Стереометрия на ЕГЭ: Задачи части В

Математика, 11 класс
Мендель В.В., ДВГГУ
Стереометрия на ЕГЭ: Задачи части В
Дорогие выпускники, наша очередная консультация в «Практикуме абитуриента»
посвящена задачам по стереометрии из части В Единого государственного экзамена по
математике. Эти задачи обычно связаны с многогранниками (пирамидам, призмам) и их
элементами.
При подготовке к экзамену по этим темам особое
внимание рекомендуется обратить на следующие виды
пирамид и призм: правильные пирамиды; пирамиды, у
которых ребра или грани одинаково наклонены к
основанию; правильные и прямые призмы. Следует так же
повторить определения угла между прямой и плоскостью;
угла между двумя плоскостями. Пригодятся: признак
перпендикулярности прямой и плоскости; теорема о трех
перпендикулярах. Для вычислений освежите в памяти:
соотношения между сторонами в прямоугольном
треугольнике (синус, косинус, тангенс); формулы для
двойного и половинного углов; выражение различных
элементов правильного треугольника через его сторону; теорему Пифагора, наконец.
Рассмотрим теперь несколько примеров задач, предлагавшихся на ЕГЭ в 2003 и 2006
годах, и их возможные решения.
Задача 1. Основание пирамиды КАВС – треугольник АВС, в котором B  90 , а катеты
равны 15 и 20. Ребро КВ перпендикулярно плоскости основания, а двугранный угол при ребре
АС равен 45 . Найдите объем пирамиды.
Решение. Обозначим BN высоту основания. KN проектируется в BN и, по теореме, обратной
теореме о трех перпендикулярах, она так же перпендикулярна AC. Следовательно BNC линейный угол двугранного угла при АС: BNC  45 . Очевидно, что КВ – высота
пирамиды. Выразим ее из прямоугольного треугольника KBN: KB  BN  tg 45, KB=BN.
1
Найдем BN: с одной стороны S ABC  AB  BC , с другой:
2
AB  BC 15  20

 12 . KB=12.
S ABC  AC  BN , поэтому BN 
AC
25
1
1
S ABC  AB  BC  15  20  150 .
2
2
1
1
Вычислим объем: V  S осн  h . V   12  150  600. Ответ:
3
3
V=600.
Задача 2. Основание пирамиды – треугольник, две стороны
которого равны 1 и 2, а угол между ними равен 60 . Каждое
боковое ребро равно 13 . Найдите объем пирамиды.
Решение. Так как все ребра (боковые) пирамиды равны, они одинаково наклонены к
основанию, и вершина пирамиды проектируется в центр описанной вокруг основания
окружности. (см. чертеж).
1
3
3
1
1

Объем пирамиды: V  S осн  h . S осн  BA  BC  sin A , S осн   1  2 
.
3
2
2
2
2
Высоту SO можно найти по т. Пифагора например, из треугольника ASO. Для этого нужно
найти AO – радиус описанной окружности основания.
a
b
c


 2 R . Но сначала по теореме
sin  sin  sin 
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB  AC  cos 60 ,
сторону
BC:
Воспользуемся теоремой синусов:
косинусов
найдем
1
BC 2  1  4  2  1  2   3 . BC= 3 .
2
Теперь вычислим радиус описанной окружности:
BC
3
R
, R
 1.
2 sin A
2 3 2
Найдем SO: SO  AS 2  AO 2  13  1  2 3 .
Вычислим объем: V 
1
3
2 3
 1.
3
2
Ответ: V=1.
Задача 3. Основание наклонной призмы ABCA1 B1C1 равносторонний треугольник со стороной 2. Вершина
A1 удалена от вершин А, В и С на равное расстояние
10
. Найдите объем призмы.
3
Решение. Рассмотрим вспомогательную пирамиду A1 ABC . Ее боковые ребра
A1 A, A1 B и A1C имеют равную длину, а основание – правильный треугольник.
Следовательно, это правильная пирамида. Ее высота равна высоте призмы.
a2 3
Объем призмы ищем по формуле: V  S  h . Где S 
- площадь правильного
4
треугольника, S  3 .
2
Высоту h найдем из прямоугольного треугольника A1OA : OA 
a 3 2 3
10

, AA1  2
.
3
3
3
40 4
6
.
 
3 3
3
6
Вычислим объем: V  3 
Ответ: V=6.
 6.
3
Контрольная работа №2
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №2 для учащихся10
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000,
г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ.
h  OA1 
AA1  OA 2 
2
М.11.2.1. Основание пирамиды – треугольник, две стороны которого равны 3 и 3 , угол
между ними - 30 . Каждое боковое ребро равно 51 . Найдите объем пирамиды.
М.11.2.2. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник ABC с
гипотенузой AB=10 и катетом AC=8. Боковые ребра пирамиды образуют с высотой
пирамиды равные углы в 45 . Найдите объем пирамиды. (Указание: Если ребра образуют
равные углы с высотой, то они одинаково наклонены к основанию. Центр описанной
окружности прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы).
М.11.2.3. Основание прямой призмы ABADA1 B1C1 D1 - параллелограмм ABCD, в котором
BC  2 2 , BCD  45 . Высота призмы равна 5. Найдите тангенс угла между плоскостью
основания призмы и плоскостью ABC1 .
М.11.2.4. Основание прямой призмы ABCDA1 B1C1 D1 - параллелограмм ABCD , в котором
AD  4 2 и C  135 . Тангенс угла между плоскостью основания пирамиды и плоскостью
A1 DC равен 0,75. Найдите боковое ребро призмы.