
Ответ: уравнение имеет корни при 1<a≤6 . При 1≤a<3/2 оба корня
отрицательны, при а =3/2 один корень равен 0, а второй отрицателен. При 3/2<a<2
корни имеют разные знаки, при а=2 есть лишь один корень х=0, при 2<х≤6 корни
положительные.
Задача №7. Решить уравнение (а2 –4)х = а –5а+6.
Решение:
Случай 1. а2 –4=0. Тогда а=-2 или а=2.
Если а=-2, то исходное уравнение принимает вид 0 х =20 и корней не имеет.
Если а=2, то получаем уравнение 0 х=0, для которого любое действительное
число является корнем.
Случай 2. а2 - 4 ≠ 0, т.е а є {-2; 2}. Выразим х через а:
х = (а2 – 5а + 6)/ (а2 –4), х = (а-2)(а-3)/ (а-2)(а+2), х = (а-3)/ (а-2).
Ответ:
если а=-2, то корней нет;
если а=2, то то х любое,
если а є {-2; 2}, то один корень х=(а-2)/ (а+2).
Задача №8. Решите уравнение: а/ (х-2) + (х+4)/ (х-5) = 1.
Решение: ОДЗ: х≠2; х≠5.
Умножим обе части уравнения на произведение (х-2) (х-5), не равное нулю:
а(х-5) + (х-2)(х+4) = (х-2)(х-5), х(а+9) = 5а+18.
Получили линейное уравнение с параметром а.
Случай 1: а+9=0, а=-9. Тогда х 0 = -27, корней нет.
Случай 2: а+9=0, а=-9. Тогда х=(5а+18)/ (а+9).
(*)
Найдем, при каких а по формуле (*) получаются запрошенные (не входящие в
ОДЗ) значение х.
Первое запрошенное значение х=2
(18+5а)/ (а+9) = 2, 18+5а = 2а +18
а≠-9
а=0.
Таким образом, если а=0, уравнение корней не имеет.
Второе запрошенное значение х=5.
(18+5а)/ (а+9) = 5, 18 + 5а = 5а +45
а≠-9
Решений нет, то есть ни при каком а по формуле (*) не получится х=5.
Ответ:
если а=-9 или а=0, то корней нет;
если а є {-9; 0}, то один корень х = (5а +18)/ (а+9).
2. Графический способ решения
Речь идет о решении негеометрических задач геометрическими методами.
Точнее было бы назвать эти методы координатными, так как применение их состоит в
изображении на координатной плоскости графиков и множеств, относящихся к
заданной ситуации, и в зависимости от геометрических свойств последних, упрощение
рассматриваемой задачи.
Задача №1. При каких значениях а система
х2 +у2 = z
Х +у + z = а
имеет единственное решение?
Решение: Ясно, что система имеет единственное решение тогда, и только тогда, когда
уравнение х2 +у2 + х + у = а
(х+1/2)2 + (у+1/2) 2 а + ½ имеет единственное
решение.
Но множество точек, задаваемых на плоскости этим уравнением, пусто, если
а < - ½, состоит из одной точки, если а = - ½, и является окружностью с центром
(-1/2; -1/2) радиуса √а+1/1 при а > - 1+2, т.е имеет в этом случае бесконечное
множество решений. Теперь уже ясно, каков в этой задаче ответ: а = - ½
Задача №2: При каких значениях а уравнение ||х| - а| = а2 имеет ровно два
решения?
Решение: Ясно, что в случае, когда а = 0, уравнение имеет ровно одно решение.
Предположим, что а < 0. Тогда выражение, стоящее под внешним модулем, будет
положительно и этот модуль можно опустить. График функции у = |х| - а изображен
для таких а на рисунке 1.
Рис. 1
Исходное уравнение будет иметь два решения тогда и только тогда, когда прямая у=а2
будет пересекать уголок в двух точках. Ясно, что это произойдет тогда, когда
а2 > |а| ↔ а < -1. График левой части при а > 0 изображен на рисунке 2.
Рис. 2
Горизонтальная прямая пересекает этот график в двух точках, если она лежит
выше прямой у=а, либо совпадает с осью абсцисс. Но у нас а > 0, так что прямая у =а 2
не может совпадать с осью абсцисс. Значит , остается случай, когда а2 > ↔ а > 1.
Ответ: при |а| > 1.
III. РЕШИМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРА
Уравнения, квадратные относительно параметра
Задача №1: Решите уравнение: 2х3 – (а+2)х2 - ах + а2 =0.
Решение: Данное уравнение – квадратное относительно а: а2- а(х2+х) +2х3 – 2х2 =0,
его дискриминант: Д = (х2 + х)2 – 8х3 + 8х2 = х 2 (х-3)2 – полный квадрат. Поэтому:
а = (х2+2+х(х-3))/2, отсюда либо а = х2-х, либо а= 2х, т.е. либо х =2/2,
либо
х = (1 ±√1+4а) ·1/2.
Учитывая условия существования корней, получаем ответ:
1) х =а/2 при а < - ¼, х1 = - 1/8
____
2) х2 = ½ при а = - ¼, х1 = а/2, х2,3 = (1±√1+4а) /2 при а > - ¼, а ≠0, а ≠6.
3) х1 = 0, х2 = 1 при а=0
4) х1 = -2, х3 = 3 при а= 6
Иррациональные уравнения с параметром
Задача №1: Решите уравнение:
______
√а-√а+х = х.
Решение: Избавление от радикалов приведет к уравнению четвертой степени
относительно х. Поэтому попробуем решить относительно а.
Заметим, что х ≥ 0. Избавляем отрадикалов, приходим к уравнению:
2
а -а(2х2+1)+х4-х=0, решить которое мы должны при дополнительных ограничениях
х ≥ 0 и х2 ≤ а.
Решая относительно а
квадратное уравнение, получим а = х2 + х +1,
либо а = х2 - х.
Первое из полученныхуравнений противоречит ограничениям. Для его
неотрицательных корней х2>а (поскольку х ≥ а).
Второе уравнение не имеет корней при а <- е при – ¼ ≤ а <0 не имеет корней,
удовлетворяющих исходному уравнению. При а=0 имеем х=0, при а>0 единственным
неотрицательным корнем, удовлетворяющим всем условиям, будет:
_____
х = (1+√1+4а)/2
____
Ответ: х=0 при а=0; х =(1+√1+4а/2 при а > 0; при а<0 корней нет.
Исследование уравнений средствами анализа
Задача №1: Для каждого значения параметра а выясните,сколько корней имеет
уравнение х3 – ах +2 =0.
Решение: Выразим а через х: а= (х3+2)/х = 2/х + х2 и исследуемфункциювправойчасти
с помощью производной: (х2+2/х)` = 2х-2/х2 = (2(х3-1))/х2.
Верно, что функция убывает при х<0 и 0<х<1, возрастает при х≥1 и имеет при
х=1 локальный минимум. Построив ее график (рисунок 3), видим, что при а<3
уравнение имеет один корень, при а=3 – два корня,при а>3 –три корня.
Рис. 3
Литература:
1. Гусева Н.Б. О чем «молчит» учебник – журнал «Математика в школе» №3, 2000 г.,
стр.22
2. Ткачук. Математика в школе. Том 1, 1998 год. Глава 8. Задачи с параметрами. Стр
414
3. Егоров А. Решим относительно параметра. – журнал «Квант» №4, 1997 год,
стр 43
4. Тексты контрольных работ по алгебре и началам анализа. 1994 год, 1998 год, 1999
год, 2000 год.