Одной из характерных особенностей современного этапа... науки и техники, а также развития средств автоматизации научных иссле-

Лекция 10
АППАРАТУРНЫЙ АНАЛИЗ
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Одной из характерных особенностей современного этапа развития
науки и техники, а также развития средств автоматизации научных исследований, является все большее проникновение в различные отрасли статистических методов. Этот процесс неразрывно связан с изучением и построением все более сложных систем, причем математические модели,
описывающие эти системы и происходящие в них явления с помощью
случайных величин и функций, оказываются значительно более удобными
и эффективными, чем динамические модели, основанные на использовании только неслучайных (детерминированных) величин и функций.
Среди инструментов статистического исследования важное место занимает корреляционный анализ – исследование корреляционных связей
между различными величинами и функциями, а также между значениями
одной и той же функции, соответствующими разным значениям аргумента.
Корреляционным анализом безусловно не исчерпывается в целом
статистический анализ случайных процессов – в наиболее сложных ситуациях необходимо измерять многомерные распределения. Тем не менее
корреляционный анализ имеет большую ценность. Эта ценность объясняется в первую очередь тем, что на практике часто встречающиеся случайные процессы являются нормальными, а каждый нормальный случайный
процесс может быть полностью описан в рамках корреляционной теории.
В то же время и для случайных процессов, не являющихся нормальными,
корреляционный анализ дает ответ на ряд важных вопросов.
Кратко остановимся на значении и роли аппаратного анализа корреляционных функций в научном эксперименте.
Начало интенсивной разработки аппаратуры для корреляционного
анализа относится к 1949–50 гг. С тех пор предложено много принципов,
схем и конструкций соответствующих аппаратов. Развитие аппаратного
корреляционного анализа привело к появлению его теории, ставящей своей основной задачей оценку точности наиболее распространенных способов анализа.
В наиболее крупном плане можно выделить четыре основных
направления применения корреляционного анализа:
102
 радиофизические методы исследования источников сигналов различной физической природы;
 создание устройств для передачи информации и исследования динамических характеристик передающих устройств;
 разработка корреляционных устройств для приема информации;
 построение помехоустойчивых систем автоматического регулирования и экстремальных систем автоматического поиска.
1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ
УСТРОЙСТВ
Для измерения корреляционных функций применяются приборы, получившие название коррелометров или коррелографов. Обычно под коррелометрами понимают приборы, измеряющие отдельные ординаты корреляционной функции, а под коррелографами – устройства, дающие график всей функции корреляции – коррелограмму. Более общим является
название коррелометр.
Схемные и конструктивные решения коррелометров отличаются
большим разнообразием, их можно классифицировать по следующим основным признакам:
 по принципу действия, схемным конструктивным особенностям;
 форме представления сигналов в устройствах;
 диапазону граничных частот случайного процесса, который
может быть исследован.
Основополагающим признаком классификации является первый. По
этому признаку различают следующие принципы функционирования и
построения корреляционных устройств:
 мультипликационные коррелометры;
 устройства измерения на основе суммирования (вычитания)
выборочных значений и возведения полученного результата в
квадрат;
 знаковые коррелометры.
Существуют и другие типы устройств, использующие аппроксимацию корреляционной функции суммой членов разложения ее в ряд по ортогональным функциям, метод диаграмм рассеяния и другие, однако они
получили ограниченное распространение и здесь не рассматриваются.
103
Коррелометры используют три формы представления сигналов:
 аналоговую;
 аналого-цифровую;
 цифровую.
Коррелометры бывают инфранизкочастотные, низкочастотные, высокочастотные и сверхвысокочастотные.
И, наконец, различают также коррелометры по способу осуществления временного сдвига  и порядку определения значений корреляционных функций, соответствующих разным значениям :
 коррелометры последовательного анализа;
 устройства с параллельным корреляционным анализом;
 устройства, использующие принцип циклического анализа.
В коррелометрах, работающих по принципу последовательного анализа, задержка вводится в один из двух входных каналов, изменяется последовательно – скачкообразно или непрерывно. Соответственно на регистрирующее устройство последовательно выводятся сигналы, представляющие с той или иной точностью значения корреляционной функции для
разных значений аргумента .
Коррелометры, осуществляющие одновременный (параллельный)
корреляционный анализ, являются многоканальными устройствами, в
каждом канале которого измеряется значение корреляционной функции,
соответствующее некоторой фиксированной задержке .
Работа коррелометров, использующих принципы циклического анализа, состоит из N циклов, в течение каждого из которых временной сдвиг 
последовательно проходит весь диапазон своего изменения. Результаты
измерений для соответствующих , полученные в N-циклах, суммируются.
Наряду с обычными коррелометрами разработаны приборы, измеряющие нормированную функцию корреляции. Предпочтительность измерения нормированной корреляционной функции перед ненормированной
имеет место при решении следующих задач:
 определения нормированных спектров мощности;
 анализа случайных процессов с медленной нестационарностью по
дисперсии;
104
 сопоставления временной стохастической связи для идентичных
объектов или объектов с целью технической или медицинской
диагностики.
 измерения нормированной корреляционной функции облегчит
также оценку аппаратных погрешностей, поскольку именно нормированная функция входит в формулы по оценке погрешностей.
Различные методы измерения корреляционных функций характеризуются неодинаковой статистической точностью, неодинаковой продолжительностью измерений или неодинаковым числом пар выборок в зависимости от допустимой статистической погрешности. Подразумевается,
что пары выборок не коррелированы с другими парами. Следует отметить, что при измерениях по одной реализации стационарного и эргодического процесса увеличение числа пар выборок не всегда влечет за собой
увеличение продолжительности измерений, поскольку характерные для
методов корреляционного анализа нелинейные преобразования могут изменять (уменьшать) интервалы корреляции.
2. СТРУКТУРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТИПОВ
УСТРОЙСТВ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
2.1. Цифровой автоматический коррелометр
реального времени для низкочастотных сигналов
(от нуля до нескольких тыс. гц)
Оценка корреляционной функции:

К ху
1Т
   хt  уt  dt .
Т0
Коррелометр реального времени использует всю информацию о
входных сигналах, которые по обоим каналам квантуются через интервал
Т е (рис. 1)
105
АЦП
х(t)
nτ0
x0
Такт. частот
R0
R1
128
127
126
АЦП
у(t)
Буферная
память
Интегрирующая
память
R2
Умножитель
R3
R4
125
Регистр
Устройства
сложения и
вычитания
3
Измерительная
память
2
1
а
х(t)
х(t)
у(t)
у(t)
y t  2 0 
у t  n 0 
у t  0 
0
б
Рис. 1. Блок-схема цифрового автоматического коррелометра реального
времени (а) и временная диаграмма, поясняющая принципы измерения (б)
В коррелометре используются:
 четырехразрядный АЦП, из них 1-й разряд – знаковый, 2-4 – цифровые;
 измерительная память из 128 регистров с параллельным переносом
данных из младших регистров в старшие;
 блок умножения с входными буферными регистрами для хранения
перемножаемых кодов выборочных значений;
106
 устройства сложения (вычитания);
 интегрирующая память, накапливающая результаты статистических измерений по многим циклам.
Если  = 950 нсек, необходимое для выполнения последовательности
операций сдвига, перемещения, умножения и сложения, то при числе ка1
налов n = 256 имеем Т е  n  240 мксек, f е 
 4000 гц, т. е. макси240
мальная частота в спектре сигнала не должна превышать 2000 гц.
2.2. Коррелометры для сигналов средних
и высоких частот
Сигналы х(t) и у(t) уже не являются сигналами очень низкой частоты
с узкой спектральной полосой. Обычно полоса частот входного сигнала f  10 Гц, т. е. время интегрирования Т невелико.
С учетом того, что относительная погрешность измерений

1
1
, Т 2
,
 F
Tf
1
 50 с.
(0,02)2  50
Для f  150 Гц достаточно уже 17 с для интегрирования.
В этих случаях цифровые методы интегрирования не имеют никаких
преимуществ перед простой аналоговой техникой н/ч фильтрации.
Тогда при  = 0,02 и f  50 Гц получаем Т 

К xy  , T , t 0

1 t0 T

 x(t ) y(t  )t .
T t0
Типичным представителем устройств такого типа является коррелометр Стильтьесса (рис. 2).
Коррелометр Стильтьесса для сигнала х(t) имеет аналоговую
входную цепь, в то время как входной процесс у(t) кодируется в трехразрядном АЦП, а полученный код выборочного значения поразрядно синхронно задерживается в сдвиговых регистрах СР1 – СР3. Кодирование в
АЦП и задержка кода выборочных значений осуществляется с тактовой
частотой генератора ГТЧ. В устройстве используются умножители, у которых на один вход подается код выборочного значения процесса у(t), а на
второй – мгновенное значение процесса х(t) в аналоговом виде. Выходные
сигналы умножителей У1 – Уn через соответствующие схемы линейного
107
пропускания СЛП1 – СЛПn, управляемые схемой временной компрессии
СВК, и интеграторы И1 – Иn выводятся на электронный коммутатор ЭК и
далее – в блок регистрации.
СР1
1 … i …n
ВУ1
АЦП
СР2
1 … i …n
y(t)
СР3
1 … i …n
…
У1
Уi
…
Уn
ВУ2
x(t)
СЛП1
СЛПi
СЛПn
СВК
И1
…
Иi
…
Иn
ЭК
БР
Рис. 2. Коррелометр Стильтьесса: ВУ1 и ВУ2 – входные устройства;
СВК – схема временной компрессии; У1 – Уn – умножители;
СР1 – СР3 – сдвиговые регистра; ГТЧ – генератор тактовой частоты;
СЛП1 – СЛПn – схемы линейного пропускания; И1 – Иn –интеграторы;
ЭК – электронный коммутатор; БР – блок регистрации
3. КОРРЕЛОМЕТРЫ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ
ДЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ
Современный уровень технологии не позволяет в цифровом виде обрабатывать случайные сигналы, максимальная частота спектра которых
превышает несколько десятков МГц. Для этих целей разработаны знаковые коррелометры.
108
3.1. Определение корреляционной функции
по функции знаковой корреляции
Функцией знаковой корреляции (знаковой корреляционной функцией) вида (знак-знак) называют математическое ожидание произведений

знаковых функций центрированного случайного процесса X (t ) для двух
значений аргумента t1 и t2:
 



R X (t1 , t 2 )  M sgn  X (t1 ) sgn  X (t 2 )  ,



 



1
при
X
(t )  0




где sgn X (t )   0 при X (t )  0 .



1
при
X
(t )  0


Функцию R X (t1 , t 2 ) можно выразить через двухмерную плотность распределения вероятностей
 




R X (t 1, t 2 )    sgn  X (t1 ) sgn  X (t 2 ) w( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2 .




 
Соответственно функция взаимной корреляции – знаковая взаимная
корреляционная функция вида «знак-знак»
 



R XY (t1 , t 2 )  M sgn  X (t1 ) sgn Y (t 2 )  ,



 
 




R XY (t 1, t 2 )    sgn  X (t1 ) sgn Y (t 2 ) w( x, y; t1 , t 2 )dxdy .




 
Для стационарных и эргодических случайных процессов справедливы формулы знаковых корреляционных функций:




1 N
R X (kT0 )  lim  sgn  X (iT0 ) sgn  X (iT0  kT0 ) ,
N  N i 1








1 N
 sgn  X (iT0 ) sgn Y (iT0  kT0 ) .
N  N i 1




R XY (kT0 )  lim
Так как

 
при X (t )  0 sgn  X (t )  1 ,


109


при X (t )  0 sgn X  X (t )  1,
при Y (t )  0 sgn Y (t )  1,




при Y (t )  0 sgn Y (t )  1 ,


получаем выражение



0
0
R X (t1 , t 2 )    w( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2    w( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2 
 
00
 0
0 
0 
 0
   w( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2    w( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2 
 p   (t1 , t 2 )  p   (t1 , t 2 )  p   (t1 , t 2 )  p   (t1 , t 2 ) 
 p (t1 , t 2 )  q (t1 , t 2 )  2 p (t1 , t 2 )  1 ,
где p(t1 , t 2 )  p   (t1 , t 2 )  p  (t1 , t 2 ) – вероятность совпадения знаков вы
борочных значений случайного процесса X (t ) в момент времени t1 и t 2 ,
q(t1 , t 2 )  p   (t1 , t 2 )  p  (t1 , t 2 ) – вероятность несовпадения знаков для
упомянутых выборочных значений.
Для случайного процесса с нормальным распределением вероятностей и нулевым средним значением совместные вероятности
p   (t1 , t 2 )  p  (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )  4 p   (t1 , t 2 )  1  4 p   (t1 , t 2 )  1 .
Знаковые корреляционные функции непосредственно могут служить
характеристиками стохастической связи. Однако на практике важно располагать соотношениями между знаковыми и обычными корреляционными функциями.
Для нормального стационарного эргодического процесса
w( x1 , x2 ; ) 
1
2 x
1   2x ()
110
e
x 2  x 2 2 x1x2 x ( )
 1 2
22x (12x ( ))
,

 x ()  sin R X () .
2
Нормированную корреляционную и взаимнокорреляционную функции стационарного эргодического случайного процесса с нормальными
распределениями вероятностей можно выразить и через вероятность совпадений знаков в моменты t и t   :
 X ()   cos  p X ()   cos 2 p X () ,
 XY ()   cos 2 p XY () .
Приведенные соотношения указывают на то, что нормированные
корреляционные функции нормального стационарного эргодического
процесса можно измерить сравнительно простым способом.
3.2. Определение корреляционной функции по знаковой
функции вида «знак–знак» с применением
вспомогательных сигналов
Рассмотренные выше знаковые коррелометры предназначены для
анализа случайных процессов с известным законом распределения. Важно
однако иметь устройства, пригодные в случаях любого и заранее неизвестного закона распределения вероятностей. Эти коррелометры основаны на использовании вспомогательных случайных сигналов, отвечающих
определенным требованиям:
 статистической независимости друг от друга и от исследуемых
процессов;
 распределению вероятностей равномерно в определенных пределах;
 равенству 0 математического ожидания;
 интервал корреляции мал по сравнению с интервалом корреляции
исследуемого случайного процесса; т. е. в спектре вспомогательного сигнала не должны содержаться составляющие, частоты которых были бы ниже или равны наиболее существенной частоте в
спектре исследуемого процесса; спектр вспомогательного сигнала
по возможности должен быть смещен в область высоких частот;
 допускается применение периодического сигнала, не зависящего
от исследуемых случайных процессов, но частоты периодических
составляющих не должны быть соизмеримы с частотой дискретизации основного сигнала или кратны ей.
111
Общая идея. При определении взаимно корреляционной функции
K XY () аппаратурно определяется взаимная корреляционная функция
двух сигналов (рис. 3):
Z1 (t )  x(t )  u (t ) ,
Z 2 (t )  y (t )  (t ) ,
где u(t) и (t ) – вспомогательные сигналы с равномерным распределением вероятностей:
 1
2A u  A
w(u )  
,
 0 u A

 1
 2B   B
w()  
,
 0 B

где x макс  A ,
y макс  B .
Докажем справедливость следующего уравнения:
M  XY   A  B  M sgn Z1  sgn Z 2  .
Для этого определим математическое ожидание произведения знаковых функций
 
M sgn Z1  sgn Z 2   M J     M J x, y w( x, y )dxdy 
 
 
   M sgn Z1 x   M sgn Z 2 y w( x, y )dxdy.
 
Для каждых фиксированных значений x и y имеем
M sgn Z1 x 
x
,
A
M sgn Z 2 y  
y
.
B
112
Соответственно
M J  
1  
1
xyw( x, y)dxdy 
M xy  ,


AB  
AB
M xy   A  B  M J   A  B  M sgn Z1  sgn Z 2 .


Если x  x(t ) , а y  y(t  ) ,
K xy ()  A  B  M  J   A  B  RJ () ,
где RJ ( ) – знаковая функция типа «знак–знак».
Для автокорреляционной функции по аналогии получаем
K x ()  A2 RH () ,
где H  sgn Z1  sgn Z 3


 Z1  x(t )  u (t )
.


Z 3  x(t  )  u (t  )
Распишем M J  через вероятности p12 и q12 совпадений и несовпадений знаков соответственно:
M J   M sgn Z1  sgn Z 2   px  u, y    px  u, y   
 px  u, y    px  u, y    p12 ()  q12 () .
Соответственно RH ()  p13 ()  q13 () .
Схема коррелометра для определения корреляционной функции вида
«знак-знак» с использованием вспомогательных сигналов приведена на
рис. 3
113
+1
x(t)
ВУ1
УС1
-1
СЗ

+1
+
-1
СС1
()
+
ИЛИ1
-
ГВС1
u(t)
СС2
-
ИЛИ3
+
ГВС2
(t )
N
ЭЧ
СС3
-
ИЛИ2
-1
ВУ2
y(t)
УС2
-
+1
()
СС4
+
Рис. 3. Коррелометр типа «знак-знак» с использованием вспомогательных сигналов
u(t) и υ(t): ВУ1 и ВУ2 – входные устройства; УС1 и УС2 – устройства сравнения;
ГВС1 и ГВС2 – генераторы вспомогательных сигналов u(t) и υ(t) соответственно;
СЗ – схема задержки на интервал  ; СС1  СС4 – схемы совпадений;
ИЛИ1 – ИЛИ3 – логические схемы; ЭЧ – электронный частотометр
Устройство работает согласно соотношению
*
RJ ()  2 p12
()  1  2
()
1,
N
или при определении корреляционной функции
K X ()  A2 RH () ,
*
RH ()  2 p13
()  1  2
()
 1,
N
где () – число знаковых совпадений процессов Z1 (t ) и Z 3 (t ) в моменты
tи t+τ.
Методическая погрешность при использовании знаковой корреляции
Так как
 K x ()  A 2 RH ()

,
()
 *
R

2

1
 H
N
 2() 
 1 .
получаем K x ()  A 2 
 N

114
Поскольку A  x макс , ее можно представить A  c x , где  x – среднеквадратическое отклонение.
 2() 
K x ()  c 2  2x 
 1 ,
 N

 2() 
 x ()  c 2 
 1 .
 N

Разрешающая способность  – минимальная разность двух значений  x (1 ) и  x ( 2 ) , которая может быть различима прибором, определяется единичным отсчетом в накопительном счетчике:
 2  
 x (1 )  c 2   1 
2c 2
N
 


.

N
2(


1)


 x (2 )  c 2 
 1 
 N
 
Относительную погрешность обозначим

 x
.
 x ()
Наибольшая погрешность  макс имеет место, когда τ = τк.макс (τк.м.).
Если ρx(τк.м.) = 0,05 , то
 x
40с 2
.
м 

 x (к.м. )
N
Для уменьшения  м нужно выбирать коэффициент с как можно
меньшим, а число выборок N возможно большим.
Существенный недостаток – низкая точность измерений корреляционных функций, когда    к.м. .
115