Автореферат Альшина
реклама
На правах рукописи АЛЬШИНА Елена Александровна МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ С КОНТРОЛЕМ ТОЧНОСТИ НА КВАЗИРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 01.01.07 – вычислительная математика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук МОСКВА 2006 Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук Научный консультант: Официальные оппоненты: Ведущая организация: член-корр. РАН Николай Николаевич Калиткин член-корр. РАН, доктор физико-математических профессор Сергей Тимофеевич Суржиков доктор физико-математических профессор Александр Николаевич Боголюбов доктор физико-математических профессор Александр Петрович Михайлов Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН наук, наук, наук, Защита состоится « 21 » ноября 2006 г. в ___ ч. ____ мин. на заседании Диссертационного совета Д 002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, г. Москва, Миусская пл. 4а С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан « 16 » октября Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н. 2006 г. Н.В. Змитренко 2 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проверяя адекватность математических моделей путем сравнения с экспериментом нужно быть уверенным, что расчеты проведены с точностью, по крайней мере, на порядок лучше, чем погрешность измеряемых входных данных. Для практического применения результатов расчетов крайне важно не только получить численное решение моделируемой задачи, но и знать, с какой математической точностью этот результат получен. Со времен работ Лагранжа и особенно Коши всякий, установленный числено, результат принято сопровождать надежной оценкой погрешности. Если говорить, например, о численном решении ОДУ, то наиболее распространенными во всем мире сейчас являются программы расчетов с автоматикой выбора шага. Наши многочисленные тесты таких программ на задачах с известным точным решением показывают, что реальная точность расчета может отличаться от декларируемой в 10, 100 и даже несколько тысяч раз, а при расчетах на длительные времена численное решение вообще может не иметь ничего общего с точным. Сложившаяся ситуация не может не вызывать опасений. Тем ни менее надежный способ получения апостериорной асимптотически точной оценки погрешности путем расчета на вложенных сгущающихся сетках предложен еще Ричардсоном уже почти 100 лет назад. В логически законченном виде этот подход изложен в работе Ричардсона [L.F. Richardson, 1927] и известен в учебной литературе как метод Ричардсона, экстраполяция по Ричардсону, правило Рунге. Монография [Г.И. Марчук, В.В. Шайдуров, 1979] посвящена практическим аспектам применения этого метода. Основополагающей является книга [Рябенький В.С., Филиппов А.Ф., 1956], где дано общее достаточное условие применимости метода Ричардсона к сеточным задачам. Как писал сам Ричардсон «развиваемая теория сложна и наводит на мысль, что практика может быть столь же сложной, тогда как в действительности она проста». Возможно, упомянутая Ричардсоном сложность препятствует широкому применению этого метода. Но метод сгущения сеток, являющийся мощным средством для численного решения широкого круга задач с гарантированной точностью, явно недооценен исследователями. Даже 3 математики-прикладники не всегда знают возможности этого метода и как им грамотно пользоваться. Большинство же инженеров, рассчитывающих свои задачи на компьютерах, почти не слышали о нём. Возможность многократного рекуррентного уточнения по методу Ричардсона дает впечатляющий выигрыш в точности и экономичности. В западной литературе этому вопросу посвящены работы Грэга [W.B. Gragg, 1965], Штеттера [B. Gragg, H.J. Stetter, 1964], [H.J. Stetter, 1970], Бауэра, Рутисхаузера, Штифеля [F.L. Bauer, H. Rutishauserand E. Stiefel, 1963] и многих других авторов. Частным случаем этого подхода является метод рациональной экстраполяции Булирша и Штера [R. Bulirsh and J. Stoer 1964, 1966]. Обоснование экстраполяционных методов можно найти в монографии [Штеттер Х., 1978], и в книге [Э. Хайрер и др, 1990]. Другая причина недостаточно активного использования метода сгущающихся сеток в том, что классическая оценка погрешности по Ричардсону была написана только для равномерных сеток. Равномерные сетки невыгодны для мало-мальски сложных задач. Функция и ее производные могут сильно меняться на рассматриваемом промежутке. На тех участках, где производные функции малы вполне допустимо выбирать крупные шаги сетки; там, где производные велики, целесообразно выбирать более густую сетку. Сетки, приспособленные к поведению функции, называют адаптивными. Кроме того, в расчетах используют неструктурированные сетки: с треугольными и пирамидальными ячейками. Этому направлению посвящено огромное число работ, например Азаренка Б.Н., Вабищевича П.Н., Забродина А.В., С.А. Иваненко, Лисейкина В.Д., Петренко В.Е., Г.П. Прокопова, А.Ф. Сидорова, О.В. Ушаковой, Тишкина В.Ф. (а также многих других авторов) и многочисленные конференции. Однако на таких сетках не предложено способов построения аппроксимации высокого порядка точности, не удается воспользоваться классическим методом Ричардсона, получать асимптотически точную оценку точности и проводить рекуррентное уточнение. Среди неравномерных сеток есть один важный класс квазиравномерные. Квазиравномерные сетки предложил А.А.Самарский около 1952 г. (в закрытых отчетах). Опубликована эта идея была в 1960-е г. А.Ф. Сидоровым. Строгое определение таких сеток и возможность обобщения на бесконечную область были даны 4 научным консультантом диссертационной данной работы Н.Н.Калиткиным и опубликованы в 1978 г. В данной работе показано, что такие сетки легко адаптируются ко многим задачам, и при этом позволяют использовать все возможности метода сгущения сеток, получать гарантированную асимптотически точную оценку для погрешности расчета, проводить рекуррентное уточнение. Это позволяет добиваться высокой точности при умеренном объёме вычислений даже для весьма сложных задач. В практике нередко возникают задачи с сингулярными решениями, однако, имеется ли эта сингулярности, и, в какой именно точке, – заранее не всегда известно. Примерами являются задачи на разрушение материалов, электрический пробой (в том числе возникновение молнии) и другие. Один из разделов этой работы посвящен построенному в начале 2005 г. в развитие идей расчетов с контролем точности методу диагностики сингулярности, позволяющему чисто расчетно определить заранее неизвестные местоположение и тип особенности точного решения. Важным классом практических задач являются жесткие и дифференциально-алгебраические системы. Разработкой численных методов решении таких задач в разные годы занимались Абрамов А.А., Артемьев С.С., Арушанян О.Б., Бобков В.В., Боднарчук П.И., Герасимов Б.П., В.Н. Гридин, Демидов Г.В, Заворин А.Н., Захаров А.Ю., Калиткин Н.Н., Кузнецов Е.Б., Лебедев В.И., Е.А. Новиков, Новиков В.А., Макаров В.Л., Мейгауз М.Г., В.Б. Михайлов, Павлов Б.В., Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Федоренко Р.П., Филиппов С.С., Черноруцкий И.Г., Шалашилин В.И., Ширков П.Д., Raimondas Čiegis, Bill Gear, Ernst Hairer, Alan Hindmarsh, Olavi Nevanlinna, Kees Dekker, Jan Verwer, Gerhard Wanner, Michel Roche. Жесткие системы возникают в задачах химической кинетики, радиотехники, электроники, при решении задач теплопроводности и диффузии методом прямых и многих других. Они традиционно трудны для численного решения. Трудности решения сверхжестких и дифференциальноалгебраических систем схожи между собой. Обзор лучших существующих подходов дан, например, в монографии [Хайрер Э., Ваннер Г., 1999]. Методы, описанные в этой монографии, реализованы в стандартных программах, они доступны, например, в сети Internet. Но наши тесты таких программ неоднократно 5 показывали, что их точность может сильно отличаться от заявленной даже на задачах умеренной жесткости. Кроме того, в литературе, как правило, описаны только схемы с действительными коэффициентами, тогда как использование комплексных коэффициентов повышает число степеней свободы и позволяет строить гораздо лучшие по точности и устойчивости схемы с небольшим числом стадий. Применению схемы Розенброка с комплексным коэффициентом для решения сверхжестких и дифференциально-алгебраических задач с гарантированной точностью посвящена одна из глав диссертации. Цель работы состоит в построении численных методов для широкого класса задач математической физики и их реализации в алгоритмах расчетов с гарантированной точностью. Особое внимание уделено надежности предложенных методов даже для таких сложных вычислительных задач, как жесткие и дифференциальноалгебраические системы или вычисление несобственных интегралов от функций со слабым степенным убыванием. Научная новизна. Алгоритм расчета с контролем точности методом вложенных сгущающихся сеток, с использованием рекуррентного повышения точности обобщен и обоснован для случая квазиравномерных сеток, в том числе в неограниченных областях. Разработан ряд новых алгоритмов, пригодных для неограниченных областей. Показаны преимущества применения схемы Розенброка с комплексным коэффициентом для интегрирования сверхжестких и дифференциально-алгебраических систем с гарантированной асимптотически точной оценкой погрешности. Построен метод чисто расчетной диагностики местоположения и типа особенностей заранее неизвестного точного решения. Достоверность. В важнейших случаях строго доказаны теоремы о сходимости предложенных методов. Надежность метода подтверждена большим числом тестовых расчетов на задачах с известным точным решением. Практическая значимость. Построены и обоснованы эффективные методы решения ряда задач, которые ранее не поддавались усилиям математиков-прикладников или решались с большим трудом. В частности, показано, что ряд известных 6 алгоритмов и стандартных программ на самом деле не обеспечивает той точности, которую они обещают пользователю. В то время как развитые в диссертации методы действительно позволяют проводить расчеты с гарантированной точностью. Написаны программы решения ряда прикладных задач, которые могут стать основой стандартных программ. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на многих Всероссийских и зарубежных конференциях. В том числе, на Всемирных Конгрессах Математиков (Пекин, 2002, Мадрид, 2006), на Европейском Конгрессе Математиков (Стокгольм, 2004), на Международных конференциях EquaDiff 2003, 13-th European Conference on Mathematics for Industry (Эйндховен, 2004), 10th International Conference Mathematical Modelling and Analysis и 2nd International Conference Computational Methods in Applied Mathematics (Тракай, 2005), ICTMA 12 Teaching of Mathematical Modelling and Applications, London, 2005, на Международной конференция «Ломоносовские чтения» (МГУ, 2004), на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (2004), на Международной конференций студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005» (Москва, МГУ), IX, X, XI Всероссийских школах-семинарах “Современные проблемы математического моделирования” (Абрау-Дюрсо, 2001, 2003, 2005) и др. В 2004 г. был сделан доклад на Семинаре Научно-технического совета по фундаментальным исследованиям ГНЦ РФ ФЭИ им. А.И. Лейпунского (г. Обнинск), в 2005 г. результаты докладывались на семинаре по нелинейным уравнениям под руководством члена-корр. РАН И.А. Шишмарева (ВМиК МГУ). Результаты, составившие суть диссертации, докладывались в марте 2005 г. на семинаре математического сектора Федерального Ядерного Центра (г. Саров) и на юбилейной конференции, посвященной 85-летию А.А. Самарского. По результатам диссертации по приглашению Лондонского Математического Общества был прочтен цикл лекций весной 2006 г. в Университетах Кембриджа и Манчестера. Публикации. Основные результаты опубликованы в 1 монографии (издательство ФИЗМАТЛИТ), 23 журнальных статьях (включая 4 в «Докладах Академии Наук») и 27 полнотекстовых 7 публикациях докладов конференциях. на зарубежных и всероссийских Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 5 глав, списка основных результатов и перечня цитируемой литературы. Диссертация содержит 208 страниц, в общей сложности 77 рисунков и 19 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 127 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обзор существующих результатов по теме диссертации. Показана актуальность и практическая значимость работы, сформулированы цели диссертации. Глава I состоит из 5 параграфов. В ней рассмотрены способы апостериорной асимптотически точной оценки погрешности. Показано, как можно повысить точность, если выполнить расчёты на нескольких равномерных сетках с разным числом узлов. Изложены практические приёмы контроля точности и диагностики ошибок, полезные для составления и отладки программ. В первом параграфе с использованием формулы Тейлора и фундаментальных теорем В.С. Рябенького и А.Ф. Филиппова описана типичная структура погрешности сеточных методов в виде разложения в сумму обратных степеней числа узлов сетки RN Aq N q , Aq const, (1.1) q p где RN погрешность сеточного метода, N число узлов сетки, p порядок точности метода, Aq константы, зависящие от конкретного решения и его производных, но не зависящие от N . Определена связь между гладкостью решения и числом слагаемых в разложении (1.1). На простейшем примере квадратурных формул выписаны главные члены в разложении (1.1). Второй параграф посвящен сгущению равномерных сеток. Дана формула Ричардсона RrN U rN U N r p 1 , (1.2) позволяющая по результатам расчетов U N , U rN на двух соседних сетках с числами узлов N и rN выразить главный член в разложении 8 (1.1) и тем самым получить асимптотически точную оценку для погрешности сеточного расчета. Выражение (1.2) можно учесть в качестве поправки, исключив главный член в разложении погрешности (1.1), и повысить тем самым точность расчета 1 U rN U rN RrN U rN U rN U N r p 1 . (1.3) При наличии расчетов на большем числе сеток, процесс уточнения (1.3) можно сделать рекуррентным. Число уточнений, как и число слагаемых в сумме (1.1) ограниченно гладкостью решения. Также обсуждается применение метода Ричардсона к многомерным задачам и даны оптимальные наборы сеток. Третий параграф посвящен практическим аспектам написания и отладки работы программ расчетов с контролем точности. Описан алгоритм тестирования программ на задачах с известным точным решением. Можно определить эффективный порядок точности метода по углу наклона графика убывания погрешности с ростом числа узлов в двойном логарифмическом масштабе (рис. 1). Формула для определения эффективного порядка точности l -ого уточнения на k -ой сетке следующая plk lg Rl ,k 1 Rlk lg r , l 0,1, 2,..., k 1, 2,... . Здесь l 0 соответствует расчету по базовому сеточному алгоритму (без уточнения). Если эффективный порядок p0,k ниже теоретического, тогда как известно, что решение обладает необходимой гладкостью, это свидетельствует об ошибке в программе. Если при расчете по отлаженной программе эффективный порядок точности близок к теоретическому, это свидетельствует о том, что все остальные слагаемые в разложении (1.1) пренебрежимо малы по сравнению с главным и можно провести уточнение (1.3). Если эффективный порядок точности очередного уточнения заметно ниже теоретического значения, то гладкость решения недостаточна для дальнейших уточнений по Ричардсону. Повышение точности при этом возможно лишь за счет дальнейшего сгущения сетки. Если при очередном сгущении сетки убывание погрешности не соответствует теоретическому порядку точности, тогда как сама величина погрешности мала, то это свидетельствует о выходе на ошибки округления. Стрелочки на рис. 1 указывают на заметное влияние ошибок округления. 9 lg||Rlk|| plk -2 l=3 8 -4 7 l=2 -6 6 -8 5 l=1 -10 4 -12 3 -14 l=0 2 -16 0 1 lgNk 1 0,0 2 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 lg Nk Рис.1 а,б. Погрешности (а) и эффективные порядки точности (б) при рекуррентном сгущении. Эффективный алгоритм расчетов с контролем точности состоит в том, что нужно провести серию расчетов, каждый раз сгущая число узлов сетки в одно и то же число раз, оценивая погрешность по формуле Ричардсона, реализовать возможное число уточнений. Если модуль очередной поправки не превосходит заданного уровня точности, то расчет можно прекратить, выдавая пользователю результат последнего уточнения в качестве ответа, а модуль последней поправки в качестве асимптотически точной оценки погрешности результата. Включение в программу описанного алгоритма позволяет достигнуть заданной высокой точности при весьма скромных вычислительных затратах. Алгоритм не имеет насыщения в том смысле, что автоматически будет использовано столько непрерывных производных решения, сколько у него есть. В четвертом параграфе идеи расчетов с контролем точности обобщаются на случай, когда гладкость решения недостаточна для реализации теоретического порядка точности выбранного численного метода. В большинстве таких случаев можно считать, что погрешность сеточного метода разлагается в сумму по дробным степеням числа узлов сетки [Марчук Г.И., Шайдуров В.В.] RN Al N p , 0 p1 p2 p3 ... , (1.4) l l 1 Степени pl , как правило, заранее неизвестны. Проведем серию расчетов на сгущающихся сетка Nk , каждый раз увеличивая число узлов в одно и то же число раз Nk rNk 1 . Тогда по результатам 10 расчетов на трех соседних сетках U k 2 ,U k 1 ,U k можно выразить главный член погрешности в разложении (1.4) по формуле Эйткена: k k , k U k U k 1 . k 1 / k 1 (1.5) В работе показано, что формула (1.5) дает асимптотически точную оценку погрешности расчета, что позволяет сделать процесс уточнения по Эйткену рекуррентным. Приведен пример применения алгоритма рекуррентного уточнения по Эйткену к вычислению 1 несобственного интеграла x 9 10 dx 10 . Стандартные пакеты 0 математических программ (за исключением тех, которые «умеют» брать этот интеграл аналитически) не позволяют получить на этой задаче точности выше, чем 10%. Расчет по данному алгоритму позволил достичь точности 1011 при весьма скромном числе узлов сетки N 2000 . Если идеи рекуррентного сгущения по Ричардсону были известны ранее, то обоснование метода рекуррентного сгущения по Эйткену является новым, выносимым на защиту результатом. В пятом параграфе описан контроль точности в стандартных пакетах математических программ. При численном решении ОДУ наиболее распространенными во всем мире сейчас являются программы расчетов с автоматикой выбора шага. Оценка погрешности в них производится априорно, она не является ни мажорантой, ни асимптотически точной. Она делается по «кухонным алгоритмам», отлаженным на большом числе тестовых примеров. Как правило, стандартная программа поставляется пользователю в виде «черного ящика», в котором можно задать требуемую точность (так называемый параметр tolerance) и программа выполняет расчет «якобы с этой точностью». Наши многочисленные тесты таких программ на задачах с известным точным решением показывают, что реальная точность расчета может сильно отличаться от декларируемой. В качестве примера приведен расчет орбиты Аренсторфа по рекомендованной в [Хайрер Э. и др., 1990] программе DOPRI5, где реальная точность по скоростной компоненте решения оказалась в 104 раз хуже заявленной. Возможной причиной описанного сбоя стандартных программ является неинтерполяционность используемых в них схем. В данном параграфе исследован выбор оптимальных параметров явных схем 11 Рунге-Кутты невысокого порядка точности, минимизирующий погрешность и обеспечивающий интерполяционность. На конкретном примере проиллюстрирована опасность применения неинтерполяционных схем. Глава II посвящена квазиравномерным сеткам и обобщению методов Ричардсона и Эйткена на этот класс сеток. В первом параграфе дано определение квазиравномерных сеток. Выведены свойства, позволяющие строить аппроксимацию для интегралов и производных на квазиравномерных сетках. Приведены примеры одномерных сеток на конечном отрезке, полупрямой и прямой, а также в задачах слоистых сред. Показано, как строить многомерные регулярные квазиравномерные сетки. Во втором параграфе построены аппроксимации интегралов и производных на квазиравномерных сетках. Показано, что благодаря наложенным в определении квазиравномерности требованиям сохраняется структура погрешности (1.1) в виде разложения по обратным степеням числа узлов. Поэтому метод сгущения сеток полностью обобщается для семейств квазиравномерных сеток. Установлена связь между квазиравномерными и адаптивными сетками, а также методом замены переменных. Квазиравномерные сетки с конечным числом интервалов можно строить даже в неограниченной области: последний узел сетки будет бесконечно удалённой точкой. В третьем параграфе построены аппроксимации для интегралов и производных со вторым порядком точности, пригодные в неограниченной области. При этом дополнительно накладываются требования достаточной быстрого убывания производных функции и на бесконечности. Это дает возможность естественного и аккуратного учета граничного условия в бесконечно удаленной точке в спектральных задачах, задачах обтекания и многих других. Четвертый параграф посвящен построению двумерной аппроксимирующей поверхности по данным, заданным на квазиравномерной сетке в плоскости и полуплоскости. Построение такой поверхности необходимо для восстановления решения в промежуточных точках и визуализации результатов расчета. Сложность состоит в сильной неравномерности сетки. Предложенный метод основан на нелинейной среднеквадратичной аппроксимации. 12 В главе III построен метод диагностики особенностей заранее неизвестного точного решения задачи Коши для ОДУ. Задачи, допускающие разрушение решения за конечный промежуток времени, являются математическими моделями таких физических явлений как взрывы, пробои полупроводника, разрушение конструкций и т.п. В первом параграфе дан анализ поведения численного решения на задачах с особенностями при использовании различных разностных схем. Большинство схем дает переполнение в расчетах, причем момент переполнения никак не связан с моментом сингулярности. Показано, что одностадийная схема Розенброка с комплексным коэффициентом, изначально предложенная для жестких задач, позволяет избежать переполнения счета при расчетах плохообусловленых задач. Во втором параграфе теоретически обоснован и проиллюстрирован на примерах алгоритм, позволяющий диагностировать тип сингулярности и другие особенности точного решения при расчетах с использованием схемы Розенброка с комплексным коэффициентом (CROS). Диагностика основана на методе сгущения сеток и контроле эффективного порядка точности. В областях, где решение достаточно гладкое эффективный порядок точности схемы CROS практически совпадает с теоретическим значением 2. Существенное отклонение от этого значения свидетельствует о разрушении точного решения. Если точное решение задачи Коши в точке t* имеет степенную u t* t , 0 , асимптотику то в расчете по схеме CROS численное решение после прохождения t* стабилизируется на уровне u 2 1 (здесь 1 N шаг сетки). А эффективный порядок точности при увеличении числа узлов сетки p eff . Тем самым контроль эффективного порядка точности дает нам возможность диагностировать не только местоположение особенности, но и ее тип (степень ). Для логарифмической особенности u ln t* t эффективный порядок точности схемы CROS стремится к 0 во всех точках сетки за особенностью. При экспоненциальной асимптотике точного решения u exp1 t t эффективный порядок схемы CROS отрицателен и неограниченной нарастает по модулю p eff во всех узлах сетки за особенностью. 13 В третьем параграфе дано обобщение метода диагностики сингулярности на неавтономные задачи и системы ОДУ. В этом случае стабилизация решения схемы CROS вообще говоря уже не имеет места, но по отклонению p eff от теоретического значений 2 можно диагностировать разрушение решения. В узле сетки, ближайшем к истинному моменту сингулярности, p eff схемы CROS подчиняется тем же законам, что и в одномерном случае, что на практике позволяет диагностировать асимптотику разрушающегося решения. Приведены примеры, иллюстрирующие возможности предложенного алгоритма. Пример 1. Точное решение задачи Коши du1 u12 ; dt u1 0 1; есть du2 u2 1 u12 ; dt u2 0 0 u1 1 1 t ; u2 exp 1 1 t 1 1 . На (6) рис. 2 приведены эффективные порядки точности p eff для обоих компонент решения в узлах сеток N 46,92,184 . В узлах сеток, ближайших к моменту сингулярности t* 1 , p1eff 1, указывая на степенную особенность N 1-о1 компоненты решения, p2eff , а N диагностируя экспоненциальный рост второй компоненты решения (6), в точном соответствии с теоретическими результатами. eff p 1 184 eff 2 p 184 46 2 0 92 46 92 -5 1 -10 0 -15 -1 0,8 -20 0,9 1,0 1,1 t 0,8 0,9 1,0 1,1 t Рис. 2. Эффективный порядок точности схемы CROS для компонент численного решения системы (6). 14 Четвертый параграф посвящен обнаружению разрывов высоких производных. Метод основан на контроле p eff базового расчета и последовательных уточнений по Ричардсону. Каждое уточнение вида (1.3) повышает порядок точности на 1 (или на 2 для симметричных алгоритмов) для решений, имеющих необходимое количество ограниченных производных. Если при очередном уточнении, начиная с некоторого момента t* , p eff не повышается, это свидетельствует о разрыве соответствующей производной в этой точке. Метод диагностики сингулярности, описанный в главе III, является одним из новых результатов, полученных в работе. Он уже нашел практическое применение в задачах математического моделирования процессов в полупроводниках, где он применяется для определения момента пробоя полупроводника [А.Б. Альшин и др., ФИЗМАТЛИТ, 2006]. Глава IV посвящена построению сеточных методов для задач математической физики с граничным условием в бесконечно удаленной точке. В первом параграфе приведены примеры актуальных прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными или интегродифференциальными уравнениями в неограниченной области. При этом граничные условия ставятся непосредственно на бесконечности. Достаточно часто для решения таких задач использовали хоть и большие, но конечные расчетные области, покрытые равномерной сеткой с огромным числом интервалов. Перенос граничного условия из бесконечно удаленной и в конечную точку требовал для сохранения приемлемой точности применения громоздких искусственных приемов [Софронов И.Л., 1999]. В данной работе использован другой подход. Квазиравномерные сетки с конечным числом интервалов можно строить даже в неограниченной области: последний узел сетки будет бесконечно удалённой точкой. Это позволило предложить эффективные методы решения многих классов задач в неограниченной области: несобственных интегралов, краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Метод естественно переносится на интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, а также на многомерный случай. 15 Всё это открывает широчайшие возможности. Например, можно естественно решать аэродинамические задачи дозвукового обтекания, где граничным условием является невозмущённость набегающего потока на бесконечном удалении от обтекаемого тела. Во втором параграфе для несобственных интегралов построены различные квадратурные формулы на квазиравномерных сетках в неограниченной области: простейшие аналоги формул трапеций и средних, имеющие второй порядок точности. Предложен и обоснован гаусово-сеточный метод, имеющий тот же высокий порядок точности, что и формулы Гаусса-Кристоффеля, но применимый к более широкому классу подынтегральных функций, в том числе и со слабым степенным убыванием. Еще лучшие результаты для вычисления несобственных интегралов дал метод рекуррентного уточнения по Эйткену. Пример 2. Рассмотрим случай очень медленно убывающей степенной функции: u x 1 1 x 11 10 , u x dx 10. (7) 0 Выберем следующее преобразование переменных, удобное для использования в стандартных программах: (8) x() c /(1 2 )2 , c 0 . После преобразования (8) интеграл (7) переходит в интеграл по конечному отрезку 0,1 с особенностью подынтегральной функции на правой границе. Для его вычислений в качестве базового алгоритма используем квадратурную формулу средних и проводим рекуррентные уточнения по Эйткену. Убывание погрешности с ростом числа узлов в двойном логарифмическом масштабе показано на рис. 3. Гладкость подынтегральной функции недостаточна и базовый расчет имеет peff 0.2 намного хуже теоретического значения p 2 . Рекуррентные уточнения по методу Ричардсона с теоретическими порядками в этом случае не улучшают точности. Уточнения же по методу Эйткена существенно уменьшают погрешность: первое уточнение дает peff 2 , второе уточнение также дает peff 2.2 , а третье дает peff 4 . При N 104 узлов погрешность последнего уточнения выходит на ошибки округления, которые в данном расчете составляют 10 12 . 16 Для сравнения на рис. 3 звездочками приведены результаты работы стандартной подпрограммы MATLAB на задаче (7), видно, что погрешность практически не убывает с ростом числа узлов сетки, а само значение погрешности неприемлемо велико. Такая ситуация типична для стандартных программ при вычислении интегралов со слабым степенным убыванием на бесконечности. lg RN 0 0 -2 -4 -6 -8 1 -10 2 3 -12 1,0 4 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 lg N Рис. 3. Погрешность расчета интеграла (7) и уточнения по методу Эйткена. 0 – формула средних, цифры – номер рекуррентного уточнения, звездочки – Matlab. В третьем параграфе построены численные методы нахождения спектров дифференциальных операторов в неограниченной области. Проведено сравнение метода дополненного вектора, метода обратных итераций и обратных итераций со сдвигом по скорости сходимости и устойчивости. Доказано, что фазовый метод, весьма успешный в ограниченной области, не дает правильного предела при переходе к неограниченной области. Показано, что метод обратных итераций с переменным сдвигом напротив сходится даже из весьма далеких приближений за 3-4 итерации, что позволяет рекомендовать этот метод, например, для спектроскопии разреженной плазмы, где необходима высокая точность (как минимум 5-6 верных знаков). В четвертом параграфе построены численные методы решения ряда начально-краевых задач для классических уравнений математической физики в неограниченной области. Корректный учет 17 граничного условия в бесконечно удаленной точке в таких задачах возможен благодаря применению квазиравномерных сеток. Исследовано поведение наиболее употребительных разностных схем при использовании сеток в неограниченной области. Например, у схемы с весами для уравнения акустики получена граница безусловной устойчивости и ограничение на соотношение шагов в области условной устойчивости (оно актуально, например, для явной схемы, хорошо поддающейся распараллеливанию). 6 u(x,t) 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 0 -1 1 2 3 4 x Рис. 4. LS-режим горения. Сплошные линии соответствуют моментам времени t 0.0, 0.75, 0.775, 0.785, 0.795 , штриховые t 0.825, 0.850, 0.875 (после диагностированного разрушения). Проведение серии расчетов на вложенных сгущающихся квазиравномерных сетках позволило осуществлять контроль точности в расчетах в неограниченных областях и диагностировать разрушение решения. Например, для уравнения нелинейной теплопроводности и горения построен метод, позволяющий диагностировать наличие режима с обострением, момент обострения и в ряде случаев асимптотику разрушающегося решения. Пример 3. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения нелинейной теплопроводности и горения (так называемый LS-режим горения): (9) ut u 2ux u 4 ; x , , t 0,T , u , t 0, x 18 3 x cos , 2 3 u x,0 0, x 3 , 2 x 3 . 2 Применение метода прямых сводит задачу (9) к жесткой системе большого числа ОДУ, для численного решения которой была использована схема CROS. Профили численного решения показаны на рис. 4. Серия расчетов на сгущающихся квазиравномерных сетках позволила диагностировать момент обострения t* 0.8 и разрушение точного решения (9). Контроль p eff позволяет предположить асимптотику разрушающегося точного решения u 0, t t t . Результаты этой главы являются частью цикла работ по методам решения задач в неограниченных областях (в соавторстве А.Б. Альшиным), который в 2003 г. был отмечен медалью РАН для молодых ученых. 1 3 Глава V посвящена численному решению дифференциальноалгебраических систем, которые достаточно часто возникают на практике. Например, колебания тока в электрических цепях подчиняются дифференциальным уравнениям; если цепь разветвленная, то в точках разветвления накладываются алгебраические связи на токи и потенциалы. Газовая и гидродинамика описываются системой дифференциальных уравнений Эйлера, дополненной алгебраическими уравнениями состояния. Движение шарнирного механизма описывается дифференциальными уравнениями ньютоновской динамики для каждой детали и алгебраическими условиями сопряжения в шарнирах и опорах. Сингулярно возмущенные задачи в предельном случае переходят в дифференциально-алгебраические системы. В дифференциально-алгебраических системах дифференциальные уравнения сами по себе могут оказаться жесткими. Сверхвысокая жесткость характерна для расчетов широкополосной электронной аппаратуры. В первом параграфе дан обзор задач, приводящих к дифференциально-алгебраическим системам, и существующих методов решения жестких и дифференциально-алгебраических задач. Приведены понятия жесткой A и Lp устойчивости. 19 Отмечено, что одностадийная схема Розенброка с комплексным коэффициентом (CROS) [Rosenbrock H.H., 1963] (1.10) uˆ u Re k , E fu k f , 1 i 2 для задачи вида (1.11) du dt f u , u 0 u0 обладает уникальными свойствами: сочетает точность O 2 и L 2 устойчивость, что делает ее применимой к сверхжестким задачам. Метод -вложения для дифференциально-алгебраических систем предложен Гиром в 1971 г. При этом рассматривают сингулярно возмущенную задачу: y f y, z , y 0 y0 , z g y, z , z 0 z0 , (12) где y, z векторы, а f y, z , g y, z достаточное число раз дифференцируемые вектор-функции той же размерности. Записывают для (12) какую-либо разностную схему и в полученных формулах полагают 0 . Полученный метод используют для решения соответствующей приведенной системы y f y, z , y 0 y0 , 0 g y, z , z 0 z0 , det g z y, z 0. (13) Это лишь наводящие соображения для построения численного метода решения дифференциально-алгебраических задач. Сходимость метода -вложения необходимо доказывать для каждой конкретной используемой разностной схемы. Кроме того, известно явление потери точности: большинство схем в методе -вложения для дифференциально-алгебраических систем имеет более низкий порядок точности, чем для чисто дифференциальной задачи (1.11). Схемы не теряющие своего порядка точности в методе -вложения называются жестко точными. В параграфе 2 исследована локальная погрешность метода вложения со схемой CROS. При условии дважды непрерывной дифференцируемости f y, z и g y, z по обоим аргументам и обратимости gz y, z в окрестности точного решения (12) локальная погрешность на есть O 3 для дифференциальной компоненты y t и O 2 - для алгебраической компоненты z t . Исследовано накопление глобальной погрешности и доказана сходимость метода -вложения со схемой CROS с точностью O 2 и по дифференциальной, и по 20 алгебраической компонентам. Тем самым схема CROS является жестко точной. Указана модификация схемы CROS uˆ u Re k , M fu k f , 1 i 2 . для систем записанных в неявной форме (1.14) M du dt f u , u 0 u0 , . Если det M 0 , то система (1.14) дифференциально-алгебраическая, причем r rang M есть число дифференциальных уравнений, а разность между J размерностью системы и r есть число алгебраических связей. Описан универсальный прием, приводящий систему с явной зависимостью от времени в правой части f f u, t к автономной форме, обеспечивающей жесткую точность для схемы CROS. В третьем параграфе на основе метода -вложения со схемой CROS, алгоритма расчета на вложенных сгущающихся сетках и рекуррентного уточнения по Ричардсону построен численный метод расчета дифференциально-алгебраических систем с контролем точности. Вопрос контроля точности в таких сложных вычислительных задачах, как сверхжесткие и дифференциальноалгебраические системы стоит особенно остро. Метод протестирован на большом количестве тестовых примеров как модельных, так и взятых из радиофизики. Проведено сравнение с существующими стандартными программами решения дифференциально-алгебраических задач, такими как RADAU5. Показано, что стандартные программы с автоматикой выбора шага далеко не всегда обеспечивают заявленную точность, тогда как предложенный алгоритм позволят добиваться очень высокой точности даже на сверхжестких дифференциально-алгебраических задачах. Пример 4. В качестве тестовой системы ДАУ, записанной в неявной форме, достаточно часто используют систему уравнений для напряжений U j , j 1,5 в электрической цепи транзисторного усилителя [Хайрер Э., Ваннер Г., 1996] (схема усилителя на рис. 5) 21 U e t U1 C1 U 2 U1 0, R0 R0 1 Ub 1 U 2 C1 U1 U 2 0.01 f U 2 U 3 0, R2 R1 R2 U f U 2 U 3 3 C2U 3 0, R3 (15) Ub U 4 C3 U 5 U 4 0.99 f U 2 U 3 0, R4 R4 U5 C3 U 4 U 5 0. R5 Дополнительные условия f U 106 exp U 0.026 1 , R0 1000, R1 ... R5 9000, Ci i 106 , i 1,2,3. Входной сигнал периодический U e t 0.4 sin 200t . Начальные согласованны U1 0 0, U 2 0 U 3 0 U b R1 R1 R2 , U 4 0 U b , U 5 0 0. Отрезок интегрирования 0 t 0.2 . данные lg 0 -2 -4 -6 0 -4 Для достижения точности 10 полное число узлов сетки с учетом всех уточнений 6000 1 2 -8 -10 -11 Наилучшая достигнутая точность 10 3 Рис. 5. Схема транзисторного усилителя. На рис. 6 приведено компонентам погрешности lg N 3 4 5 6 7 4 5 Рис. 6. Погрешность расчета транзисторного усилителя. 0 основной расчет по схеме CROS, 1,2,…,7 уточнения по Ричардсону. убывание средней 1 t 5 R 2j t dt t 0 j 1 22 1 2 по времени и расчета методом -вложения со схемой CROS (индекс 0) и рекуррентных уточнений по Ричардсону (номера уточнений указаны возле кривых). Для достижения точности 104 требуется в общей сложности 6000 узлов (с учетом всех уточнений). Максимальная достигнутая точность в данном расчете 1011 . В [Хайрер Э., Ваннер Г., 1996] расчет транзисторного усилителя (15) выполнен при помощи RADAU5, реализующей неявную схему Рунге-Кутты 5-го порядка точности и автоматический выбор шага сетки. На рис. 7 показана зависимость погрешности RADAU5 от времени. При задании уровня точности tol 104 программа RADAU5 выполняет 7721 вызов правой части (что больше, чем у CROS с рекуррентным уточнением по Ричардсону), заданный уровень точности нарушается лишь в некоторых точках. При задании более высокого уровня tol 1010 , реальная точность RADAU5 на протяжении всего расчета почти в 100 раз хуже декларируемой. R 1E-3 -4 tol=10 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 -10 tol=10 1E-10 1E-11 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 t Рис. 7. Средняя по всем 5 компонентам погрешность программы RADAU5 на задаче (15). Возможная причина неудач алгоритмов с автоматикой выбора шага состоит в том, что они используют локальное ричардосоновское 23 уточнение и априорную оценку погрешности. При этом, как показано на примере, могут быть потеряны свойства жесткой устойчивости схемы. В предложенном алгоритме уточнение по Ричардсону делается глобально и апостериорно и свойства жесткой устойчивости сохраняются. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Даны способы построения квазиравномерных сеток, в том числе, в неограниченной области. Построены аппроксимации интегралов и производных на квазиравномерных сетках, сохраняющие структуру погрешности, пригодную для применения рекуррентного уточнения по Ричардсону и Эйткену, даже в неограниченной области. 2. Построены эффективные сеточные методы расчетов краевых, начально-краевых, спектральных и некоторых других задач в неограниченных областях для функций, производные которых достаточно быстро затухают на бесконечности. Предложенный метод основан на применении семейства квазиравномерных сеток, что позволяет естественно и аккуратно учесть граничные условия в бесконечно удаленной точке и проводить расчеты с одновременным нахождением апостериорной асимптотически точной оценки погрешности. 3. Предложен и теоретически обоснован метод обнаружения заранее неизвестных особенностей точного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с диагностикой их типа (полюс и его кратность, логарифмический или экспоненциальный рост, отсутствие ограниченных производных высокого порядка) и местоположения. Алгоритм обобщается для уравнений в частных производных. 4. Для дифференциально-алгебраических систем предложен алгоритм, основанный на методе -вложений и одностадийной схеме Розенброка с комплексным коэффициентом. Доказана его сходимость с точностью O 2 . На основе предложенной схемы и метода рекуррентного уточнения Ричардсона построен экономичный алгоритм, позволяющий находить численное решение с гарантированной и очень высокой точностью даже для сверхжестких задач. 24 ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА L.F. Richardson The deferred approach to the limit, Phil.Trans., A, 1927, vol.226, p.299-349. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. // Comput. J. 1963. V.5. №4. P.329330. А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. ФИЗМАТЛИТ, 2006. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М., Наука, 1979, 319с. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Гос. изд. Технико-теоретической литературы, Москва, 1956 Софронов И.Л. Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции. Автореферат докт. дисс., М., ИММ РАН, 1999 Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Мир, Москва, 1990, 512с Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Мир, Москва, 1999, 685с. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монография 1. Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов Вычисления на квазиравномерных сетках. Физматлит, 2005, 224с. 25 Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК 2. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин Вычисление спектров линейных дифференциальных операторов. // ДАН, 2001 г., т. 380, № 4, с. 443-447. 3. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток.// ДАН, 2005 г., т. 404, №3, с.1-5. 4. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, А.Б. Корягина Численное решение сверхжестких дифференциальноалгебраических систем.// ДАН, 2006, том 408, №4, с.1-5. 5. Альшина, Н.Н. Калиткин, И.А. Панин, И.П. Пошивайло Квадратуры от функций с особенностями // ДАН, 2006, том 410, №1, с.1-4. 6. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, А.Б. Корягина Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально-алгебраических систем.// ЖВМиМФ, 2006, том 46, №8, с. 1410-1431. 7. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности.// ЖВМиМФ, 2005 г., т. 45, №10 с. 1837-1847. 8. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина Численное решение начальнокраевых задач для уравнений составного типа в неограниченных областях // ЖВМиМФ, 2002, т.42, № 12, с. 17961803. 9. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, А.А. Болтнев, О.А. Качер, П.В. Корякин Численное решение начально-краевых задач для уравнений cоболевского типа методом квазиравномерных сеток // ЖВМиМФ, 2004, т. 44, № 3, c. 490-511. 10. Альшина Е.А., Болтнев А.А., Качер О.А. Градиентные методы с ускоренной сходимостью. ЖВМиМФ, 2005, т. 45, № 3, с. 374-382. 11. Е.А. Альшина. О квазиодномерной задаче внутренних вязких течений // Математическое Моделирование, 1997, т. 9, № 12, с. 5763. 12. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, И.А. Соколова. Квазиодномерный расчет нестационарных течений в дозвуковом сопле // Математическое Моделирование, 1998, т. 10, № 5, с. 109-118. 26 13. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, Б.В. Рогов, И.А. Соколова О точности квазиодномерной модели гладкого канала. // Математическое Моделирование, 2001 г., т.13, № 10, с.121-124. 14. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, С.Л. Панченко Численное решение краевых задач в неограниченной области.// Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 11, стр. 10-22. 15. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин Численное решение гиперболических задач в неограниченной области. // Математическое моделирование, 2004, т. 16, №4, с.114-126. 16. Альшина Е.А., Болтнев А.А., Качер О.А. Эмпирическое улучшение простейших градиентных методов. Математическое моделирование, 2005, т. 17, №6, с. 43-57. 17. Альшин А.Б., Альшина Е.А. Численное решение начальнокраевых задач для уравнений соболевского типа методом динамических потенциалов. «Радиотехника и электроника», 2005, т. 50, №2, с.1-7. 18. Е.А. Альшина, Е.М. Закс, Н.Н. Калиткин Оптимальные параметры явных схем Рунге-Кутты невысоких порядков // Математическое моделирование, 2006, том 18, № 2, стр. 61-71. 19. Е.А. Альшина, Е.С. Иванченко, Н.Н. Калиткин, В.Ф. Тишкин Прецизионная ротационно-инвариантная параметризация кривой. // Математическое моделирование, 2006 (в печати). Прочие публикации 20. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина Численная диагностика разрушения решений псевдопараболических уравнений. Современная математика и ее приложения, 2006, в печати 21. A. Alshin, E. Alshina The Numerical solution of non-linear pseudoparabolic equations. // Mathematical Modelling and Analysis, 2005, special issue “Proceedings of the 10th International Conference MMA2005&CMAM2”, p. 295-300. 22. E.A. Alshina, N.N. Kalitkin, A.B. Koryagina Integration of differential algebraic stiff systems. // Mathematical Modelling and Analysis, 2005, special issue “Proceedings of the 10th International Conference MMA2005&CMAM2”, p.301-307. 23. E. Alshina, N. Kalitkin, P. Koryakin The singularity diagnostics by calculation on embedded grids.// Mathematical Modelling and 27 Analysis, 2005, special issue “Proceedings of the 10th International Conference MMA2005&CMAM2”, p. 309-314 24. E.A. Alshina, N.N. Kalitkin, I.A. Sokolova. Quasi-One- Dimensional Method for Calculating Two-Dimensional Flows // Доклады международной конференции Конечно-разностные методы: теория и практика, Минск, 1998 год, т. 1, с. 21-26. 25. E.A. Alshina, N.N. Kalitkin, I.A. Sokolova. Effective Method For Computing Two-Dimension Burning Flows // Technologies and Combustion for a Clean Environment, Lisbon, 12-15 July, 1999, v.2, p.903-911. 26. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина Численное решение неклассических задач составного типа на полубесконечной прямой // Доклады IX Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”. Абрау-Дюрсо, 2001 г, с. 8-12. 27. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, И.А. Соколова Квазиодномерная модель вязкого течения реагирующих газов в каналах переменного сечения. // Доклады IX Всероссийской школысеминара “Современные проблемы математического моделирования”, Абрау-Дюрсо, 2001 г, с. 13-21. 28. Корягина А.Б, Альшина Е.А., Альшин А.Б. О способах повышения точности при расчетах на квазиравномерных сетках в неограниченной области. // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2004, стр. 113-119. 29. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, А.А. Болтнев, О.А. Качер Численный метод решения уравнения теплопроводности в неограниченной области. // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2004, стр. 7-12. 30. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, А.А. Болтнев, О.А. Качер Квазиравномерные сетки для решения уравнений Соболевского типа. // Сборник трудов X Всероссийской школысеминара “Современные проблемы математического моделирования”, 2004, стр. 13-17. 31. Корякин П.В., Альшина Е.А., Альшин А.Б. Двумерная аппроксимация в неограниченных областях. // Сборник трудов 28 X Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2004, стр. 120-126. 32. Альшин А.Б., Альшина Е.А., Калиткин Н.Н. Метод квазиравномерных сеток для гиперболических уравнений. // Сборник трудов X Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2004, стр. 18-23. 33. Альшин А.Б., Альшина Е.А. Численное решение псевдопараболических уравнений. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2005, с. 31-38. 34. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Диагностика сингулярности при численном решении дифференциальных уравнений. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2005, с. 38-44. 35. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Панин И.А. Гауссово - сеточные квадратуры для несобственных интегралов. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2005, с. 44-49. 36. Калиткин Н.Н., Альшина Е.А., Закс Е.М. Оптимальные параметры простейших явных схем Рунге-Кутты. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования”, 2005, с. 170-174. 37. Альшин А.Б., Альшина Е.А., Болтнев А.А., Качер О.А. Метод численного решения некоторых параболических и эллиптических уравнений в неограниченных областях. // Сборник трудов XII Международной конференции ВМСППС'2003, г. Владимир, 30 июня-5 июля, 2003, с. 45-47. 38. Альшин А.Б., Альшина Е.А., Болтнев А.А., Качер О.А. Численное решение начально-краевых задач для cоболевских уравнений с применением квазиравномерных сеток. // Сборник трудов XII Международной конференции ВМСППС'2003, г. Владимир, 30 июня-5 июля, 2003, с. 47-49. 39. Elena Alshina, Alexander Alshin, Nikolay Kalitkin Application of Quasi-uniform Grids for Numerical Solution of Initial-Boundary Value Problems in Unbounded Domain. // Proceedings Equadiff2003, World Scientific, Singapore 2005, p.p. 1024-1026. 29 40. E. Alshina, N.N. Kalitkin, A.B. Koryagina New schemes for differential-algebraic stiff systems. Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2004, Springer-Verlag, 2005. Подписано в печать 05.10.06 г. Обуем 2,2 уч-изд л. Тираж 150 экз Зак. № 328 Полиграфучасток ФГУП «ВНИИФТРИ» 30
